1、四、坐標(biāo)系的選取四、坐標(biāo)系的選取在描述剛體運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，通常采用兩種坐標(biāo)系： 固定在空間的坐標(biāo)系Oxyz五、剛體運(yùn)動(dòng)的分類五、剛體運(yùn)動(dòng)的分類 1、平動(dòng)：平動(dòng)：自由度(s=3)，可用其中任一點(diǎn)的坐標(biāo) x、y、z描述；剛體坐標(biāo)系 固定在剛體上并隨剛體一起運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系Cxyz 剛體平動(dòng)動(dòng)畫3、平面平行運(yùn)動(dòng)：平面平行運(yùn)動(dòng)：自由度(s=3)，用基點(diǎn)的坐標(biāo)及 其對(duì)垂直平面過(guò)基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)角描述(平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng))。 2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：自由度(s=1)，用對(duì)軸的轉(zhuǎn)角 描述； O 4、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：自由度(s3）,用描述軸的方向 的 , 角和剛體繞軸線的轉(zhuǎn)角 描述。 5、一一 般運(yùn)動(dòng)：般運(yùn)動(dòng)：自由度6，用描述質(zhì)

2、心位置的坐 標(biāo) 和對(duì)質(zhì)心“定點(diǎn)”轉(zhuǎn)動(dòng)的三個(gè)角 描述。 ,cccxy z,3.2 3.2 剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程 一、空間力系的簡(jiǎn)化一、空間力系的簡(jiǎn)化1、力的可傳性原理、力的可傳性原理FF力可沿它的作用線向前或向后移動(dòng)，剛體運(yùn)動(dòng)不因力沿力的作用前后移動(dòng)而改變。即：作用在剛體上的力是滑移矢量，而不是自由矢量。作用在剛體上的一組力系：力的集合作用在剛體上的若干對(duì)平衡零力系：力的集合作用于剛體的力的三要素：大小、方向和作用線2、力系的簡(jiǎn)化、力系的簡(jiǎn)化 共點(diǎn)力系：共點(diǎn)力系：采用平行四邊形法則簡(jiǎn)化為一個(gè)單 力合力 共面非平行力的簡(jiǎn)化：共面非平行力的簡(jiǎn)化： 利用力的可傳性原理，將兩力沿

3、力的作用線滑 移匯集于一點(diǎn)，再用平行四邊形法則簡(jiǎn)化為一個(gè)單 力合力。2F力偶矩的特點(diǎn)：(3) 平行力的簡(jiǎn)化平行力的簡(jiǎn)化力偶臂:力偶中兩個(gè)力的作用線之間的距離。力偶矩:力偶中任何一個(gè)力的大小與力偶臂d 的乘 積，方向可用右手螺旋定則確定。力偶：等大反向的一對(duì)平行力 （不在同一直線上）力學(xué)效果：引起物體的轉(zhuǎn)動(dòng)。力學(xué)效果：引起物體的轉(zhuǎn)動(dòng)。力偶矩等于力偶中兩力對(duì)任意一點(diǎn)力矩的矢量 和，故力偶矩的量值與取矩點(diǎn)無(wú)關(guān)。d d2F1F結(jié)論：力偶矩是自由矢量證明：o點(diǎn)任取1211()oABABABoMrFrFrrFrFM2Fo1FArBrABoABrArBr力的作用面不能隨意移動(dòng)。力的作用面不能隨意移動(dòng)。作用于

4、剛體的力偶的三要素：大小、方向和作用面只要不改變力偶矩的大小和方向，力偶可在其作用 面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)、平移，也可移到與作用面平行的任 意平面內(nèi)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力臂 的長(zhǎng)短，對(duì)剛體的作用效果不變。1F1F2F2F 如果剛體上有n個(gè)力偶作用，可將其力偶矩向任一點(diǎn)平移，按平行四邊形法則合成為一個(gè)力偶矩，也就是說(shuō)，諸力偶矩的矢量和就是合力偶矩。ooiMM(4) 一力向一點(diǎn)簡(jiǎn)化一力向一點(diǎn)簡(jiǎn)化說(shuō)明：該力和力偶矩對(duì)剛體的作用與原力等效。AoFoM 一力 向一點(diǎn)o簡(jiǎn)化，得一個(gè)力和一個(gè)力偶矩，該力等于原力，該力偶矩等于原力對(duì)o點(diǎn)之矩。FFAoFFFAo(5) 空間力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化空間力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化 結(jié)

5、論：結(jié)論：作用在剛體上的任意空間力系 可向簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化得：一個(gè)單力主矢和一個(gè) 力偶矩主矩。12n,.)F FF（主矢：主矢：主矩：主矩：1()niiiMrF1niiFF力系中每一個(gè)力都向簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化得一力和力偶矩，這些共點(diǎn)力和諸力偶矩可合成為一個(gè)單力和一個(gè)單力偶矩，其作用與原力系等效。簡(jiǎn)化為主矢和主矩例如下圖,將力系 1F2F和FM簡(jiǎn)化步驟：簡(jiǎn)化步驟：選取O為簡(jiǎn)化中心，則 將 和 平移至O, 合成后得主矢; 12FFF1F2F在O點(diǎn)作 的力矩的力矩,合成得到主矩：11OAMrF2F22OBMrF12MMM1F1MM二、自由剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程二、自由剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律(慣性系中)

6、22cd rmFdt即：cxcyczmxFmyFmzF由對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理(平動(dòng)質(zhì)心系中)：ccdJMdtcxcxcycyczczdJMdtdJMdtdJMdt即：、即為剛體的基本微分方程( )1neiiidTFdr動(dòng)能定理： 對(duì)保守力系，剛體機(jī)械能守恒TVE 原則上，由以上基本方程，就可以求解剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，還可用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律代替其中任一個(gè)方程。( )10niiiiFdr三、剛體的平衡方程三、剛體的平衡方程2、平衡方程、平衡方程00000000 xyzxyzFFFFMMMM 1、平衡條件：、平衡條件：剛體的平衡條件是受的主矢和主矩同時(shí)為 零, 若主矢 ,而主矩 則剛體有轉(zhuǎn)動(dòng)；若主

7、 矢 ，而主矩 , 則剛體有平動(dòng), 故剛體的平衡 條件為： 。0F 0M 0F 0M 0, 0FM平面力系平面力系0 0 0 xyzFFM一矩式一矩式空間力系空間力系二矩式二矩式000 xAzBzFMM三矩式三矩式000AzBzCzMMM適用條件：適用條件：兩個(gè)取矩點(diǎn)A、B的連線不得與投影軸垂直ABx適用條件：適用條件：三個(gè)取矩點(diǎn)不得共線ABC例1：一根均勻的棍子，重為P，長(zhǎng)為 ，今將其一端置于粗糙地面上，又以其上的C點(diǎn)靠在墻上，墻離地面的高度為h，當(dāng)棍子與地面的角度 為最小值 時(shí)，棍子在上述位置仍能處于平衡狀態(tài)，求棍子與地面的摩擦系數(shù) 。2l0llABC解: (1) 對(duì)棍子受力分析，建坐標(biāo)系

