1、1.3.3 函數的奇偶性1.3函數的基本性質 還能回憶起：還能回憶起：什么是軸對稱圖形？什么是軸對稱圖形？什么是中心對稱圖形嗎？什么是中心對稱圖形嗎？ 中國的古建筑講求對稱美，相映成趣中國的古建筑講求對稱美，相映成趣, , 給人以穩給人以穩重、博大、端莊的感覺！重、博大、端莊的感覺！ 其實數學中的函數圖象也有對稱性其實數學中的函數圖象也有對稱性Oxy2)(xxfOxyxxf)(Oxy|)(xxfOxy|1)(xxfOxy3)(xxfli 對于這些對稱的函數圖象，它們體現對于這些對稱的函數圖象，它們體現了函數的什么性質？我們今天來學習這了函數的什么性質？我們今天來學習這個性質！個性質！以上函數圖

2、像有什么共同特征呢？以上函數圖像都關于y軸對稱把圖像關于y軸對稱函數稱為偶函數x2)(xxf)1(1)1(ff)2(4)2(ff)3(9)3(ff)()(xfxf猜想：猜想：.00111124423993.)()()(,)(就叫偶函數那么函數，都有的定義域內任意一個一般地，如果對函數xfxfxfxxf(1)偶函數的圖象有什么特征？(2)函數f(x)x2，x1,2是偶函數嗎？(3)偶函數的定義域有什么特征？(1)偶函數的圖象關于y軸對稱(2)函數f(x)x2，x1,2不是偶函數(3)偶函數的定義域關于原點對稱o3-2221-113-1-2-33f(x) = x觀察下圖圖像有什么共同的特征呢？觀察

3、下圖圖像有什么共同的特征呢？o3-2221-113-1-2-3f(x)=x 兩個函數的圖像都兩個函數的圖像都關于原點對稱關于原點對稱.f(x)=xx-3-2-101230-1-2-3149f(x)=x3x-3-2-101230-1-8-271827相應的兩個函數值對應表是如何體現這些特點的呢？相應的兩個函數值對應表是如何體現這些特點的呢？由此得到由此得到f(-x)=-x=-f(x) ，即，即f(-x)=-f(x).由此得到由此得到f(-x)=- x3 =-f(x),即即f(-x)=-f(x).當自變量當自變量x取一對相反數時，相應的函數值取一對相反數時，相應的函數值f(x)也是也是一對相反數一

4、對相反數. 從從函數值對應表可以看到互為相反數的點的函數值對應表可以看到互為相反數的點的縱坐標有什么關系？縱坐標有什么關系？ 對于對于R內任意的一個內任意的一個x，都有，都有f(-x)=-x=-f(x)，這，這時我們稱函數時我們稱函數f(x)=x為為奇函數奇函數.函數的奇偶性的定義函數的奇偶性的定義 一般地，如果對于函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域的定義域內的任意一個內的任意一個x，都有，都有f(-x)=-f(x),那么稱函那么稱函數數y=f(x)奇函數奇函數.奇函數的圖象有什么特征？ 我會總結我會總結偶函數是)(xf軸對稱關于的圖像函數yxf)()()()(xfxfxxf都有，域內任

5、意一個的定義對函數奇函數是)(xf關于原點對稱的圖像函數)(xf)()()(xfxfxxf都有，域內任意一個的定義對函數（1）判斷函數）判斷函數 的奇偶性的奇偶性.（2）如圖是函數）如圖是函數 圖像的一部分，能圖像的一部分，能否根據否根據f(x)的奇偶性畫出它在的奇偶性畫出它在y 軸左邊的圖像嗎？軸左邊的圖像嗎？ 3f(x) = x +x3f(x) = x +xyx0（1）奇函數）奇函數（2）根據奇函數的圖）根據奇函數的圖 像關于原點對稱像關于原點對稱例例1.1.判斷下列函數的奇偶性：判斷下列函數的奇偶性：（1 1） ； （2 2） ；（3 3） ； （4 4）4( ) f xx5( )f x

