1、 誤差理論與測量平差誤差理論與測量平差主 編：夏春林副 主 編：錢建國、張恒璟參 編：李偉東、文曄編寫高校：遼寧工程技術大學 吉林建筑大學 大連理工大學城市學院第三講第三講 間接平差間接平差【學習要點及目標】1.了解間接平差原理；2.熟悉間接平差計算步驟及方法；3.熟悉誤差方程；4.熟悉誤差精度評定步驟。3.1 間接平差原理在介紹間接平差原理之前，先看一個具體的測角三角形內角平差問題。例3-1 在一個三角形中，同精度獨立觀測了3個內角，角度觀測值見第2章例2-1。1122LxLx31212180180LLLxx在三角形內角平差問題中，總的觀測數n=3，必要觀測數t=2。選定兩個未知數，例如以觀

2、測值L1、L2的平差值為未知數，有則將3個角度觀測值的平差值用觀測值加上改正數表示，即3.1 間接平差原理11122233121 8 0LvxLvxLvxx方程等號左側僅保留觀測值的改正數v，其他各項移至等號右側則有1112223123180vxLvxLvxxL 3.1 間接平差原理222123m invvv222123vvv以上3個方程，共有5個待求量，分別是3個觀測值的改正數，2個未知數，可知方程個數少于未知數的個數，方程組有無窮多個解。下面利用最小二乘原理，求解未知數的最優估值。當觀測值等精度時，有令自由極值函數3.1 間接平差原理1112312212322() 2(180) ( 1)0

3、2() 2(180) ( 1)0 xLxxLxxLxxLx 是每一個觀測值的改正數v的函數，由方程組可知v又是所選的兩個未知數x的函數，因此自由極值函數是未知數x的函數，v是中間變量。對兩個未知數分別求偏導數并令其為0，則有則3.1 間接平差原理123112322180021800 xxLLxxLL1212216656 440219150 160 xxxx化簡得將三角形內角觀測值代入以上方程組得3.1 間接平差原理124 72 10 47 21 43 6xx11223124721 047214 361806024 20LxLxLLL兩個未知數，兩個方程，具有唯一解： 故三角形內角的平差值為總結

4、：在上述測量平差問題中，有3個觀測值，其中有兩個必要觀測值，選定兩個未知數，用求自由極值的方法，求出觀測值的最優估值，這種平差方法稱為間接平差(或參數平差法)。3.1.1 間接平差公式推導1nLX0XXx xL L VLBXd在一個測量平差問題中，有n個觀測值，其中有t個必要觀測值，選定t個獨立的未知參數，將每個觀測值的平差值分別表達成這t個參數的函數，建立函數模型，按最小二乘原理，用求自由極值的方法解出參數的最或然值，從而求得各觀測值的平差值這種平差方法稱為間接平差(或參數平差法)。設觀測向量為已知其協因數陣Q=P-1，必要觀測數為t，選定t個獨立的未知參數其近似值為X0，有稱為未知參數的改

5、正數，觀測值L與改正數V之和具體平差問題，可列出n個平差值方程為(3-1) 3.1.1 間接平差公式推導其純量形式可表示為111111221122211222221122 ttttnnnnnttnLvb Xb Xb XdLvb Xb Xb XdLvb XbXb Xd(3-2)1212tiiiiitiLvb Xb Xb Xdi即 =1,2,3,ni=1,2,3,n3.1.1 間接平差公式推導TT121211TT121211nnnntntnLLLvvvXXXddd，LVXd111212122212ttntnnntbbbbbbbbbB令 則平差值方程的矩陣形式為LVB Xd (3-3)3.1.1 間

6、接平差公式推導0XXx0()lLBXdVB xl x將代入，并令 得誤差方程式為按最小二乘原理，式(3-5)的必須滿足V TPV = min的要求，因為t個參數為獨立量，故可按數學上求函數自由極值的方法，得(3-4)(3-5)TTT220V PVVV PV PBxx3.1.1 間接平差公式推導T0BP V xTT0BP B xBP l轉置后得以上所得的式(3-5)和式(3-6)中的待求量是n個觀測值的改正數V和t個未知參數的改正數解此基礎方程，一般是將式(3-5)代入式(3-6)，先消去V，得(3-6)，而方程個數也是n+t個 有唯一解，稱此兩式為間接平差的基礎方程。 (3-7) 令TTbb1

