1、一線三等角型相似初三壓軸題中考熱點(diǎn)5三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長線時(shí)，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會。CADBEF典型例題【例1】如圖，等邊ABC中，邊長為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，EDF=60（1）求證：BDECFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE 【思路分析】本題屬于典型的三等角型相似，由題意可得B=C=EDF=60再

2、用外角可證BED=CDF，可證BDE與CFD相似排出相似比便可求得線段BE的長度解：（1）ABC是等邊三角形，EDF=60B=C=EDF=60EDC=EDF+FDC=B+BEDBED=FDCBDECFD（2）BDECFDBD=1，F(xiàn)C=3，CD=5CDEABFBE=點(diǎn)評：三等角型的相似三角形中的對應(yīng)邊中已知三邊可以求第四邊。【例2】如圖，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，EDF=B，求證：BDEDFE【思路分析】比較例1來說區(qū)別僅是點(diǎn)D成為了BC的中點(diǎn)，所以BDE與CFD相似的結(jié)論依然成立，用相似后的對應(yīng)邊成比例，以及BD=CD的條件可證得BDE和DFE相似解： AB=AC，EDF=BB

3、=C=EDFEDC=EDF+FDC=B+BEDBED=FDCBDECFD 又BD=CD即 EDF=BBDEDFE點(diǎn)評：三等角型相似中若點(diǎn)D是等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)則僅有一對相似三角形，若點(diǎn)D是底邊中點(diǎn)則有三對相似三角形，BDE與CFD相似后若得加上BD=CD可證得CFD與DFE相似ABPCM【例3】如圖，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M，使APM=B；（1）求證：ABPPCM；（2）設(shè)BP=x，CM=y求 y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（3）當(dāng)APM為等腰三角形時(shí)， 求PB的長【思路分析】第（1）（2）小

4、題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。對APM進(jìn)行等腰三角形的分類討論時(shí)，可將條件轉(zhuǎn)化成與ABPPCM相關(guān)的結(jié)論ABCPM解：（1）AB=AC，APM=BAPM=B=CAPC=APM+MPC=B+BAPBAP=MPCABPPCM（2）BP=x，CM=y，CP=8-xABCPM（3）當(dāng)AP=PM時(shí)PC=AB=5BP=3當(dāng)AP=AM時(shí)APM=B=CPAM=BAC即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合P不與點(diǎn)B、C重合舍去當(dāng)MP=AM時(shí)MAP=MPAMAPABC即BP=點(diǎn)評：等腰三角形分類討論需要靈活應(yīng)用，可采用的方法添底邊上的高，將等腰的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，三等角型相似這類問題中可將等腰的條件轉(zhuǎn)化至ABP和PCM中簡化運(yùn)算。AB

5、CPQ【例4】（1）在中，點(diǎn)、分別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.若點(diǎn)在線段上（如圖10），且，求線段的長；ABC備用圖若，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的 定義域；ABCD圖12（2）正方形的邊長為（如圖12），點(diǎn)、分別在直線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.當(dāng)時(shí)，寫出線段的長（不需要計(jì)算過程，請直接寫出結(jié)果）.【思路分析】本例與前幾例的區(qū)別在于與等腰三角形底角相等的角的頂點(diǎn)不僅在線段上還可以運(yùn)動(dòng)至線段的延長線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來的兩個(gè)三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r(shí)，依然沿用剛才的方法便可破解此類問題。

6、解：（1），.又，. .，.（2）若點(diǎn)在線段上，由（1）知.， ，又， ，即.ABC備用圖PQ故所求的函數(shù)關(guān)系式為，.若點(diǎn)在線段的延長線上，如圖11. ， ， .又， . . ， ，即 .（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上，或.當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，則點(diǎn)在線段的延長線上，.當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，則點(diǎn)在線段的延長線上，.點(diǎn)評：此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，通過哪兩個(gè)三角形相似求解，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，還是找原來的兩個(gè)三角形，多數(shù)情況下這兩個(gè)三角形還是相似的，還是可以沿用原來的方法求解。強(qiáng)化訓(xùn)練：ABCDE1. 如圖，在ABC中，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且(1