8、(2) 求摩擦系數(shù)所需的量2fN (3) 本題為平面力系的平衡問(wèn)題0,0,0 xyzFFM平衡條件：10102102100110000cos 900sin 0sin 900cos 0cossincos/ sinxyAzFfNfNFNNPNPNhMPlNNPlh2002200sincossincoslfNhlllABC說(shuō)明：說(shuō)明：也可用二矩式和三矩式平衡條件求解l 2例2：相同的兩個(gè)均質(zhì)光滑球懸在結(jié)于定點(diǎn)O的兩根繩子上，求兩球同時(shí)又支撐一個(gè)等重的均質(zhì)球，求: 之間的關(guān)系。角與 角解：(1) 本題需求角與 角的關(guān)系，須分別隔離紅球和綠球(2) 隔離紅球和左邊的綠球并受力分析， 本題屬于共面非平行力

9、的平衡問(wèn)題12120 ggggmgTTTT對(duì)紅球：對(duì)稱條件 22cos 1gmgT20glmgTT對(duì)：綠球 22sinsin 2coscos 3glglTTmgTT 22 4ggTT(1)(4)聯(lián)立方程可得：3tgtg說(shuō)明：方程(3)也可用下式替換2cos3lTmg整體法解解 ： （2）受力分析）受力分析,2 , BCNNQ P外力：平面力系（3）平衡方程）平衡方程0CzM0,0 xyFFABCDEMBNCN2QP（1）建立）建立 o-xyz坐標(biāo)系坐標(biāo)系xyzo以整體為研究對(duì)象以整體為研究對(duì)象例3：有一重2Q的人字形梯子，由兩個(gè)長(zhǎng)為 的均質(zhì)桿組成，DE處用無(wú)重柔繩拉住，放在光滑水平地面上，M處

10、站 一 重 P 的 人 ， 求 平 衡 時(shí) 繩 子 的 張 力 。 ( 已 知 ：AM=ME=1/3 ,) ll以以AB為研究對(duì)象：為研究對(duì)象：BNAxNAyNQTABxyzo受力分析：受力分析：, ,BANQ T N 0,0,0 xyAzFFM聯(lián)立方程(1)、(2) 得：31()42TQP ctg對(duì)對(duì)C點(diǎn)：點(diǎn)：22 cos2coscos03BlNlQlP(1)2coscossin023BllN lQT對(duì)對(duì)A點(diǎn)：點(diǎn)：(2)2CBNNPQ3.3 剛體的平動(dòng)與繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 一、剛體的平動(dòng)一、剛體的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析：運(yùn)動(dòng)分析：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況相同，自由度為3。 xo yzxzyo平動(dòng)xo yzxzyo轉(zhuǎn)動(dòng)

11、xyzoAB BABABABABArrrdrdraa結(jié)論：結(jié)論：由于各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況相同(位移、速度和加速度)，所以可用一點(diǎn)（常用質(zhì)心）的運(yùn)動(dòng)代表剛體的整 體運(yùn)動(dòng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 (固定坐標(biāo)系中) eicFmr ccccccxxtyytzzt運(yùn)動(dòng)學(xué)方程: 二、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體上每一點(diǎn)都在與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。 每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角位移、角速度和角加速度相同，但線 位移、線速度和線加速度不同。一個(gè)自由度，用角坐標(biāo) 描述剛體位置很方便。 dddtddt角位移: 角速度:角量：角加速度:1、運(yùn)動(dòng)分析、運(yùn)動(dòng)分析oxyz為固定在空間的坐標(biāo)系 : t運(yùn)動(dòng)學(xué)方程2、速度，加速度、速度，加速度速度： iir

12、歐拉公式siniiiirR加速度iidadtsiniiiiarR切向加速度法向加速度22iiniiiaRRB CB C AC B AA ()idrdtiidrdrdtdtiir ()iirr222iiiiirrrOOkrR 3、動(dòng)量矩、動(dòng)量矩在普通物理力學(xué)中學(xué)過(guò)，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩：zzzJI是沿轉(zhuǎn)軸方向，為了進(jìn)一步了解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)，并同時(shí)向定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)渡，我們從普遍意義上導(dǎo)出定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩。22iiinaaa第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位矢：1noiiiiJrmiiiirx iy jz k設(shè)剛體繞oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則：1()niiiirmr則剛體對(duì)點(diǎn)o的動(dòng)量矩為：1()niiiim rr1()noiii

13、iJm rrB CB C AC B AA 其中， k21() niiiiim rr r 2221()()niiiiiiiiimxyzkz xiy jz k221()niiiiiiiimx ziy zjxykoxoyozJ iJjJ kx1y1221()noiiiinoiiiinoziiizziJm x zJm y zJm xyI zoJJk結(jié)論：結(jié)論：剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸上o點(diǎn)的動(dòng)量矩一般并不沿轉(zhuǎn)軸方向，zzzJI僅為 在轉(zhuǎn)軸方向的分量。oJ4 、運(yùn)動(dòng)微分方程、運(yùn)動(dòng)微分方程()zzzzzdJd IMMdtdtzzzdIMdt即：zzzIM而 為常量，有zzI剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的第二轉(zhuǎn)動(dòng)定律5、動(dòng)能，勢(shì)能及機(jī)械

14、能守恒、動(dòng)能，勢(shì)能及機(jī)械能守恒動(dòng)能：2112niiiTm11()()2niiiimrr2211( sin)2niiiimr212zzI22112niiim R勢(shì)能：1niiciVm gymgy（剛體的勢(shì)能等于質(zhì)心的勢(shì)能）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：2( )112nezziiidIFdr若作用在剛體上的外力均為保守力，或有非保守 力但不做功，則機(jī)械能守恒212zzIVE解：剛體受重力和軸的支撐力作用，重力對(duì)oz軸的力矩為：sinzMmgl 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的第二轉(zhuǎn)動(dòng)定律sinzzzMmglI 對(duì)微小振動(dòng)， 很小，從而 得sin0zzmglI復(fù)擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)支撐力通過(guò)轉(zhuǎn)軸y例1一復(fù)擺復(fù)擺如圖所示，物體在重力作用