7、,tt tNB PBWB Pl3.1.1 間接平差公式推導bb0NxW x1bbxNW上式可簡寫成 式中，系數陣Nbb為滿秩方陣，即R(Nbb)=t，有唯一解，式(3-8)稱為間接平差的法方程。解之，得(3-8)(3-9) 或T1T()xBP BBP l (3-10)3.1.1 間接平差公式推導 xLLV0XXx將求出的，代入誤差方程式(3-5)，即可求得改正數V， 從而平差結果為(3-11) 法方程式的純量形式為11 11221121 1222221 122000ttttttttttN xN xN xWN xN xN xWN xN xN xW (3-12) 3.1.1 間接平差公式推導當P為

8、對角陣時，法方程系數和常數項的計算式分別為 1nijkkikjkNp b bi,j=1,2,t (3-13) 1nikki kkWp b li,j=1,2,t (3-14)當P為非對角陣時，法方程系數和常數項的計算式分別為11nnijkm kimjkmNp b b11nnikm ki mkmWp b l(3-15) (3-16) 3.1.2 間接平差的計算步驟(1) 根據平差問題的性質，選擇t個獨立量作為參數，并確定觀測值的權陣P。(2) 將每一個觀測量的平差值分別表達成所選參數的函數，若函數非線性要將其線性化，列出誤差方程式(3-5)。(3) 由誤差方程系數B和自由項l組成法方程式(3-8)

9、，法方程個數等于參數的個數t。(4) 解算法方程，求出參數，計算參數的平差值。(5) 由誤差方程計算V，求出觀測量平差值。(6) 評定精度。3.1.2 間接平差的計算步驟例3-2 水準網平差，已知點高程和觀測值見第2章例2-2，試按間接平差法求待定點P1、P2的高程平差值和各段觀測高差的平差值。解 (1) 依題意知，必要觀測數t=2，分別選P1、P2兩點的平差高程作為未知參數 3.1.2 間接平差的計算步驟確定觀測值的獨立權陣為 111 / 21P(2) 列出每一個觀測值的平差值與未知數之間的函數關系式為11A21B32142ChXHhXHhXXhXH3.1.2 間接平差的計算步驟 3.1.2

10、 間接平差的計算步驟3.1.2 間接平差的計算步驟(3) 組成法方程，其中系數矩陣和常數項為 (4) 解算法方程為3.1.2 間接平差的計算步驟未知參數的改正數1210 xxx(mm) 未知參數的平差值，即待定點的平差高程為 1201110222144.499(m)145.851(m)PPHXXxHXXx3.1.2 間接平差的計算步驟 (5) 計算觀測值的平差值為 3.2 誤差方程式 按間接平差法進行平差計算，第一步就是列出誤差方程。為此，要確定平差問題中參數的個數、參數的選擇以及誤差方程的建立等。 在間接平差中，待定參數的個數必須等于必要觀測的個數t，而且要求這t個參數必須是獨立的，關于必要

11、觀測個數的確定問題，在第2章中已有詳細論述。 參數的選取應該選剛好個而又函數獨立的一組量作為參數，即可以選直接觀測量的平差值為參數，也可以選非直接觀測量的平差值為參數，或者二者兼而有之。在水準網中，常選取待定點的平差高程作為參數，也可選取點間的平差高差作為參數，但要注意參數的獨立性。在平面控制網、GPS網中，一般選取未知點的二維坐標或三維坐標作為未知參數，也可以選取觀測值的平差值作為未知數，同樣要注意參數之間的獨立性。至于應選擇其中哪些量作為參數，則應按實際需要和是否便于計算而定。 3.2.1 水準網誤差方程式 在水準網中，若有高程已知的水準點，則t等于待定點的個數；若無已知點，則假定其中一點

