1、 第一節第一節 彎曲變形的根本概念彎曲變形的根本概念 第二節第二節 梁的撓曲線近似微梁的撓曲線近似微分方程分方程 第三節第三節 用疊加法計算梁的用疊加法計算梁的變形變形 梁的剛度條件梁的剛度條件 第四節第四節 靜不定梁靜不定梁第十三章第十三章 彎曲變形與靜不定梁彎曲變形與靜不定梁v本章引見了梁的彎曲變形的根本知識，主要包括撓本章引見了梁的彎曲變形的根本知識，主要包括撓曲線及梁的剛度條件。學習時要掌握梁的彎曲變形曲線及梁的剛度條件。學習時要掌握梁的彎曲變形的根本概念，了解撓曲線近似微分方程的推導過程，的根本概念，了解撓曲線近似微分方程的推導過程，掌握積分法和疊加法計算梁的變形，同時了解提高掌握積

2、分法和疊加法計算梁的變形，同時了解提高梁剛度的方法。了解變形比較法求靜不定梁的計算梁剛度的方法。了解變形比較法求靜不定梁的計算過程。過程。教學目的和要求教學目的和要求v梁彎曲變形的根本概念；梁彎曲變形的根本概念；v撓曲線的近似微分方程；撓曲線的近似微分方程；v積分法和疊加法計算梁的變形；積分法和疊加法計算梁的變形；v梁的剛度條件。梁的剛度條件。教學重點教學重點v撓曲線近似微分方程的推導過程；撓曲線近似微分方程的推導過程；v積分法和疊加法計算梁的變形；積分法和疊加法計算梁的變形；v變形比較法求解靜不定梁。變形比較法求解靜不定梁。教學難點教學難點第一節第一節 彎曲變形的根本概念彎曲變形的根本概念齒

3、輪傳動軸的彎曲變形齒輪傳動軸的彎曲變形軋鋼機或壓延機的彎曲變形軋鋼機或壓延機的彎曲變形1.撓曲線撓曲線 梁變形后的軸線稱為撓曲線梁變形后的軸線稱為撓曲線 。撓曲線方程為撓曲線方程為)(xfy 式中式中 ，x 為梁變形前軸線上任一點的橫坐標為梁變形前軸線上任一點的橫坐標 ，y為該點的撓度。為該點的撓度。C yAB xCy撓度撓度轉角轉角 撓曲線撓曲線C yAB xCy撓度撓度轉角轉角 ：橫截面對其初始位置的所轉過的角度：橫截面對其初始位置的所轉過的角度 , 稱為該截稱為該截面的轉角。面的轉角。轉角轉角 撓度撓度 y: 橫截面形心橫截面形心 C (即軸線上的點即軸線上的點)在垂直于在垂直于 x 軸

4、方向軸方向的線位移，稱為該截面的撓度。的線位移，稱為該截面的撓度。 它們是度量梁變形后橫截面位移的兩個根本量。它們是度量梁變形后橫截面位移的兩個根本量。2.撓度和轉角撓度和轉角撓度與轉角的關系小變形的條件下為撓度與轉角的關系小變形的條件下為撓度和轉角符號的規定為撓度和轉角符號的規定為撓度：向上為正，向下為負。撓度：向上為正，向下為負。轉角：自轉角：自 x 轉至轉至 切線方向，逆時針轉為正，順時針轉為負。切線方向，逆時針轉為正，順時針轉為負。tandydxEIxMx)()(1一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程EIxMxy)(dd22所以上式就是撓曲線近似微分方程。上式就是撓曲線近似微分

5、方程。222/3222dd )(1 )dd(1 dd)(1xyxxyxyx小變形小變形xM00dd22xyxM00dd22xyyyooEIM1EIxMxy)(dd22第二節第二節 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程)(dd22xMxyEI對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下方式：對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下方式：二、用積分法求梁的彎曲變形二、用積分法求梁的彎曲變形CxxMxEIxyEId)()(ddDCxxxxMxEIy d d)()(微分方程的積分微分方程的積分 式中C、D為積分常數，可根據梁的邊境條件和延續性條件確定。EIxMxy)(dd22PABCPD邊

6、境條件和延續性條件邊境條件和延續性條件邊境條件：撓曲線上某些點的撓度和轉角是知的。邊境條件：撓曲線上某些點的撓度和轉角是知的。例如，圖示簡支梁鉸支座處截面的撓度為零；例如，圖示簡支梁鉸支座處截面的撓度為零；懸臂梁固定端處截面的撓度和轉角都等于零。懸臂梁固定端處截面的撓度和轉角都等于零。延續性條件延續性條件: 撓曲線上恣意點有獨一確定的撓度和轉角。假設延續性條件不滿足，那么撓曲線就不延續假設延續性條件不滿足，那么撓曲線就不延續(圖圖a)和不光滑和不光滑(圖圖b)。ABABCC1邊境條件為2延續性條件為, 0Ay0By右左CC,右左CCyy圖a 圖b 對上述梁：對上述梁：例例13-1 13-1 懸

