1、解析幾何壓軸大題策略5大技法破解“計算繁而雜”這一難題中學解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標系中，用方程的觀點來研究曲線，體現了用代數的方法解決幾何問題的優越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至會中止解題的過程，達到“望題興嘆”的地步特別是高考過程中，在規定的時間內，保質保量完成解題的任務，計算能力是一個重要的方面因此，本講從以下5個方面探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優化思維過程，達到快準解題回歸定義，以逸待勞回歸定義的實質是重新審視概念，并用相應的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策略和思想方法圓錐曲線的定義既是有關圓錐曲線問題的出發點，又是新知識

2、、新思維的生長點對于相關的圓錐曲線中的數學問題，若能根據已知條件，巧妙靈活應用定義，往往能達到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果典例如圖，F1，F2是橢圓C1：y21與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.B.C. D.解題觀摩由已知，得F1(，0)，F2(，0)，設雙曲線C2的實半軸長為a，由橢圓及雙曲線的定義和已知，可得解得a22，故a.所以雙曲線C2的離心率e.答案D題后悟通本題巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立|AF1|，|AF2|的等量關系，從而快速求出雙曲線實半軸長a的值，進而求出雙曲線的離心率，大大降低了

3、運算量針對訓練1.如圖，設拋物線y24x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A. B.C. D.解析：選A由題可得，故選A.2拋物線y24mx(m0)的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若點A(m,0)，則的最小值為_解析：設點P的坐標為(xP，yP)，由拋物線的定義，知|PF|xPm，又|PA|2(xPm)2y(xPm)24mxP，則2(當且僅當xPm時取等號)，所以，所以的最小值為.答案：設而不求，金蟬脫殼設而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實質是整體結構意義上的變式和整體思

4、想的應用設而不求的靈魂是通過科學的手段使運算量最大限度地減少，通過設出相應的參數，利用題設條件加以巧妙轉化，以參數為過渡，設而不求典例已知橢圓E：1(ab0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交E于A，B兩點若AB的中點坐標為(1，1)，則E的標準方程為()A.1 B.1C.1 D.1解題觀摩設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，y1y22，得0，所以kAB.又kAB，所以.又9c2a2b2，解得b29，a218，所以橢圓E的方程為1.答案D題后悟通(1)本題設出A，B兩點的坐標，卻不求出A，B兩點的坐標，巧妙地表達出直線AB的斜率，通過將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間

5、的關系，從而快速解決問題(2)在運用圓錐曲線問題中設而不求的方法技巧時，需要做到：凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“設而不求”；“設而不求”不可避免地要設參、消參，而設參的原則是宜少不宜多針對訓練1已知O為坐標原點，F是橢圓C：1(ab0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點P為C上一點，且PFx軸過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E，若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：選A設OE的中點為G，由題意設直線l的方程為yk(xa)，分別令xc與x0得|FM|k(ac)，|OE|ka，由OBGFBM，得，即，整理得，所以橢圓C的離心率

6、e，故選A.2過點M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(ab0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于_解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.即橢圓C的離心率e.答案：巧設參數，變換主元換元引參是一種重要的數學方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參使一些關系能夠相互聯系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達到事半功倍常見的參數可以選擇點的坐標、直線的斜率、直線的傾斜角等在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴大或縮小原來變量的取值范圍或改變原

7、題條件典例設橢圓1(ab0)的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點若|AP|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|.解題觀摩法一：依題意，直線OP的方程為ykx，設點P的坐標為(x0，y0)聯立消去y0并整理，得x.由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224.又ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|.法二：依題意，直線OP的方程為ykx，可設點P的坐標為(x0，kx0)由點P在橢圓上，得1.因為ab0，kx00，所以1，即(1