12、高程已知，以作為全網高程的基準，此時t仍等于網中待定點的個數。下面以選取網中待定點的平差高程為未知參數，分析水準網誤差方程式的列式方法。 在一個水準網中，j、k是某一段觀測高差的起、終點，且為兩個待定高程點，根據水準網推算出兩點的近似高程為Xj0、Xk0，從j觀測至k點的觀測高差為hjk，選定兩點的平差高程為未知參數、 ，則觀測高差的平差值方程為jkkjhXX(3-17) 00() ()jkkkjjhvXxXx 3.2.1 水準網誤差方程式 移項后，得 kjv x x l (3-18) 式中， 00jkjklhXX若高差的某一端點為已知點，則端點的未知參數改正數為0。從誤差方程式可以看出，系數

13、矩陣B的元素只能有1、-1、0這3個數字的任意兩兩組合構成。若將起點近似高程加上觀測高差稱為終點的觀測高程，則自由項l等于終點的觀測高程減去終點的近似高程。3.2.2 測角網誤差方程式 這里討論測角網中選擇待定點的平差坐標為未知參數時，誤差方程的線性化問題。先介紹坐標改正數與坐標方位角改正數之間的關系。 在圖3-1中，j、k是兩個待定點，它們的近似坐標為 。根據這些近似坐標可以計算j、k兩點間的近似坐標方位角 和近似邊長 。設這兩點平差坐標的改正數為 ，則有0000jjkkXYXY、0000jjkkXYXY、0000jjkkX Y X Y、 、 、0jk0jk0jkS0jkSjjkkxyxy、

14、 、 、3.2.2 測角網誤差方程式 設由坐標改正數引起的坐標方位角的改正數為jk，即 0jkjkjk現求坐標改正數 (3-19) jjkkx y x y、 、 、與坐標方位角改正數 jkjk之間的線性關系。 根據圖3-1可以寫出 0000() ()arctan() ()kkjjjkkkjjYyYyXxXx將上式右端按泰勒級數展開并取至一階項，得 3.2.2 測角網誤差方程式00000000arctankjjkjkjkjkjkjjkkkjjjkkYYxyxyXXXYXY等式中右邊第一項就是由近似坐標算得的近似坐標方位角 0jk對照式(3-19)知 0000jkjkjkjkjkjjkkjjkkx

15、yxyXYXY(3-20) 3.2.2 測角網誤差方程式 式中 0000200020020020200000()()()()1kjjkkjkjjkkjkjjkjkjkjYYXXYYYXXYYSXYYXX同理可得 002000200020()()()j kj kj kjj kj kj kkj kj kj kkXSYYSXXSY3.2.2 測角網誤差方程式 將上列結果代入式(3-20)，并顧及全式的單位得 000002020202()()()()jkjkjkjkjkjjkkjkjkjkjkYXYXxyxySSSS (3-21) 或寫成00000000sincossincosjkjkjkjkjkjj

16、kkjkjkjkjkxyxySSSS (3-22) 3.2.2 測角網誤差方程式 以上兩式就是坐標改正數與坐標方位角改正數間的一般關系式，稱為坐標方位角改正數方程。其中以“為單位。平差計算時，可按不同的情況靈活應用上式。例如： (1) 若某邊的兩端均為待定點，則坐標改正數與坐標方位角改正數間的關系式就是式(3-21)或式(3-22)。此時，與前的系數絕對值相等； 與 前的系數絕對值也相等。 jxkxjyky(2) 若測站點j為已知點，則0jjxy，得000202()()jkjkjkkkjkjkYXxySS (3-23) 3.2.2 測角網誤差方程式，得 若照準點k為已知點，則 0kkxy000

17、202()()jkjkjkjjjkjkYXxySS (3-24) (3) 若某邊的兩個端點均為已知點，則 0jjkkx y x y ，得 0jk (4) 同一條邊的正反坐標方位角的改正數相等，它們與坐標改正數的關系式也一樣，這是因為000002020202()()()()kjkjkjkjkjkkjjjkjkjkjkYXYXxyxySSSS 3.2.2 測角網誤差方程式 對照式(3-21)，顧及 據此，實際計算時，只要對每條待定邊計算一個坐標方位角改正數方程即可。對于角度觀測值Li(圖3-2)來說，其觀測方程為 iijkjhLv(3-25) (3-26) (3-27) 3.2.2 測角網誤差方程