7、臂梁受集中載荷懸臂梁受集中載荷P P作用，其抗彎剛度為作用，其抗彎剛度為EIEI，試用積分法，試用積分法求轉角方程和撓曲線方程，并確定最大轉角和最大撓度。求轉角方程和撓曲線方程，并確定最大轉角和最大撓度。 解解 1 1建立坐標系并寫出彎建立坐標系并寫出彎矩方程。矩方程。)()(xLPxM2 2寫出撓曲線近似微分方程并寫出撓曲線近似微分方程并積分。積分。 3 3確定積分常數確定積分常數 。)()(xLPxMyEI CPLxxPyEI22DCxxPLxPEIy23260 ; 0 DCPLxyx當0 x時，0AAy，0Ay求得AB4 4寫出撓曲線近似方程并畫出撓曲線的大致外寫出撓曲線近似方程并畫出撓

8、曲線的大致外形。形。)3(6)(2LxEIPxxyEIPLyyB33maxEIPLB22max5 5最大轉角及最大撓度絕對值最大。最大轉角及最大撓度絕對值最大。xPLyBByB 例例13-2 13-2 圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為 EI EI 的簡支梁的簡支梁, , 在全梁上受集度為在全梁上受集度為q q 的均布載荷作用。試求此梁的撓曲線方程和轉角方程的均布載荷作用。試求此梁的撓曲線方程和轉角方程, , 并確定其最大撓度并確定其最大撓度 ymax ymax 和最大轉角和最大轉角 max max 。lABq2qlRRBA解解: 由對稱性可知，梁的兩個支反力為由對稱性可知，梁的兩個支反力為lA

9、BqRARB梁的梁的 彎矩方程彎矩方程 及及 撓曲線微分方程撓曲線微分方程 分別為分別為 )(2212)(22xlxqqxxqlxM )(2)( 2xlxqxMEIy xlxqxMEIy)(2)( 2 (c)CxlxqEIy132)32(2(d)CxCxlxqEIy2143)126(2邊境條件為邊境條件為 ,0 x0y, lx 0y將邊境條件代入將邊境條件代入 (c) , (d) 兩式得兩式得02 C2431qlC 梁的轉角方程和撓度方程分別為)2(24)46(24323323xlxlEIqxyxlxlEIqy在在 x = 0 和和 x = l 處轉角的處轉角的絕對值相等且都是絕對值相等且都是

10、最大值，為最大值，為maxABEIql243lABqRARB ABBEIqlyylx384542max在梁跨中點在梁跨中點 l /2 處有處有 最大撓度值最大撓度值ymaxlABqRARB 適用于小變形情況下、線彈性資料、細長構件的平面彎曲。 可運用于求解接受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數由撓曲線變形的邊境條件、延續性條件確定。EIxMxy)(dd22撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程優點：運用范圍廣，可求出撓度和轉角的普遍方程；優點：運用范圍廣，可求出撓度和轉角的普遍方程；缺陷：計算較繁。缺陷：計算較繁。積分法：積分法：第三節第三節 用疊加法計算梁的變形用疊加法計算梁的變形

11、梁的剛度條件梁的剛度條件1小變形，軸向位移可忽略；小變形，軸向位移可忽略；2線彈性范圍任務。線彈性范圍任務。3梁的撓度和轉角與載荷成線性關系。梁的撓度和轉角與載荷成線性關系。多個載荷同時作用于構造而引起的變形等于每個載荷單多個載荷同時作用于構造而引起的變形等于每個載荷單 獨作用于構造而引起的變形的代數和。獨作用于構造而引起的變形的代數和。)()()()(221121nnnPPPPPP )()()()(2121nnPyPyPyPPPy 一、用疊加法求梁的彎曲變形一、用疊加法求梁的彎曲變形OBPA2/ lPlMB2/ l例例13-3 用疊加法求如下圖梁的截面用疊加法求如下圖梁的截面A的撓度和截面的

12、撓度和截面B的轉角。的轉角。EI=常量。常量。 解解 1P單獨作用時，梁的單獨作用時，梁的左半段左半段OA的變形好像懸臂梁的變形好像懸臂梁在末端受集中力作用時的變在末端受集中力作用時的變形；右半段形；右半段AB部分梁沒有變部分梁沒有變形位移，但其有剛體位移。形位移，但其有剛體位移。剛體位移可以看作是隨剛體位移可以看作是隨A截面截面的平動與繞的平動與繞A截面的轉動。所截面的轉動。所以以B截面的轉角等于截面的轉角等于A截面的截面的轉角。轉角。 (2MB單獨作用時，單獨作用時，A、B兩截面變形位移可以直接從表中查出。兩截面變形位移可以直接從表中查出。3P和和MB共同作用時，運用疊加法可得知，共同作用