15、下繞過(guò)o點(diǎn)的軸擺動(dòng)，設(shè)剛體對(duì)oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Izz, 質(zhì)心為C, 對(duì)質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Icz, ,求復(fù)擺的周期。OClz動(dòng)畫演示運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為00coszzmglAtI振動(dòng)周期為22zzITmgl分析： 單擺小角度運(yùn)動(dòng)微分方程：0gLyOOLO00cos():,zzzzgAtLImglgLILml其解為：令得等效長(zhǎng)度由平行軸定理：2,zzczIIml代入上式2czzzIIImlLlllOOmlmlml cz 由上式可知，如果把復(fù)擺的全部質(zhì)量都集中到O點(diǎn)，這樣一個(gè)復(fù)擺和單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律一樣，稱O為振動(dòng)中心。復(fù)擺復(fù)擺OO單擺單擺yO 說(shuō)明：說(shuō)明：（1）用復(fù)擺測(cè)量重力加速度，由于懸點(diǎn)O和O可 以互換(復(fù)擺的

16、可逆性)，而不改變復(fù)擺的運(yùn)動(dòng) 規(guī)律，利用此關(guān)系可以準(zhǔn)確測(cè)定重力加速度。（2） O點(diǎn)為打擊中心，沖力 對(duì)O點(diǎn)無(wú)沖擊效應(yīng)。 F t注意：只要找到具有相同周期的兩點(diǎn)O和O，就可測(cè)得等值單擺長(zhǎng)L，然后用下式計(jì)算重力加速度224LgT解: (1) 在初始位置，由剛體對(duì)oz軸的 動(dòng)量矩定理0sinzzzzzd IMmglIdt 得0sinzzmglI (2) 求質(zhì)心在垂直位置時(shí)的速度分析：復(fù)擺在擺動(dòng)過(guò)程中只有重力矩做功y例2一復(fù)擺在重力作用下繞過(guò)o點(diǎn)的軸擺動(dòng),設(shè)復(fù)擺對(duì)oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Izz, 質(zhì)心為c, ,最初oc與豎直方向的夾角為 ,求: (1)復(fù)擺在初始位置的角加速度; (2) 在豎直位置時(shí)質(zhì)心的速

17、度。ocl0y00000sin1 coszzAM dmgldmgl 下擺過(guò)程中，對(duì)其使用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2102zzzAI得021 coszzmglI用機(jī)械能守恒20101 cos02zzmglI以質(zhì)心的豎直位置為零勢(shì)能cl例3. 飛輪對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，以角速度 繞o軸轉(zhuǎn)動(dòng)，制動(dòng)時(shí)閘塊給輪以正壓力 ，已知閘塊與輪之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 ，輪的半徑為 ，軸承的摩擦忽略不計(jì)，求制動(dòng)所需的時(shí)間。oIoNFR動(dòng)畫演示00otoNI dF RdtooNItF RoNdIFRF Rdt 解：由飛輪對(duì)o軸的動(dòng)量矩定理6 6、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上的附加壓力 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到轉(zhuǎn)軸的約

18、束, 可用剛體的動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理來(lái)確定作用在A、B兩點(diǎn)上的約束反作用力。 111d 1dnnniiiiAxBxixiiim xm xNNFt 111d 2dnnniiiiAyByiyiiim ym yNNFt 111d 3dnnniiiiAziziiim zm zNFt由剛體動(dòng)量定理z質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸C也可用質(zhì)說(shuō)明：心運(yùn)動(dòng)定理 1111d()d 4nnniiiiiiiiiiiiiinByixim y zz ym y zm z ytAB NM 由剛體對(duì)由剛體對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩定理點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 1111d()d 5nnniiiiiiiiiiiiiinBxiyim z xx zm z xm x ztA

19、B NM 1111d() 6dnnnniiiiiiiiiiiiziiiim x yy xm x ym y xMt因?yàn)閏os ,sin ,iiiiixRyRzC所以,0iiiiixyyxz 22, ,0iiiiiiixxyyyxz ,iiix y z 將代人方程(1)-(6)得21211220nCCAxBxixinCCAyByiyinAziziyzzxByxzxyzBxyzzzmxmyNNFmymxNNFNFIIAB NMIIAB NMIM 最后一式是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程, 其余五式用來(lái)求約束反作用力說(shuō)明：說(shuō)明：(1)若 ，前五式為平衡方程, 最后 式子是平衡條件, 對(duì)應(yīng)約束反力是靜力反作

20、用力(即靜壓力)0(2) 當(dāng) 時(shí)，約束反作用力為動(dòng)力 反作用力(即動(dòng)壓力)0,0(3) 附加壓力附加壓力=動(dòng)壓力-靜壓力(4) 當(dāng) 時(shí)，附加壓力等于零(即在同 樣主動(dòng)力作用下，靜壓力與動(dòng)壓力相等)的條件0,0 如果要?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不在軸承上產(chǎn)生附加壓力,當(dāng)所有主動(dòng)力等于零時(shí)，動(dòng)力反作用力也都應(yīng)等于零。 2200CCCCxyxy以 為未知量的二元一次方程組，要使方程有非零解，即 ，則必有2和20,0220000CCCCCCCCxyxxyyxy質(zhì)心必須在z軸上2200yzzxzxyzIIII220 000yzzxyzyzzxzxyzzxIIIIyIII同理：z軸必須為慣量主軸結(jié)論：結(jié)論：剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

21、時(shí)，若質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上且此軸為慣量主軸(即中心慣量主軸)，則軸上的附加壓力為零，此時(shí)我們說(shuō)剛體達(dá)到動(dòng)平衡，此轉(zhuǎn)軸為自由轉(zhuǎn)動(dòng)軸。說(shuō)明說(shuō)明：在制作高速運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器時(shí)，為了消除附加壓力，嚴(yán)密確定質(zhì)心慣量主軸的位置，是一個(gè)非常重要的問(wèn)題。顯然又如以O(shè)為參考點(diǎn), 則(1)0,0CCy zz xyzxyIII 0,0,0AzBzNN2000AxBxAyByAyByzxAxBxNNmgNNaNbNIaNbN 例1：渦輪可以看作是一個(gè)均質(zhì)圓盤, 由于安裝不善, 渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)軸與盤面法線成交角 。渦輪圓盤質(zhì)量為20千克,半徑0.2米, 重心O在轉(zhuǎn)軸上, O至兩軸承A與B的距離均為0.6米. 設(shè)軸以12000轉(zhuǎn)/分的角速度

22、勻速轉(zhuǎn)動(dòng), 試求軸承上的壓力。1解：選取坐標(biāo)軸如圖. 圖中 , , 是固定的坐標(biāo)軸,而 , , 為幾何對(duì)稱軸。設(shè)在圖示瞬間, 和 正好重合, 也是慣量主軸.xyzxyzyyy得首先要求出 , 由坐標(biāo)變換zxIcossinsincosiiiiiixxzzxz 1122 11222211 2211cossinsincoscossin (0)sin2sin2nnzxiiiiiiiiiinniiiiz xiinniiiiiiz zx xiiIm x zm xzxzm zm xIm zym xyII 2211 24,z zx xImrImr218sin2zxImr cossinsincosiiiixxz