18、式 根據這個角的3個端點具體情況靈活運用式(3-21)，并代入式(3-27)，即得線性化后的角度誤差方程式。例如，j、h、k點都是未知點時，式(3-27)為3.2.2 測角網誤差方程式 (3-28) 3.2.2 測角網誤差方程式 式(3-28)即為線性化后的角度觀測值的誤差方程式。綜上所述，對于角度觀測的三角網，采用間接平差，選擇待定點的平差坐標為未知參數時，列誤差方程的步驟如下。 (1) 計算各待定點的近似坐標X0，Y0。(2) 由待定點的近似坐標和已知點的坐標計算各待定邊的近似坐標方位角0和近似邊長S0。(3) 列出各待定邊的坐標方位角改正數方程，并計算其系數。(4) 按照式(3-28)、

19、式(3-26)列出角度誤差方程。 3.2.3 測邊網誤差方程式 現在討論在測邊網平差中，選擇待定點的平差坐標為未知參數時，誤差方程的線性化問題。 在圖3-3中，測得待定點間的邊長Li，選定待定點的坐標平差值 為未知參數，令 3.2.3 測邊網誤差方程式由圖3-3可寫出邊長平差值方程為 22()()iiikjkjL L vXXY Y 按泰勒級數展開，得 00000()()jkjkiijkkjkjjkjkXYLvSxxyySS(3-29) 3.2.3 測邊網誤差方程式 (3-30) (3-31) (3-32) 3.2.3 測邊網誤差方程式 式(3-31)或式(3-32)等號右邊前4項之和是由坐標改

20、正數引起的邊長改正數。式(3-31)或式(3-32)就是測邊網坐標平差時誤差方程式的一般形式，它是在假設兩端點都是待定點的情況下導出的。具體計算時，可按不同情況靈活運用。(1)若某邊的兩端點均為待定點，則式(3-31)就是該觀測邊的誤差方程。式中，與 的系數的絕對值相等， 與 的系數的絕對值也相等。常數項等于該邊的觀測值減去其近似值。jxkxjyky(3-33) 3.2.3 測邊網誤差方程式 (3-34) 若j、k均為已知點，則該邊為固定邊(不觀測)，故對該邊不需要列誤差方程。(3) 某邊的誤差方程，按j到k方向列出或按k到j方向列出的結果相同。3.2.4 導線網誤差方程式 在導線網中，有兩類

21、觀測值，即邊長觀測值和角度觀測值，所以導線網也是一種邊角同測網。導線網中角度觀測值的誤差方程，其組成與測角網坐標平差的誤差方程相同，邊長觀測的誤差方程，其組成與測邊網坐標平差的誤差方程相同，因此導線網中觀測值的誤差方程列式與上述測角、測邊網相同。由于在導線網中有邊、角兩類觀測值，所以，確定兩類觀測值的權是平差中的重要環節。設先驗單位權方差為 20，測角中誤差為 i，測邊中誤差為 iS，則定權公式為 (3-35) 3.2.4 導線網誤差方程式 當角度為等精度觀測時， 12n。定權時一般令 220，即以測角中誤差為導線網平差中的先驗單位 權中誤差，由此即得 (3-36) 22iS為了確定邊、角觀測

22、的權，必須已知和3.2.4 導線網誤差方程式 3.2.5 GNSS網誤差方程式 在GPS測量時，可以得到兩點之間的基線向量觀測值，它是在WGS-84坐標系下的三維坐標差(Xij，Yij，Zij)，用這些基線向量構成的網稱為GPS網，平差該網時一般采用間接平差。設GPS網中某一基線向量觀測值為(Xij，Yij，Zij)，平差時選GPS網中各待定點的空間直角坐標平差值 ()iiiXYZ， ，為參數，并取相應的近似值 000()iiiXYZ， ，則有 000iiiiiiiiiXXxYYyZzZ(3-37) 3.2.5 GNSS網誤差方程式 按照間接平差列出誤差方程的方法，每個基線向量可以列出3個誤差