6、x1( ) f xxx分析：只要按照函數奇偶性的定義，分析：只要按照函數奇偶性的定義， 檢驗各個函數是否符合即可檢驗各個函數是否符合即可. .f(x)x3x2x1. 例題解析解解：（：（1 1）對于函數）對于函數f(x)=xf(x)=x4 4，其定義域是，其定義域是 . . 因為對定義域內的每一個因為對定義域內的每一個x x，都有，都有 所以，函數所以，函數f(x)=xf(x)=x4 4為偶函數。為偶函數。(,) 44()()( ), fxxxf x(2)(2)對于函數對于函數f(f(x x)=)=x x5 5，其定義域為，其定義域為 . . 因為對定義域內的每一個因為對定義域內的每一個x x

7、，都有，都有 所以，函數所以，函數f(f(x x)=)=x x5 5為奇函數為奇函數. .(,) 55()()( ), fxxxf x(3)(3)對于函數對于函數 ，其定義域是，其定義域是 x x| |x x0.0.因為對于定義域內的每一個因為對于定義域內的每一個x x，都有，都有所以，函數所以，函數 為奇函數為奇函數. .1( ) f xxx1( ) f xxx11()()( ), fxxxf xxx(4)函數 f(x)的定義域為(，1)(1，)，不關于原點對稱，故函數 f(x)不具有奇偶性. 用函數奇偶性的定義判斷函數奇偶性的一般步驟是：用函數奇偶性的定義判斷函數奇偶性的一般步驟是：（1

8、1）先求函數的定義域，由于在函數奇偶性的定義中都是）先求函數的定義域，由于在函數奇偶性的定義中都是x x和和-x-x對應出現，故具備奇偶性的函數的定義域區間一定關對應出現，故具備奇偶性的函數的定義域區間一定關于坐標原點對稱，如果求出函數的定義域不是關于坐標原于坐標原點對稱，如果求出函數的定義域不是關于坐標原點對稱的，則這個函數不具備奇偶性點對稱的，則這個函數不具備奇偶性. .（2 2）驗證）驗證f(-x)=f(x) f(-x)=f(x) ，或者，或者f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).（3 3）根據函數奇偶性的定義得出結論）根據函數奇偶性的定義得出結論. . 歸納升華1.1.函數函

9、數f(x)=xf(x)=x2 2，x0 x0，) )的奇偶性是的奇偶性是( )( )A.A.奇函數奇函數 B.B.偶函數偶函數C.C.非奇非偶函數非奇非偶函數 D.D.既是奇函數，又是偶函數既是奇函數，又是偶函數【提示提示】函數定義域不關于原點對稱，所以函數是函數定義域不關于原點對稱，所以函數是非奇非偶函數非奇非偶函數C C 達標檢測2.2.已知函數已知函數f f（x x）為奇函數，且當）為奇函數，且當x x0 0時，時，f f（x x）= x= x2+ + ，則，則f f（-1-1）= =（ ）A A2 2 B B1 1 C C0 0 D D-2-21x解題提示：解題提示：由條件利用函數的奇

10、偶性可得；由條件利用函數的奇偶性可得； f f（-1-1）=-f=-f（1 1），運算求得結果），運算求得結果D D3.3.若函數若函數f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+3a+b+bx+3a+b是偶函數，定義域是偶函數，定義域為為a-1,2aa-1,2a, ,則則a=_a=_，b=_.b=_.【解析解析】因為定義域為因為定義域為a-1,2aa-1,2a關于原點對稱，關于原點對稱，所以所以a-1+2a=0a-1+2a=0，所以，所以a=a=又因為又因為f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)，所以所以 x x2 2-bx+1+b= x-bx+1+b= x2 2+bx+1+b,+bx+1+b,由對應項系數相等得，由對應項系數相等得，-b=b-b=b，所以，所以b=0.b=0.1.3130 013134. 4. 判斷下列函數的奇偶性判斷下列函數的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1(1) f(x)=x- (1) f(x)=x- 1x(3). f(x)=x2+x (4) f(x)=0答案答案:(1)奇函數奇函數(