23、z或垂直軸定理求解方程組(1)得而靜力反作用之和只有209.8=196N, 可見(jiàn)動(dòng)力反作用對(duì)軸承的危害更大.2222011sin2811sin28AyByAxBxNNmbgNmrababmagNmrabab2211sin25400N8mrab 在 與 式中第一項(xiàng)代表靜力反作用, 第二項(xiàng)代表軸上的附加壓力. 把題給的數(shù)據(jù)代入得附加壓力AxNBxN說(shuō)明：說(shuō)明：由于圓盤在轉(zhuǎn)動(dòng)，故軸承在 所受的附加壓力都是周期性的，以上所求出的結(jié)果，是在圖示位置時(shí)的瞬時(shí)值。這種沖擊式的反作用力，對(duì)軸承的危害性更大。xy方向和 方向3.4 3.4 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng) 一、剛體平面平行運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體平面平行

24、運(yùn)動(dòng)學(xué) 1、運(yùn)動(dòng)分析、運(yùn)動(dòng)分析 做平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體上與固定平面相平行的所有平面的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是相同的，取任意一個(gè)平行截面就可以代表剛體的運(yùn)動(dòng)，因此可以把剛體做平面平行運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，簡(jiǎn)化為一個(gè)平面圖形做平面平行運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫1平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫1一平面圖形在某一固定平面內(nèi)的位置可由該平面圖形上一直線表示，因此，平面圖形做平面運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題可簡(jiǎn)化為一直線段做平面運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。直線在平面內(nèi)的任意運(yùn)動(dòng)，可分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。隨基點(diǎn)A的平動(dòng)=AABBAABBB平面平行運(yùn)動(dòng)繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)BAB+ 結(jié)論：剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)可以分解為以基點(diǎn)為代 表的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，其中剛體上任一點(diǎn)P的平動(dòng) 位移與基點(diǎn)選擇

25、有關(guān)，而轉(zhuǎn)動(dòng)角位移與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。2、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 由以上運(yùn)動(dòng)分析可知，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可由基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和繞基點(diǎn)定向轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程組成，即：( )( )( ) AAAAxxtyytt注意：所謂繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)是指，繞過(guò)基點(diǎn)且垂直于 平面圖形的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，該軸不是固定軸，而是定向轉(zhuǎn)軸。3、速度、加速度、速度、加速度 速度速度 由運(yùn)動(dòng)分析可知，做平面平行運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)P的速度等于基點(diǎn)的速度+該點(diǎn)繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度之和。速度公式的推導(dǎo)： 以基點(diǎn)為S系的坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面轉(zhuǎn)動(dòng)參照系，則AAr其中基點(diǎn)的速度為，繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ，相對(duì) 點(diǎn)的位矢為 。-固定坐標(biāo)系A(chǔ)x y z Oxyz-剛聯(lián)于剛體的

26、動(dòng)坐標(biāo)系0zz軸軸ArArrr任意一點(diǎn)P的速度：yxzoAPrArrSSzxy()()xAxAyAyAyyxxAr Arrrk 在固定系 中（向S系投影）：OxyzxzyoAPrArrSSzxy在平面轉(zhuǎn)動(dòng)系 中(向S系投影)：yxAAAxAyij()rkx iy jxjyixAxyAyyx()AAddddddrarrdtdtdtdtdtdt()Adarrdt2()Adarrrdt Aa基點(diǎn)加速度，drdtP相對(duì)于基點(diǎn)A的切向加速度2rP相對(duì)于基點(diǎn)A的向心加速度 加速度加速度B CB C AC B AA 其中， 02Adarrdt4、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心 做平面平行運(yùn)動(dòng)剛體上瞬時(shí)

27、速度為零的點(diǎn)叫做轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，記為c。說(shuō)明：說(shuō)明：瞬心的速度為零，但它加速度并不為零，否則剛體為 定軸轉(zhuǎn)動(dòng).瞬心是唯一的，不同時(shí)刻有不同的瞬心； 因此剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)，可以看成是在每個(gè)瞬時(shí)繞瞬心軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這個(gè)定軸不是真正的定軸，瞬心有加速度。對(duì)瞬心而言，剛體上任一點(diǎn)P的速度 都垂直于瞬心C與該點(diǎn)P的連線CP。瞬心可以在剛體上、也可以在剛體外。CPp 瞬心的求法瞬心的求法方法一：由剛體上任一點(diǎn)速度公式求方法一：由剛體上任一點(diǎn)速度公式求()0()0 xAxAyAyAyyxxAr()AyCAAxCAxxxSyyy系中00 xAxyAyyx()AyCAxCxxSyy系中方法二：幾何法方法二：幾何法1

28、、已知?jiǎng)傮w中兩點(diǎn)A、B的 速度 2、已知一點(diǎn)的速度及 CAAAAC 設(shè)垂直向里AB和3、已知兩點(diǎn)的速度 /ABAAB,且和A、B 兩點(diǎn)必與瞬心在同一直線上，BACBCA且AB已知 瞬心位置方法三：根據(jù)經(jīng)方法三：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷驗(yàn)判斷物體純滾動(dòng)(只滾不滑)時(shí)的接觸點(diǎn)即為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。用瞬心求速度的公式用瞬心求速度的公式取瞬心c為基點(diǎn)，則crr注：不能用瞬心法求加速度，因ac不等于零。0AB已知4、/ABAAB,且和不垂直于瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處0BABAr例1：設(shè)橢圓規(guī)尺AB的端點(diǎn)A與B沿直線導(dǎo)槽ox及oy滑動(dòng)，B以勻速度c運(yùn)動(dòng)，求橢圓規(guī)尺上M點(diǎn)的速度、加速度，并求本體極跡與空間極跡的方程式。5、空間極跡和本體

29、極跡、空間極跡和本體極跡 空間極跡：空間極跡：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，瞬心交替變換，瞬心在 固定平面上(固定坐標(biāo)系中)描繪的軌跡。 本體極跡：本體極跡：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，瞬心在剛體內(nèi)(運(yùn)動(dòng)坐 標(biāo)系中)所描繪的軌跡。潘索定理：潘索定理：如果本體極跡和空間極跡都是連續(xù)曲線，則剛體在作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，本體極跡將沿空間極跡無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)著。C兩個(gè)極跡的切點(diǎn)必為瞬心兩個(gè)極跡的切點(diǎn)必為瞬心求AB桿繞Cz軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。方法一：用瞬心法求速度方法一：用瞬心法求速度r求速度。()sinBcabCBMCM注：不能用瞬心法求加速度確定瞬心的位置C。2222sincos()sincabab222cab ctgabMr選B點(diǎn)為基點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)已知點(diǎn)