23、方程，有 ijijijXjiijijYjiijjiZVXXXYVYYZZZV(3-38) 顧及式(3-37)，基線向量的誤差方程為 000000()()()ijijijXjiijjiYjiijjijiijjiZVxxXXXVyyYYYzzZZZV (3-39) 3.2.5 GNSS網誤差方程式 (3-40) 3.2.5 GNSS網誤差方程式 則編號為K的基線向量的誤差方程為 (3-41) (3-42) 當網中有m個待定點、n條基線向量時，則整個GPS網的誤差方程為3 33 1313 1n mnmnVB xl(3-43) 3.2.5 GNSS網誤差方程式 關于觀測值隨機模型的確定，一般形式仍然為

24、 22100DQP(3-44) 用兩臺GPS接收機在一個時段內只能得到一條觀測基線向量(Xij，Yij，Zij)，它們的協方差陣直接由軟件給出，設為222ijijijijijijijijijXXYXZijYYZZ對稱D(3-45) 3.2.5 GNSS網誤差方程式 不同基線向量之間認為是獨立的，因此，對整個GPS網而言，式(3-44)中的D是塊對角陣，即13 323 33 3000000gDDDD(3-46) 矩陣中各個D的下角編號1,2,g為各觀測基線向量號，對應式(3-45)中的Dij。3.2.5 GNSS網誤差方程式 對于多臺GPS接收機測量的隨機模型的組成，其原理同上，全網的D也是一個

25、塊對角陣，只是對角塊陣是多個同步基線向量的協方差陣。根據式(3-44)可得觀測基線向量的權陣為 210PD(3-47) 式中 20可任意選取。 3.3 精精 度度 評評 定定間接平差與條件平差雖采用了不同的函數模型，但它們是在相同的最小二乘原理下進行的，所以兩種方法的平差結果總是相等的，這是因為在滿足V TPV = min條件下的V是唯一確定的，故平差值 不因方法不同而異。LL V3.3.1 單位權中誤差單位權中誤差單位權方差 的估值 ，計算式仍然是V TPV除以其自由度，即TT20rn tV PVV PV (3(3-48)8)中誤差為中誤差為T0 ntVP V(3(3-49)9)TV PV

26、的計算除了將V代入直接計算外，還可以按式(3-50)計算，即20203.3.1 單位權中誤差單位權中誤差(3(3-50)50)3.3.2 協因數陣 根據前面的定義和有關說明知，根據前面的定義和有關說明知，3.3.2 協因數陣式中對角線上的子矩陣，就是各基本向量的自協因數陣，非對角線上的子矩陣為兩兩向量間的互協因數陣。現分別推求如下。其基本思想是把各量表達成協因數已知量(觀測向量L或自由項l)的函數，上述各量的關系式已知為3.3.2 協因數陣3.3.2 協因數陣3.3.2 協因數陣由表3-1可知，平差值 與改正數V的互協因數陣為零，說明 統計不相關，這是一個很重要的結果。3.3.3 參數與參數函

27、數的中誤差參數與參數函數的中誤差 i由前面的討論知，未知參數的協因數陣為(3(3-55)55)其中對角線元素iiX XQ是未知參數iX的自協因數，故參數iX的中誤差為3.3.3 參數與參數函數的中誤差參數與參數函數的中誤差 在間接平差中，解算法方程后首先求得的是t個未知參數。有了這些參數，便可根據它們來計算該平差問題中任意量的平差值(最或然值)。因為網中任何一個量的平差值都可以表達為所選未知參數的函數。下面從一般情況來討論如何求參數函數的中誤差的問題。設間接平差問題中參數的函數為3.3.3 參數與參數函數的中誤差參數與參數函數的中誤差(3(3-58) 8) (3(3-59)9)(3(3-60)

28、60)(3(3-61)61)3.3.3 參數與參數函數的中誤差參數與參數函數的中誤差例3-3 在圖3-4中，A、B為已知水準點，高程無誤差，各高差測段的路線長度為：S1=1，S2=2，S3=2，S4=1，單位km。觀測高差互相獨立。試求：待定點P1、P2平差高程的協因數。3.3.3 參數與參數函數的中誤差參數與參數函數的中誤差 根據水準路線定權方法iiCPS ，令C=2，即以2km觀測高差為單位權觀測值，2iiPS ，可得 P1=2，P2=1，P3=1，P4=2觀測高差互相獨立，構成觀測值的獨立權陣為3.3.3 參數與參數函數的中誤差參數與參數函數的中誤差3.3.3 參數與參數函數的中誤差參數

