1、曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸曲線的拐點一.函數的凹凸性 前面我們運用導數判別了函數圖形上升和下降的規律，但這還不能完全反映它的變化規律如圖所示， 的圖形在區間 內雖然不斷上升，但卻有著不同的彎曲情況.)(xfy ),(ba 定義3.2 設函數 在區間 內，曲線弧位于其恣意一點切線的上方，那么稱曲線在 內是凹的；設函數在區間 內，曲線弧位于其恣意一點切線的下方，那么稱曲線在 內是凸的.)(xfy ),(ba),(ba),(ba),(ba如左圖所示的圖形在 是凹的.),(ba如右圖所示的圖形在 內是凸的),(ba 由前面兩圖可以看出，假設曲線是凹的，曲線的切線斜率 隨著 的增大而逐漸增大，即函數 是

2、單調添加的假設曲線是凸的，曲線的切線斜率 隨著 的增大而逐漸減小，即函數 是單調遞減的而 的atanx)(xf atanx)(xf )(xf 單調性可由 的符號決議，故曲線的凹凸性與的 符號有關 定理3.8 設函數 在區間內二階導數 存在 (1)假設在 內 ，那么曲線 在 內是凹的；)(xf )(xfy )(xf )(xfy )(xf ),(ba( )0fx)(xfy ),(ba (2)假設在 內 ，那么曲線 在 內是凸的 ),(ba( )0fx)(xfy ),(ba例1 判別曲線 的凹凸性解 函數 的定義域為 ， ， ， 在 上， ，所以曲線 在 內是凹的如圖.xey xey ,xey xe

3、y ,0 yxey ,例2 判別曲線 的凹凸性 解 函數 的定義域為 , , ; 當 時 ， 故曲 線在 內是凸的. 當 時 ，故曲線在 內是凹的.點 是曲線由凸變凹的分界點如下圖. 3xy 3xy ,23xy xy6 0 x0y0 ,0 x0y , 0)0 , 0(前往二.曲線的拐點 定義3.3 延續曲線上凹凸的分界點稱為這條曲線的拐點 由拐點的定義可知，拐點是曲線凹凸的分界 點，因此，在拐點左右近旁 必然異號，而在 拐點處 或 不存在因此我們可以利 用二階導數 的符號來判別曲線的拐點)(xf ( )0fx)(xf )(xf 斷定曲線拐點的步驟為: (1)確定函數 的定義域； (2)求出 ，

4、解出使 和 不 存在的一切點 ； (3)對解出的每一個點 ，調查 在 左右近旁的符號，假設 的符號相反， 那么 就是拐點；假設 的符 號一樣，那么 就不是拐點)(xfy )(xf )(xf ( )0fx0 x0 x)(xf 0 x)(xf )(xf )(,(00 xfx)(,(00 xfx 例3 判別曲線 的凹凸性， 并求其拐點 解 (1)所求函數的定義域為 ； (2) (3) 由 ，解得: (4) 列表判別如下1234xxy,6423xxy);1(1212122 xxxxy0 y. 1, 021xx 拐點 拐點xy y0 ,) 1 , 0(, 11000) 1 , 0()0 , 1 (表中的符號“ 、“ 分別表示曲線是“凹、“凸的. 由上表可知，曲線在區間 和 是凹的，在區間 是凸的 曲線拐點為 0 , 1) 1 , 0() 1 , 0(和)0 , 1 ( 例4 判別曲線 的凹凸性，并求其拐點 解 (1)所求函數的定義域為 ； (2) ， ； (3)令 ，解得 ； (4)列表判別如下xxey,)1 (xeyx)2( xeyx0y 2x 拐點xy y 2 ,2, 2)2 , 2(2e0 例5 判別曲線 能否有拐點? 解 (1)函數的定義域為 ； (2) ； (3)令 ，解得 ；