30、）。MBr其中：Bcj ksincosrbibj 而：()sincab第一章已計(jì)算）( sincos)Mcjkbibj sincoscjbjbi 方法二：用基點(diǎn)法求速度方法二：用基點(diǎn)法求速度建立坐標(biāo)oxyz。運(yùn)用速度合成。rbcacctg ijabab大?。?22Mcab ctgabbccbctg icjjabab用基點(diǎn)法求加速度用基點(diǎn)法求加速度2 MBdaarrrdt()sincab2223coscossinsindccdta ba b223cossindckdta bsincosrbibj 0Ba 2231sinMbcaiab 結(jié)論：結(jié)論：空間極跡固定不動(dòng)而本體極跡隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)。在某一

31、時(shí)刻，兩個(gè)極跡必有一切點(diǎn)?？臻g極跡：空間極跡：222)(cos)(sin)(bayxbaybax本體極跡：本體極跡：2222/ )(bayx例例2: 如圖所示，在外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu)中，系桿以勻角如圖所示，在外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu)中，系桿以勻角速度速度1繞繞O1轉(zhuǎn)動(dòng)。大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)。大齒輪固定，行星輪固定，行星輪半徑為半徑為r，在輪在輪上只滾不滑。設(shè)上只滾不滑。設(shè)A和和B是輪緣是輪緣 上的兩點(diǎn)，點(diǎn)上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在在O1O的延長(zhǎng)線上，而點(diǎn)的延長(zhǎng)線上，而點(diǎn)B在垂直于在垂直于O1O的半徑上。的半徑上。求：點(diǎn)求：點(diǎn)A和和B的加速度。的加速度。動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示解解: (1) 輪輪作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng), 瞬心為瞬心

32、為 COlrr1220ddt111, ,O OABOOlaa已知：純滾動(dòng)。 求：。輪輪I I繞繞O軸軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度輪輪I I繞繞O軸作軸作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)(2) 選選基點(diǎn)為基點(diǎn)為2212 ? 0 ? tnAOAO tAO naaaeaelr大小方向2221121(1)nAOAOaaallrllr111,O OABOOlaa已知：純滾動(dòng)。 求：。222211nBOBOaaallrarctanarctanOnBOaral111,O OABOOlaa已知：純滾動(dòng)。 求：。 22123 ? 0 ? tnBOBO tBO naaaeaelr大小方向二、剛體平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)二、剛體平面平

33、行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)CmrF固定坐標(biāo)系中2、平面平行運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理：EVImczc2221211、動(dòng)力學(xué)方程、動(dòng)力學(xué)方程 在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，通常取質(zhì)心為基點(diǎn)，則剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)=質(zhì)心的平動(dòng)+繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)可運(yùn)用第二章中學(xué)過(guò)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理，得剛體平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。約束方程(受約束剛體)czzIM平動(dòng)質(zhì)心坐標(biāo)系中平動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)3、若外力都是保守力或非保守力不做功，則機(jī)械能守恒：22( )11122neccziiidmIFdr例1. 半徑為 ，質(zhì)量為m的圓柱體，沿著傾角為 的粗糙面無(wú)滑動(dòng)地滾下。試求質(zhì)心沿斜面運(yùn)動(dòng)的加速度及約束反作用的法向分量N和切線分量(摩擦阻力)

34、。af解法一：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心軸的第二轉(zhuǎn)動(dòng)定理求解(1) 受力分析(2) 建立坐標(biāo)系oxyzcx y z 固定系和平動(dòng)系(3) 列動(dòng)力學(xué)方程隨質(zhì)心的平動(dòng)：隨質(zhì)心的平動(dòng)： sin 1 0cos 2 cmxmgfNmg繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)：繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)： 3czzIMfa無(wú)滑滾動(dòng)條件 cxa2czkImk令 為圓柱體對(duì)軸線的回轉(zhuǎn)半徑，則聯(lián)立方程(1)-(4)得2222cossin1/sin1/cNmgmgfakgxka 4cxa圓柱體受到斜面的約束圓柱體受到斜面的約束解法二：用機(jī)械能守恒定律求圓柱質(zhì)心的加速度分析做功：只有重力做功由機(jī)械能守恒得EVT(1)其中，222221111 2222 cczc

35、TmxImxkmk令回轉(zhuǎn)半徑為sin cOVmgx 為零勢(shì)能點(diǎn)由約束方程axc(2)axcEmgxxakmccsin121222(3)(3)式對(duì)t求導(dǎo)得22sin1cgxka說(shuō)明說(shuō)明: : 聯(lián)合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求出約束反作用力解法三：用圓柱對(duì)瞬心軸的動(dòng)量矩定理P由平行軸定理222PzczIImamkma根據(jù)圓柱對(duì)瞬心軸Pz的動(dòng)量矩定理sin 22mgakam 22sinkaga 221sinakgaxc 約束方程說(shuō)明說(shuō)明: : 聯(lián)合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求出約束反作用力討論：2222cossin1/sin1/cNmgmgfakgxka(1)滾動(dòng)時(shí)質(zhì)心的加速度比無(wú)摩擦滑動(dòng)時(shí)的加速度小，根據(jù)質(zhì)量的分別不同，

36、加速度的范圍如下：sinsin2cgxg22ka薄圓柱殼0k 質(zhì)量集中到轉(zhuǎn)軸上2212ka實(shí)心圓柱體(2)關(guān)于摩擦系數(shù)：fN滾動(dòng)條件要求: 222fk tgNakTmgymA Trmr 221AAyryrmgT3123AAayg解：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：由繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理： 約束方程：解之得：例2：質(zhì)量為m半徑為r的均質(zhì)實(shí)心圓柱A,繞以輕繩,繩的一端固定，圓柱由靜止開始沿繩豎直下落，求當(dāng)圓柱下落高度h時(shí),質(zhì)心軸的加速度及繩子的張力。(1)(2)(3)Tmgxyoxcy解法二：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和機(jī)械能守恒分析做功：只有重力做功00cccdrcdAT drdt為速度瞬心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：TmgymA (1)機(jī)