29、與參數函數的中誤差3.4 間接平差特例間接平差特例直接平差直接平差 對同一個待定量進行多次獨立觀測，求該量的平差值并評定精度的平差，稱為直接平差。實際上它是間接平差中只有一個未知參數的特殊情況。3.4.1 平差原理平差原理設對某待定量 進行n次不同精度的觀測，觀測值為權陣為 ，且它為對角陣，對角線元素分別為P1,P2, X,1nL，,nnPXPn ，按間接平差選該量的平差值為參數 ，可以列出誤差方程為組成法方程為3.4.1 平差原理平差原理 解得由此可見，直接平差的結果就是觀測值的加權平均值。為方便計算，通常取參數的近似值0X，有0XXx ，則誤差方程為式中3.4.1 平差原理平差原理 3.4

30、.1 平差原理平差原理特別地，當各觀測值等精度時，取權全為1，則與式(3-64)、 式(3-68)相對應的待定量的平差值為或者式(3-69)說明，當觀測值等精度獨立時，直接平差的結果就是觀測值的算術平均值。3.4.2 精度評定精度評定3.4.2 精度評定精度評定3.4.2 精度評定精度評定即當對某量作n次同精度觀測時，其平差值為觀測值的算術平均值，算術平均值的權為單個觀測值權的n倍。例3-4 如圖3-5所示的水準網中，A、B、C為已知點，P為待定高程點，已知HA=121.910，HB=122.870，HC=26.890，單位為m。各段觀測高差和路線長度為h1=3.552m，h2=2.605m，

31、h3=1.425 m；S1=2km，S2=6km，S3=3km。試求：(1) P點的平差高程；(2) P點平差高程的中誤差。3.4.2 精度評定精度評定3.4.2 精度評定精度評定3.4.2 精度評定精度評定3.5 間接平差算例3.5.1 水準網間接平差算例 例3-5 第2章例2-3所示的水準網，按間接平差求：(1) 待定點B、C的高程平差值。(2) 待定點B、C平差高程的中誤差。(3) 各段高差平差值的中誤差。解 (1) n=5，t=2，選待定點B、C的高程平差值為未知參數。列觀測值的平差值方程，即 3.5.1 水準網間接平差算例3.5.1 水準網間接平差算例代入具體數值，自由項l以mm為單

32、位，有 3.5.1 水準網間接平差算例 m 3.5.1 水準網間接平差算例 (2) 高程平差值的中誤差。單位權中誤差為3.5.1 水準網間接平差算例 (3) 高差平差值的中誤差。平差高差的協因數陣為3.5.2 測角網間接平差算例例3-6 測角網見第2章例2-4，試按間接平差法，求：(1) 待定點C、D的坐標平差值；(2) C、D點的點位中誤差；(3) 角度平差值的中誤差；(4) CD邊平差邊長的相對中誤差。解 (1) t=4，選取C、D兩點的平差坐標作為未知參數。0CCC0CCCXXxYYy0DDD0DDDXXxYYy令未知參數的改正數向量TCCDDxyxyx。 3.5.2 測角網間接平差算例

33、(3-1) 本例計算過程中，角度改正數以為單位， 長度以m為單位。 推算各邊的近似邊長和近似坐標方位角：在ABC和BCD中，分別由前方交會公式，計算C、D兩點的近似坐標如下(計算過程見例2-4)：按已知點坐標和未知點的近似坐標推算各邊的近似邊長和近似坐標方位角，見表3-2。 3.5.2 測角網間接平差算例表3-2 近似邊長和方位角方 向近似邊長/m近似坐標方位角/()CA118.4833150.222940CB115.9370217.284137CD112.1936277.475533DB114.6632159.1521433.5.2 測角網間接平差算例反算已知邊AB的邊長和方位角 SAB=1