7、) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3) 當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說明ADE是什么三角形，并說明理由ABCDEF2. 已知：如圖，在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊BC上又點(diǎn)F在邊AC上，且(1) 求證：FCEEBD；(2) 當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的長如果不可能請說明理由CPEABD3. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個(gè)大小與B相等的角的頂點(diǎn)放在P 點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E。（1）求證BPDCEP（2）是否存在這樣的位

8、置，PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由。CPEABF4. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設(shè)PC=x，記PE=，PF=（1）分別求、關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（2）PEF能為直角三角形嗎?若能，求出CP的長，若不能，請說明理由。CPEABF5. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設(shè)PC=x，PEF的面積為y（1）寫出圖中的相似三角形不必證明；（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）若PEF為等腰

9、三角形，求PC的長。6. 已知在等腰三角形中，是的中點(diǎn)， 是上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，過點(diǎn)作射線，使，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).（1）求證：；（2）設(shè).用含的代數(shù)式表示；求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域.CDABP7. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí)，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時(shí)，寫出AP的長（不

10、必寫出解題過程）8. 已知：如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，AMDC，E、F分別是線段AD、AM上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與A、D不重合）且，設(shè)AEFDBMC，.（1）求證：；（2）求與的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；（3）若點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)時(shí)， 為等腰三角形，求的值；9. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) （1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么 當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解

11、析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)時(shí)，求BP的長EDCBA（備用圖）EDCBAP（第25題圖）ABCDMEF10. 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=BC=4，AD=2點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作EMF=B，射線ME交邊AB于點(diǎn)E，射線MF交邊CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF（1）指出圖中所有與BEM相似的三角形，并加以證明；（2）設(shè)BE=x，CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；答案：1. 解：（1）AB=ACB=CADC=ADE+CDE=B+BADBAD=CDEABDDCE（2）ABDDCE，（3），是的中點(diǎn)ADBCDAE+ADE=90ADE是直角三角形2. 解：（1）AB=AC

12、B=CBED+DEF=C+EFC=90又BED=EFCFCEEBD（2）BD=x，BE=，F(xiàn)CEEBD若BD不存在3. 解：（1）AB=ACB=CCPEABDHDPC=DPE+EPC=B+BDPEPC =BDP ABDDCE（2）DPE=B90若PDE=90，在RtABH和RtPDE中 cosABH=cosDPE=CPEABDHPC=4 若PED=90在RtABH和RtPDE中 cosABH=cosPED=PC=4 （舍去）CPEABFH綜上所述，BD的長為4. 解：（1）、 （2）FPE=B90若PFE=90，在RtABH和RtPFE中CPEABFH cosABH=cosFPE=若PEF=9

13、0，在RtABH和RtPFE中 cosABH=cosFPE=5. 解：（1）PEBEPCCPEABFGHM（2）PC=x， 即（3）當(dāng)PE=PF時(shí)，EPCPEB，PC=BE=x，當(dāng)PE=EF時(shí)，cosEPH=cosB，當(dāng)FE=PF時(shí)， cosFPM=cosB，綜上所述，PC的長分別為、6. 解：（1）,又, （2），是的中點(diǎn)，又 當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)， 當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作DGAB,交于點(diǎn) ， 當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)， 7. 解：（1）證明： ABP180AAPB，DPC180BPCAPB，BPCA， ABPDPC 在梯形ABCD中，ADBC，ABCD， AD ABPDPC

14、CDABPQE解：設(shè)APx，則DP5x，由ABPDPC，得，即解得x11，x24，則AP的長為1或4（2）解：類似（1），易得ABPDPQ， 即，得，1x4AP2或AP38. 證明：（1）過點(diǎn)M作交于G AD/BC，AB/MG AG=BM=6AD=12 AG=GDAM=DM(2) 定義域?yàn)椋?3) EMFM若為等腰三角形，則EF=EM或EF=FM 當(dāng)EF=EM時(shí),12-=10=2當(dāng)EF=FM時(shí)AE=EM9. 證明：（1）在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=C BE=2,BP=2,CP=4,CD=4，BEPCPD (2)又EPF=C=B，BEPCPF，（）當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時(shí)FDM=C=B， ，BEPDMF ， 又，0，此方程無實(shí)數(shù)根，故當(dāng)點(diǎn)F在線段