37、械能守恒：2211022AAzmImgh(2)(選o點(diǎn)出為零勢(shì)能)Ar(3)13Tmg4233AAghag解之得：Tmgxyoxcy解法三：用圓柱對(duì)瞬心軸的動(dòng)量矩定理由平行軸定理22221322CzAzIImrmrmrmrTmgxyoxcy根據(jù)圓柱對(duì)瞬心軸Cz的動(dòng)量矩定理CzImgrTmgymA 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：23AAayrg由約束方程13Tmg例3：一半徑為R的均質(zhì)圓盤，直立放在粗糙水平面上，開始以初速度V0使其沿水平直線滑動(dòng)，試求其以后的運(yùn)動(dòng)。解 : 分析 對(duì)象：圓盤受力分析Ngmf,CfgmN建立坐標(biāo)系：ox,x動(dòng)力學(xué)方程2 12cmxfmRfR omgNf而，02 cxgtgtR 積

38、分得，20221 21 2= 2cxtgtggttRR再積分得，分析，由上式可知，質(zhì)心作勻減速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)圓質(zhì)心作勻減速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)圓盤繞質(zhì)心作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)盤繞質(zhì)心作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)。純滾動(dòng)條件：純滾動(dòng)條件：代入方程，得,RxRxcc013tg達(dá)到純滾動(dòng)狀態(tài)的時(shí)間，此時(shí)：002 32 3cxR總結(jié)：總結(jié)：110 ,0ttttf 當(dāng)時(shí)，圓盤連滾帶滑當(dāng)時(shí)，圓盤作純滾動(dòng)，則滑動(dòng)摩擦力圓盤隨質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)繞質(zhì)心軸勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)三、滾動(dòng)摩擦三、滾動(dòng)摩擦理想情況：剛體和地面都是絕對(duì)剛性的cccNfcABk實(shí)際情況：剛體和地面都發(fā)生形變滾動(dòng)摩擦力矩kNM 結(jié)論：結(jié)論：滾動(dòng)摩擦一般小于滑動(dòng)摩擦(如滾珠軸承等)3.5

39、 3.5 角速度矢量角速度矢量一、什么是矢量一、什么是矢量ABBAI1I2I12III基爾霍夫第一定律有大小，方向，而且符合平行四邊形加法交換律電流是標(biāo)量，只有大小，沒(méi)有方向結(jié)論：結(jié)論：ABBA 雖然有限轉(zhuǎn)動(dòng)角位移是有大小，有方向的量，但不符合平行四邊形加法交換律。二、有限轉(zhuǎn)動(dòng)二、有限轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題：有限轉(zhuǎn)動(dòng)是矢量？問(wèn)題：有限轉(zhuǎn)動(dòng)是矢量？三、無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)三、無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題：無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)是矢量嗎？問(wèn)題：無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)是矢量嗎？ 設(shè)t時(shí)刻，剛體繞過(guò)定點(diǎn)O的某軸線轉(zhuǎn)過(guò) 角度，則 是有大小和方向的量，可在轉(zhuǎn)軸上截取一有向線段 來(lái)表示。n大?。簄方向：沿轉(zhuǎn)軸方向(用右手螺旋定則確定) 稱為角位移矢量。 non設(shè)t時(shí)刻

40、 ，剛體內(nèi)一點(diǎn)P的位矢為 rtt時(shí)刻為：rr則：sin ,rPMPMrrnrnrrrsinsin即線位移r=角位移n與位矢r的矢量積。下面證明當(dāng) 無(wú)限小時(shí)， 符合交換律：n（1）轉(zhuǎn)動(dòng)前： P的位矢為 r角位移和線位移的關(guān)系？角位移和線位移的關(guān)系？onrnrnrnnr （2）先轉(zhuǎn)動(dòng) 后：nrnrrrr（3）再轉(zhuǎn)動(dòng) 后：nrrrrnr忽略二階小量()rnrnrnr rnrnr nn和均為無(wú)限小角位移rrrrrPPrrrr rnrnrnnr （4）先轉(zhuǎn)動(dòng) 后：nrrrrnr （5）再轉(zhuǎn)動(dòng) 后：nrrrrnr 忽略二階小量()rnrnrnr rnrnr nn和均為無(wú)限小角位移rrrr rrrrrPP因

41、 和 是矢量，則有：rrrrrr即：rnnrnnrnrnrnrn)()(得：nnnn角位移滿足矢量交換律該式表明：微小轉(zhuǎn)動(dòng)的合成遵循平行四邊形加法交換律，從而無(wú)限小角位移n是一個(gè)矢量。四、角速度矢量四、角速度矢量1、角速度矢量的定義： 描述了轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和轉(zhuǎn)動(dòng)方向，是描述剛體整體運(yùn)動(dòng)特征的量。2、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)P（位置矢量為r）的線速度v與角速度關(guān)系：dtndtnt0limrnr則：rrdtndtrntrtt00limlim0limtrdrtdt r歐拉公式O3.6 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 一、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩設(shè) 為剛體上任一質(zhì)點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)o的動(dòng)量矩為iPiiirm整個(gè)剛體對(duì)同

42、一點(diǎn)o的動(dòng)量矩為11noiiiiniiiiJrmm rrB CB C AC B AA 其 中 ， 21noiiiiiJmrrrozxyirii下面求動(dòng)量矩 的分量表達(dá)式oJ21noiiiiiJmrrr iiiixyzrxiy jzkijk oxxxxxyyxzzoyyxxyyyyzzozzxxzyyzzzJIIIJIIIJIII 其中，221221221nxxiiiinyyiiiinzziiiiImyzImzxImxy111nxyyxiiiinyzzyiiiinxzzxiiiiIIm x yIIm y zIIm x z以及oxxxxyxzxoyyxyyyzyozzxzyzzzJIIIJIIIJ

43、III ooJI zzzpmJI二、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能2111122nniiiiiiiTmm 11122niiiiTrmJB CB C AA 其中， 12xxxyxzxxyzyxyyyzyzxzyzzzIIITIIIIII22212222xxxyyyzzzyzyzzxzxxyxyIIIIII 112niiiimr12oI221 212zzTmTI質(zhì)點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量。2i iImr 1、對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量描述， 其定義為： 2 Ir dm或回轉(zhuǎn)半徑2IImkkm即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積之

44、和。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置決定。剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等效質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)圓細(xì)圓環(huán)環(huán)細(xì)直桿細(xì)直桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)簡(jiǎn) 圖圖物體的物體的形狀形狀2112CzIml213AzIml2CzImRlCACRCR薄圓薄圓盤盤212CzImR常用到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：常用到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑Ikm12 3kl13klkR12kR實(shí)心實(shí)心圓柱圓柱薄圓筒薄圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)簡(jiǎn) 圖圖物體的物體的形狀形狀2CzImR212CzImR實(shí)心實(shí)心球體球體225CzImR常用到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：常用到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑IkmkR12kR105kRRRRR平行軸定理平行軸定理2