13、時，運用疊加法可得知，A截面撓度為兩種截面撓度為兩種載荷的代數和，載荷的代數和，B截面的轉角也為兩者的代數和。截面的轉角也為兩者的代數和。例例13-413-4用疊加法求圖示梁的用疊加法求圖示梁的CABy、，EI=常量。qABCP2/ l2/ lM=+ABqAB+ABM3224163AqlPlmlEIEIEI 3224163BqlPlmlEIEIEI43253844816CqlPlmlyEIEIEI 解解 運用疊加法運用疊加法二、梁的剛度條件二、梁的剛度條件 maxmax,yy常見梁構造的許用撓度和許用轉角如下：常見梁構造的許用撓度和許用轉角如下： (0.0003 0.0005) 0.001 0

14、.005ylrad 0.001rad11 ()750400yl11 ()400250yl普通傳動軸齒輪軸吊車梁樓蓋梁例例13-5 如下圖工字鋼梁，如下圖工字鋼梁，l=8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， y = l500，E=200GPa，=100MPa。試根據梁的剛度條件，確定梁的答應載荷試根據梁的剛度條件，確定梁的答應載荷 P，并校核強，并校核強度。度。 解解 由剛度條件可得由剛度條件可得3max 48500PllyyEI248500EIPl解得 7.11kNP 所以得由梁的最大彎曲應力為 maxmax60MPa 4zzMPlWWOBPA2/ l2/ lz120a因此，滿足

15、強度條件。因此，滿足強度條件。三、提高梁彎曲剛度的措施三、提高梁彎曲剛度的措施梁的變形不僅與梁的受力和支承情況有關，而且還梁的變形不僅與梁的受力和支承情況有關，而且還與梁的資料、截面外形與大小和梁的長度有關。與梁的資料、截面外形與大小和梁的長度有關。 提高梁剛度的措施為提高梁剛度的措施為 1.增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度EI；2.減小梁的跨度；減小梁的跨度；3.改動加載方式。改動加載方式。靜不定梁：梁的未知反力的數目將多于靜力學平衡方程的靜不定梁：梁的未知反力的數目將多于靜力學平衡方程的數目，僅由平衡方程不能求出全部的約束反力和內力，這數目，僅由平衡方程不能求出全部的約束反力和內力，這種梁

16、稱為靜不定梁或超靜定梁。種梁稱為靜不定梁或超靜定梁。 多余約束：從維持平衡角度而言多余約束：從維持平衡角度而言, ,多余的約束。多余的約束。靜不定次數：未知約束反力數目與靜平穩方程條件數目靜不定次數：未知約束反力數目與靜平穩方程條件數目之差稱為靜不定次數。之差稱為靜不定次數。 相當系統：靜不定梁的多余約束解除后，所得到的受相當系統：靜不定梁的多余約束解除后，所得到的受力與原靜不定梁一樣的靜定梁，稱為原梁的相當系統。力與原靜不定梁一樣的靜定梁，稱為原梁的相當系統。 第四節第四節 靜不定梁靜不定梁一、靜不定梁的根本概念一、靜不定梁的根本概念EIqLABqLRBABxyBLA靜定基靜定基相當系統相當

17、系統二、用變形比較法求解靜不定梁二、用變形比較法求解靜不定梁0BBBqBRyyy變形協調條件為變形協調條件為補充方程為補充方程為43083BqlR lEIEI約束反力為約束反力為38BRql用變形比較法求解靜不定梁的普通步驟：用變形比較法求解靜不定梁的普通步驟：1選擇根本靜定系，確定多余約束及反力。選擇根本靜定系，確定多余約束及反力。2比較根本靜定系與靜不定梁在多余處的變形、確定比較根本靜定系與靜不定梁在多余處的變形、確定變形協調條件。變形協調條件。3計算各自的變形，利用疊加法列出補充方程。計算各自的變形，利用疊加法列出補充方程。4由平衡方程和補充方程求出多余反力，其后內力、由平衡方程和補充方

18、程求出多余反力，其后內力、強度、剛度的計算與靜定梁完全一樣。強度、剛度的計算與靜定梁完全一樣。例例13-613-6如下圖靜不定梁，等截面梁如下圖靜不定梁，等截面梁ACAC的抗彎剛度的抗彎剛度EIEI，拉，拉桿桿BDBD的抗拉剛度的抗拉剛度EAEA，在，在F F力作用下，試求力作用下，試求BDBD桿的拉力和截面桿的拉力和截面C C的撓度。的撓度。LACD2/ l2/ lFBAC2/ l2/ lFBFB解解 (1)選擇根本靜定梁。解除選擇根本靜定梁。解除BD桿約束，以反力桿約束，以反力FB替代。替代。2列出變形協調條件。BBDyl BBBFBRyyy2325(3)( )648BFlxFxFlylxEIEI3( )2( )3BBBRlRyEI3354824BBFlR lR lEIEIEA2512(124)BFRIAl3在根本靜定梁上由疊加法求撓度。 3( )3CFFlyEI2322251(3)()( )696124BBCRlxR xFlylxIEIEIAl32251332(124)NCCFCFFl