1、會(huì)計(jì)學(xué)1線性代數(shù)線性代數(shù)52是是 A的特征值的特征值 n , 21于是于是 是是 n階階方陣方陣 A的的 n個(gè)個(gè)線性無關(guān)的特線性無關(guān)的特征向量。征向量。 nXXX,21 反之，設(shè)反之，設(shè)n階階方陣方陣 A有有n個(gè)個(gè)線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量 ，它們對(duì)應(yīng)的特征值為，它們對(duì)應(yīng)的特征值為 則則nXXX,21n ,21iiiXAX （ ） ni, 2 , 1 令令 ，因，因 為為 n個(gè)線性無關(guān)的個(gè)線性無關(guān)的 n元列向量，故元列向量，故 P是是 n階方陣且逆。階方陣且逆。21nXXXP nXXX,21第1頁/共28頁又又21nXXXAAP 21nAXAXAX 2211nnXXX nnXXX 2

2、121 第2頁/共28頁 nP 21故故 nAPP 211即即 A可對(duì)角化。可對(duì)角化。 第3頁/共28頁 定理定理 n階方陣階方陣 A可相似對(duì)角化的充分必要條件可相似對(duì)角化的充分必要條件是是A有有 n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 例例 下列矩陣是否可對(duì)角化下列矩陣是否可對(duì)角化 111222111A第4頁/共28頁解解 已知矩陣已知矩陣 111222111A有特征值有特征值 0（二重）和（二重）和 - -2，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 ,)1 , 0 , 1(,)0 , 1 , 1(TT T)1 , 2, 1( 因因 0110201111 第5頁/共28頁故這三個(gè)

3、特征向量線性無關(guān)。于是故這三個(gè)特征向量線性無關(guān)。于是A可相似對(duì)角化。可相似對(duì)角化。 以三個(gè)特征向量為列構(gòu)造矩陣以三個(gè)特征向量為列構(gòu)造矩陣 110201111P則則 2001APP第6頁/共28頁例例 已知已知 300320321A問問 A可否相似對(duì)角化？可否相似對(duì)角化？ 解解 )3)(2)(1(| AI A有特征值有特征值 ，它們對(duì)應(yīng)的特征向，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為量分別為 3, 2, 1 TTT)1, 3,29( ,)0, 1, 2( ,)0, 0, 1( 第7頁/共28頁 因這三個(gè)向量線性無關(guān)，故因這三個(gè)向量線性無關(guān)，故 A可相似對(duì)角化。以可相似對(duì)角化。以三個(gè)特征向量為列構(gòu)造矩陣三個(gè)特征

4、向量為列構(gòu)造矩陣 1003102921P則則 3211APP第8頁/共28頁 定理定理 設(shè)設(shè) 是是 A的互不相同的特征的互不相同的特征值，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為值，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 ，則則 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 m ,21mXXX,21證明證明 對(duì)對(duì) m作歸納法：作歸納法： m =1： 線性無關(guān)；線性無關(guān)； 11XX m - -1：設(shè)：設(shè) 線性無關(guān)；線性無關(guān)； 121, mXXXm： 證證 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 mmXXX,11 mXXX,21第9頁/共28頁令令 mmXkXk11 則則 AXkXkAmm )(11 )()(11mmAXkAXk mmmXkXk111 由又得由又得 m

5、mmmXkXk11 第10頁/共28頁- -得得 111111)()(mmmmmXkXk根據(jù)歸納假設(shè)根據(jù)歸納假設(shè) 線性無關(guān)，故線性無關(guān)，故 121, mXXX0)( , 0)(1111 mmmmkk 已知已知 互不相同，故互不相同，故 m ,210011 mmm ， 由此得由此得 0, 011 mkk 第11頁/共28頁代入得代入得 mmXk又又 ，故，故 。于是，。于是， 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 mX0 mkmXXX,21 推論推論 若若 n階方陣有階方陣有 n個(gè)不同的特征值，則該矩陣個(gè)不同的特征值，則該矩陣可相似對(duì)角化。可相似對(duì)角化。 當(dāng)方陣有重特征值時(shí)，線性無關(guān)特征向量的個(gè)當(dāng)方陣有重特征值

6、時(shí)，線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)數(shù) 又如何呢？又如何呢？第12頁/共28頁在前面的例中，對(duì)矩陣在前面的例中，對(duì)矩陣 111222111A其兩個(gè)特征值其兩個(gè)特征值 - -2與與0（二重）對(duì)應(yīng)的特征向量分別（二重）對(duì)應(yīng)的特征向量分別 TX1, 2, 11 TTXX1, 0, 10, 1, 132 第13頁/共28頁不難發(fā)現(xiàn)，不難發(fā)現(xiàn)， 線性無關(guān)線性無關(guān) 線性無關(guān)線性無關(guān) 1X32XX ,線性無關(guān)線性無關(guān) 定理定理 設(shè)設(shè) 是矩陣是矩陣A的互不相同特征的互不相同特征值，值， 是是A屬于屬于 的線性無關(guān)的線性無的線性無關(guān)的線性無關(guān)的特征向量，則關(guān)的特征向量，則 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 m ,21iiriiXXX