8、k2)xa2.由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0，代入，得(1k2)a2，解得k23，所以|k|.法三：設P(acos ，bsin )(02)，則線段OP的中點Q的坐標為.|AP|OA|AQOPkAQk1.又A(a,0)，所以kAQ，即bsin akAQcos 2akAQ.從而可得|2akAQ| a，解得|kAQ|，故|k|.題后悟通求解本題利用橢圓的參數方程，可快速建立各點之間的聯系，降低運算量針對訓練設直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點，與圓C：(x5)2y2r2(r0)相切于點M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4

9、條，求r的取值范圍解：不妨設直線l的方程為xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入拋物線y24x并整理得y24ty4m0，則有16t216m0，y1y24t，y1y24m，那么x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，可得線段AB的中點M(2t2m,2t)，而由題意可得直線AB與直線MC垂直，即kMCkAB1，可得1，整理得m32t2(當t0時)，把m32t2代入16t216m0，可得3t20，即0t23，又由于圓心到直線的距離等于半徑，即d2r，而由0t23可得2r4.妙借向量，無中生有平面向量是銜接代數與幾何的紐帶，溝通“數”與“形”，融數、形于一體，是數形結合的典范，具有幾何

10、形式與代數形式的雙重身份，是數學知識的一個交匯點和聯系多項知識的媒介妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運算效率，達到良好效果典例如圖，在平面直角坐標系xOy中，F是橢圓1(ab0)的右焦點，直線y與橢圓交于B，C兩點，且BFC90，則該橢圓的離心率是_解題觀摩把y代入橢圓1，可得xa，那么B，C，而F(c,0)，那么，又BFC90，故有c2a2b2c2a2(a2c2)c2a20，則有3c22a2，所以該橢圓的離心率為e.答案題后悟通本題通過相關向量坐標的確定，結合BFC90，巧妙借助平面向量的坐標運算來轉化圓錐曲線中的相關問題，從形入手轉化為相應數的形式，簡化運算針對訓練已知橢圓C的標

11、準方程為1，圓O的方程為x2y22，設P，Q分別是橢圓C和圓O上位于y軸兩側的動點，若直線PQ與x軸平行，直線AP，BP與y軸的交點記為M，N，試判斷MQN是否為定值，若是，請證明你的結論；若不是，請舉出反例說明解：MQN是定值90，證明如下：設P(x0，y0)，直線AP：yk(x2)(k0)，令x0可得M(0,2k)，將1與yk(x2)聯立，整理可得(2k21)x28k2x8k240，則2x0，可得x0，y0，故P.直線BP斜率kBP，則直線BP：y(x2)，令x0可得N，設Q(xQ，y0)，則(xQ,2ky0)，由xy2，y0，可得xy2y00，所以QMQN，故MQN是定值90.巧用“韋達

12、”，化繁為簡某些涉及線段長度關系的問題可以通過解方程、求坐標，用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關的點的同名坐標為方程的根，由根與系數的關系求出兩根間的關系或有關線段長度間的關系后者往往計算量小，解題過程簡捷典例已知橢圓y21的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點(1)當直線AM的斜率為1時，求點M的坐標；(2)當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由解題觀摩(1)直線AM的斜率為1時，直線AM的方程為yx2，代入橢圓方程并化簡得5x216x120.解得x12，x2，所以

13、M.(2)設直線AM的斜率為k，直線AM的方程為yk(x2)，聯立方程化簡得(14k2)x216k2x16k240.則xAxM，xMxA2.同理，可得xN.由(1)知若存在定點，則此點必為P.證明如下：因為kMP，同理可計算得kPN.所以直線MN過x軸上的一定點P.題后悟通本例在第(2)問中應用了根與系數的關系求出xM，這體現了整體思想這是解決解析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設而不求，大大降低了運算量針對訓練已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且經過點P，左、右焦點分別為F1，F2.(1)求橢圓C的方程；(2)過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若AF2B的內切圓半徑為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程解：(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，將點P的坐標代入橢圓方程得c21，故所求橢圓方程為1.(2)由(1)可知F1(1,0)，設直線l的方程為xty1，代入橢圓方程，整理得(43t2)y26ty90