45、AzCzIImd 敘述：敘述：剛體對(duì)某一軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于對(duì)通過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸間垂直距離平方的乘積。mi ixyz yixiOozoxoyIII垂直軸定理垂直軸定理 敘述：敘述：當(dāng)當(dāng)物體的質(zhì)量作平面分布物體的質(zhì)量作平面分布時(shí)時(shí), 物體對(duì)該平面中任二物體對(duì)該平面中任二垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和, 等于對(duì)過(guò)交點(diǎn)的另一垂直軸的轉(zhuǎn)等于對(duì)過(guò)交點(diǎn)的另一垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)慣量。CA xxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIII慣量張量： 1 其中 叫做軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ,xxyyzzIII,yzzxxyIII叫做對(duì)坐標(biāo)平面的慣量積對(duì)坐標(biāo)平面的慣量積2

46、、對(duì)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小，由于轉(zhuǎn)軸的方向不斷變化，要用一個(gè)張量才能描述。 222222xxyyzzIyzdmIzxdmIxydm222222xyyxyzzyxzzxIIxydmxy dmIIyzdmyz dmIIxzdmxz dm和oxyzxyzP(dm)注意：注意：若選動(dòng)坐標(biāo)系，慣量系數(shù)均為常數(shù)xyIoxzoyz如為剛體對(duì)平面和平面的慣量積解：建立動(dòng)坐標(biāo)系oxyz,設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為 ，質(zhì)量為 ，則密度為 am3ma2220023aaxxIyzadydzma 2252002233aayyIxzadxdzama 2220023aazzIxyadxdyma 52001144aaxyIxy adxdy

47、ama 20014aaxzIxz adxdzma 20014aayzIyz adydzma y例1 計(jì)算質(zhì)量均勻分布的正立方體對(duì)其棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和對(duì)其側(cè)面(看成坐標(biāo)平面)的慣量積。zxoa22212222xxxyyyzzzyzyzzxzxxyxyTIIIIII 又 22211222111sin221122nniiiiiiiiniiliTmrrmrmIxyz以及222222lxxyyzzyzzxxyIIIIIII結(jié)論：結(jié)論：只需計(jì)算一次三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和三個(gè)獨(dú)立的慣量積，再將某軸線的方向余弦代人上式即可確定剛體對(duì)該軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。推導(dǎo)剛體繞某一瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡(jiǎn)單公式ozxyiriil會(huì)聚

48、軸定理(2)慣量橢球用幾何方法求剛體對(duì)某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：xRyRzRxRyRzR代入式(1)得表示為矩陣形式矩陣形式： xxxyxzlyxyyyzzxzyzzIIIIIIIIII(1)2222221xxyyzzyzzxxyI xI yI zI yzI zxI xy中心在中心在O點(diǎn)的橢球面方點(diǎn)的橢球面方程程oxzylQR1lRI截取OQ慣量橢球的方位、大小和形狀與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)中心慣量橢球：剛體的質(zhì)心(或重心)在定點(diǎn)O1lRI計(jì)算出剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 lIo用幾何方法計(jì)算剛體對(duì)某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如下：若已知橢球面方程，在動(dòng)系oxyz中描出橢球面，某瞬時(shí)軸與橢球面的交點(diǎn)Q到O點(diǎn)的

49、距離即為R，再根據(jù)zxyQl(3) 慣量主軸及其求法(適當(dāng)選擇坐標(biāo)系消去慣量積) 慣量主軸：使慣量積為零的坐標(biāo)系(慣量橢球的 三條相互垂直的主軸)0zxyzxyIII則橢球面方程變?yōu)椋?232221zIyIxI這里 , , ,321zzyyxxIIIIII 主慣量剛體對(duì)慣量主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量321 , ,III注意：1、剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有三個(gè)慣量主軸存在， 且互相垂直； 慣量主軸坐標(biāo)系中的若干物理量的簡(jiǎn)化表達(dá)式慣量張量：慣量張量：123000000III 2、過(guò)質(zhì)心的三個(gè)慣量主軸叫中心慣量主軸。動(dòng)量矩：動(dòng)量矩：123000000oxxoyyozzJIJIJI動(dòng)能：動(dòng)能：zyxzyxIIIT32

50、100000021123oxyzJIiIjIk232221212121zyxIIIT 慣量主軸的求法(均質(zhì)剛體) 幾何對(duì)稱軸是慣量主軸 幾何對(duì)稱面的垂線是慣量主軸舉例：半徑為r，高為h的均勻圓柱體證明：(1) 幾何對(duì)稱軸是慣量主軸取z軸為對(duì)稱軸，zyxMzyxM,0011niiiizxniiiizyxzmIyzmIz軸為慣量主軸(2) 幾何對(duì)稱面的垂線是慣量主軸MMPPQQCxyzoyx取對(duì)稱面oyz，, , ,P x y zPx y z0011niiiizxniiiixyxzmIyxmIx軸為慣量主軸若分別取對(duì)稱面oxy和對(duì)稱面oxz，同理可證得相應(yīng)的垂線z軸和y軸均為慣量主軸。說(shuō)明：說(shuō)明：

51、(1) 若 ，則為旋轉(zhuǎn)橢球， 則在xy平面內(nèi)的各軸都是主軸；yyxxII(2) 若 ，橢球變?yōu)榍蝮w，所有通過(guò)O點(diǎn)的軸都是主軸。zzyyxxIIIcxyzcxyz例2 均勻長(zhǎng)方形薄片的邊長(zhǎng)為 與 ，質(zhì)量為 ，求此長(zhǎng)方形薄片繞其對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。abm設(shè)薄片的厚度為t,密度為2222Iy dmytudy(1)其中，2222sinsinsinsinayabuayuaaab(2)將(2)式代入(1)式得22sin22233012 sin sin sin6aabIty ay dyt abaaxyouydyab解：方法一 直接用定積分計(jì)算動(dòng)坐標(biāo)系oxyz22sinbab得222216a bImab方

52、法二 利用 計(jì)算xyodyabdx222222xxyyzzyzzxxyIIIIIII2222cos, , =0ababab23013bxxIyt adytab23013ayyIxt bdxta b220014baxyIxy t dxdyta b 得222216a bImab方法三 取慣量主軸為坐標(biāo)軸xyodyabdx2212III23212112bbIyt adytab23222112aaIxt bdxta b得222216a bImab結(jié)論：取慣量主軸為坐標(biāo)軸來(lái)計(jì)算薄片繞對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最簡(jiǎn)便。3.7 3.7 剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)1、運(yùn)動(dòng)分析