7、,21i mmrmrrXXXXXX,122111121第14頁/共28頁第15頁/共28頁設(shè)設(shè) 是方陣是方陣A的特征值的特征值 0 設(shè)設(shè) ，且，且 則稱則稱 是特征值是特征值 的的代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù) ，簡(jiǎn)稱為，簡(jiǎn)稱為重?cái)?shù)重?cái)?shù)；)()(|00 hAIp0)(0 h0p0 設(shè)設(shè) 的維數(shù)為的維數(shù)為 ，則稱，則稱 是特征值是特征值 的的幾幾何重?cái)?shù)何重?cái)?shù)。 0 V0q0q0 00VN IA 稱之為稱之為 A 的屬于特征值的屬于特征值 的的特征子空間特征子空間 。0 其中，其中，第16頁/共28頁 定理定理 設(shè)設(shè) 是方陣是方陣A的特征值，則的特征值，則 的幾何重?cái)?shù)的幾何重?cái)?shù) 不大于其代數(shù)重?cái)?shù)不大于其代數(shù)重?cái)?shù)

8、 。 0 0 0q0p第17頁/共28頁mmpppqqq 2121的階數(shù)的階數(shù)Apppm 21 線性無關(guān)特征向量最大個(gè)數(shù)線性無關(guān)特征向量最大個(gè)數(shù) Aqqqm 21第18頁/共28頁 定理定理 設(shè)設(shè) 是是n階方陣階方陣A的全部互異的的全部互異的特征值，特征值， 和和 分別是特征值分別是特征值 的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)重?cái)?shù)(i =1, 2, m)，則，則 A可相似對(duì)角化的充分必要條可相似對(duì)角化的充分必要條件是件是m ,21ipiqi miqpii, ,21 例例 判斷矩陣判斷矩陣 201034011A可否對(duì)角化。可否對(duì)角化。 第19頁/共28頁解解 2)1)(2(3411)2(2010

9、34011| AIA的特征值為的特征值為2（代數(shù)重?cái)?shù)為（代數(shù)重?cái)?shù)為1）和）和1（代數(shù)重（代數(shù)重?cái)?shù)為數(shù)為2）。）。第20頁/共28頁對(duì)對(duì) ，考慮齊次方程組，考慮齊次方程組 ： 1 0)( XAI 000210101101024012行行AI因矩陣因矩陣I- -A的秩為的秩為2，故方程組，故方程組(I- -A)X=0的基礎(chǔ)解系只的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解，由此得特征值含一個(gè)解，由此得特征值1的幾何重?cái)?shù)為的幾何重?cái)?shù)為1，小于其代，小于其代數(shù)重?cái)?shù)數(shù)重?cái)?shù)2，故，故A不可對(duì)角化。不可對(duì)角化。 第21頁/共28頁例例 已知已知 12012002aA 問問 滿足什么條件時(shí)，滿足什么條件時(shí)，A可對(duì)角化？可對(duì)角化？ a

10、解解 首先首先 212| () ()IA 所以，所以，A的特征值為的特征值為2（代數(shù)重?cái)?shù)為（代數(shù)重?cái)?shù)為1）和）和1（代數(shù)重（代數(shù)重?cái)?shù)為數(shù)為2）。）。第22頁/共28頁 考慮考慮 A的的特征值特征值 1。對(duì)方程組。對(duì)方程組 ，僅當(dāng)僅當(dāng) 秩秩 時(shí)，才能使基礎(chǔ)解系含時(shí)，才能使基礎(chǔ)解系含 2個(gè)解。個(gè)解。即此時(shí)特征值即此時(shí)特征值1的幾何重?cái)?shù)等于的幾何重?cái)?shù)等于2。 0()IA X1()IA又又 0200002001001000aaIA 故故 。 0a 所以，當(dāng)所以，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，A可對(duì)角化。可對(duì)角化。 0a 第23頁/共28頁例例 設(shè)設(shè) 1111111111111111A求求 。 nA解解 3)2)(2(| AI A有特征值有特征值 - -2 （代數(shù)重?cái)?shù)為（代數(shù)重?cái)?shù)為1）和）和 2（代數(shù)重?cái)?shù)為（代數(shù)重?cái)?shù)為3）第24頁/共28頁對(duì)對(duì) ，解，解 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 2 0)2( XAITX)0 , 0 , 1, 1(1 TX)0 , 1, 0 , 1(2 TX)1, 0 , 0 , 1(3 故特征值故特征值2的幾何重?cái)?shù)也為的幾何重?cái)?shù)也為3，由此得由此得A可對(duì)角化。可對(duì)角化。 第25頁/共