53、運(yùn)動(dòng)分析(1) 剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)可以看成是任一瞬時(shí)軸的“定”軸轉(zhuǎn)動(dòng)。常平架回轉(zhuǎn)儀(2) 自由度 S=3(4) 本體極面，空間極面空間極面：空間極面：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在空間(固定坐標(biāo) 系中)描繪的曲面。(3) 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 ttt潘索定理：潘索定理：本體極面在空間極面上作純滾動(dòng)本體極面：本體極面：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在剛體內(nèi)(動(dòng)坐標(biāo) 系中)描繪的曲面。2、速度，加速度速度，加速度(1) 速度：r Or其中，是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)角速度。是剛體上一點(diǎn)相對(duì)固定點(diǎn) 的位矢。(2) 加速度：)(rrdtda )(是向軸加速度。是轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。其中，rrdtd歐拉公式(3) 剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，將運(yùn)動(dòng)分解為剛體隨基點(diǎn)A的平動(dòng) 剛體繞基

54、點(diǎn)A的“定點(diǎn)”轉(zhuǎn)動(dòng)，則剛體上任一點(diǎn)P的速度為rA加速度為)(rrdtdaaA的位矢點(diǎn)相對(duì)于基點(diǎn)是APr說(shuō)明說(shuō)明: : (1) 若動(dòng)系為剛聯(lián)于剛體的空間轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，則Ar0 0為總角速度矢量()Adaarradt0 0(2) 若動(dòng)系為平面轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，則AdrdrdrdtdtdtArrr2Ad rrdt2ArArr12ArArArr動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度剛體繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度剛體繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度21()AdaarrdtArAr1222Addarrarrdtdt11Arr12rrrrdtrddtrd212222AdaarrdtArArr3、剛體繞兩相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成剛體繞兩相交

55、軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成 剛體繞某點(diǎn)O作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，相當(dāng)于剛體繞某軸作“定軸”轉(zhuǎn)動(dòng)，而該軸又繞另一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這兩個(gè)軸相交于O點(diǎn)。結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)剛體繞兩個(gè)相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的瞬時(shí)角速度等于它分別繞這兩個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的矢量和。2112其中， 方向沿轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸，即 的方向。 zxyo12Ah例1 半徑為R的圓盤以不變的角速度 繞水平軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，而軸AB又以不變的角速度 繞豎直軸CD轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓盤水平直徑一端M點(diǎn)的速度和加速度。12解：建立平面轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系oxyziRkRjRkirM2121oxyzMABCD12軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面繞方向不變，zxyzrrdtdaMjidtiddti ddtkiddtd2121121jRaM2

56、2210例2：高為h，頂角為2的圓錐在一平面上滾動(dòng)而不滑動(dòng)，如已知此錐以勻角速度繞 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求圓錐底面上A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度a1和向軸加速度a2的量值。解 : 分析 )(rrdtda總總總是向軸加速度。是轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。其中，總總總)(rrdtd21總12總其中，方向沿轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸，即 的方向。k2總 zxyo12Aho1、在圓錐上建立o-xyz坐標(biāo)系，母線 與ox重合，與圓錐一起運(yùn)動(dòng)。ictgictg2總khihr2sincos2coscos2、求 總總 zxyo12Ah軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面繞方向不變，zxyzrdtda總1jctgikdtidctgdti dctgictgdtddtd2)(總其中，ihctgk

57、hctgkhihjctgrdtda2sincos2coscos)2sincos2coscos(2221總3、求 （轉(zhuǎn)動(dòng)加速度 ）1a222cos2sin2coscos(cos2sin2)sinhhctgkctgihki222221 () cos 2sin 2 sinsinhha大?。簊in21ha 所以：)(2ra總總4、求 （向軸加速度 ）2ajhjhjhctgkhihictgrcos2cossin2cossincos2sincos)2sincos2coscos(總其中，khjhictgrasincos2)cos2()()(222總總sincos22222haa所以：例3：碾磨機(jī)的邊緣沿水平

58、面作純滾動(dòng)，輪的水平軸則沿OB以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)， ，求輪上最高點(diǎn)M的速度和加速度大小。,OAc OBb1解:(1)分析碾磨機(jī)的運(yùn)動(dòng)，隨A點(diǎn)平動(dòng)，并繞A點(diǎn)的“定點(diǎn)”轉(zhuǎn)動(dòng)。建立平面轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，oz軸不動(dòng)，oxy平面繞oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 (2)計(jì)算總角速度11OAi 輪繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度根據(jù)純滾動(dòng)條件cb1cb1cbOBk輪繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度碾磨機(jī)作一般運(yùn)動(dòng)碾磨機(jī)作一般運(yùn)動(dòng)1tckib總角速度: (3)計(jì)算M點(diǎn)的速度MAtrcjbkcibkb2 cj(4)計(jì)算M點(diǎn)的加速度tMAttdaarrdt2tdc diccijdtb dtbb 2Aaci 22Mcacijbkbkcicjbb 2223Mcacikb

59、例4：當(dāng)飛機(jī)在空中以定值速度V沿半徑為R的水平圓形軌道C轉(zhuǎn)彎時(shí)，求當(dāng)螺旋槳尖端B與中心A的連線和豎直線成 角時(shí)，B點(diǎn)的速度及加速度。已知螺旋槳的長(zhǎng)度 ，螺旋槳自身旋轉(zhuǎn)的角速度為 。ABl1zxyz軸方向不變，平面繞 軸轉(zhuǎn)動(dòng)解: (1) 分析螺旋槳的運(yùn)動(dòng)：剛體的一般運(yùn)動(dòng)，隨A點(diǎn)平動(dòng)，繞A點(diǎn)“定點(diǎn)” 轉(zhuǎn)動(dòng)。建立隨體平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系。(2)計(jì)算螺旋槳的總角速度101VjkRA螺旋槳作一般運(yùn)動(dòng)螺旋槳作一般運(yùn)動(dòng)(3)計(jì)算B點(diǎn)的速度BAr1sincosVVjjklilkR11cos1sinsinlliVjlkRA22 2211sinBllVRBAdaarrdt222222211122sinsincoscos

60、BVlVV lallRRR(4)計(jì)算B點(diǎn)的加速度2111sincossincosVViililkRRVVjkjklilkRR 222211122sinsincoscosVlVV llijlkRRR 1VjkR111ddjdtdtVVkjiRR A4、歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(1) 歐拉角的定義繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，歐拉角可定義如下： 建立固定坐標(biāo)系O 建立固結(jié)在剛體上的 隨體坐標(biāo)系Oxyz 平面 與平面 相交線OOxyON OON：與進(jìn)動(dòng)角之間的夾角 OOz：與章動(dòng)角之間的夾角 OxON： 與自轉(zhuǎn)角之間的夾角,OzOz 確定瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的方向，確定剛體繞的轉(zhuǎn)動(dòng)情況動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示 給定 ,可用如下方