34、29.5788m，AB=2745153.43 列各待定邊的坐標方位角改正數方程，其中0 3.5.2 測角網間接平差算例列各個觀測角度的平差值方程為 3.5.2 測角網間接平差算例將各個邊的坐標方位角改正數方程代入角度平差值方程，寫成誤差方程的形式，即3.5.2 測角網間接平差算例其中自由項l(單位：)：3.5.2 測角網間接平差算例誤差方程式系數矩陣B6400CACA00CACA00CBCB00CBCB0000CBCACACB0000CBCACACB0000CBCBDBDB0000CBCBDBDB0000CDCDCDDB000CDCDCDsincos00sincos00sinsincoscos

35、00sincossincossincossinsinSSSSSSSSSSSSSSSB00CDDB000DBDBCD000000CDCBCBCDCDCD000000CDCBCBCDCDCDcoscossinsincoscossincosSSSSSSSSS3.5.2 測角網間接平差算例代入具體數值，有組成并求解法方程bb NxW3.5.2 測角網間接平差算例3.5.2 測角網間接平差算例改正數V和角度平差值代入各個矩陣的值，得待定點坐標平差值0XXx代入具體數值，可得(單位：m) 3.5.2 測角網間接平差算例(2) 待定點平差坐標的中誤差。驗后單位權中誤差3.5.2 測角網間接平差算例 (3)

36、角度平差值的中誤差。觀測值的平差值的協因數陣為 3.5.2 測角網間接平差算例因為各個內角是同精度觀測， 由2 0LLLLDQ可得各個內角平差值的中誤差 3.5.2 測角網間接平差算例 (4) CD邊的邊長相對中誤差。CD平差邊長的函數式為 22CDCDCD()()SXXYY全微分，得權函數式 0000CDDCCDCCDCDDCDdcossincossinSxyxy3.5.2 測角網間接平差算例3.5.2 測角網間接平差算例 3.5.3 測邊網間接平差算例 例3-7 測邊網，見第2章例2-5，試按間接平差法，求：(1) 待定點C、D的平差坐標。(2) C、D兩點平差坐標的中誤差。(3) 各個邊

37、長平差值的中誤差和相對中誤差。(4) CD邊平差后方位角的中誤差。解 (1) n=5，t=4，選取C、D兩點的平差坐標為未知參數。3.5.3 測邊網間接平差算例 獨立權陣 P=Q-1=I未知參數的改正數向量為TCCDD x y x yxC、D兩點近似坐標計算，采用邊長交會公式，同例2-5，單位為m。3.5.3 測邊網間接平差算例 推算各邊近似邊長。由已知點坐標和C、D兩點的近似坐標反算AC、AD、BC、BD、CD各邊近似邊長，單位為m。結果為：00000123451850.5121041.8361664.2301673.3081096.8076LLLLL，列邊長誤差方程式001ACCACC10

38、02ADDADD2003BCCBCC3004BDDBDD400005CDCCDCCDDCDD5cossincossincossincossincossincossinvxylvxylvxylvxylvxyxyl 3.5.3 測邊網間接平差算例 (mm)3.5.3 測邊網間接平差算例誤差方程式系數矩陣為 00ACAC00ADAD00BCBC00BDBD0000CDCDCDCDcossin0000cossincossin0000cossincossincossinB代入具體數值，有 0.241010.970520.00.00.00.00.292440.956280.470600.882350.00

39、.00.00.00.916660.399660.684420.729090.684420.72909 B3.5.3 測邊網間接平差算例 其中：3.5.3 測邊網間接平差算例 3.5.3 測邊網間接平差算例 邊長觀測值的改正數 3.5.3 測邊網間接平差算例 (2) 待定點平差坐標的中誤差。 驗后單位權中誤差 3.5.3 測邊網間接平差算例 待定點平差坐標分量的中誤差CCCCC CDDDDDD000017.18mm7.99mm11.79mm10.96mmXXXYY YXXXYYYQQQQ 3.5.3 測邊網間接平差算例 (3) 邊長平差值的精度。 邊長平差值的協因數陣1Tbb0.686070.2

40、75100.161940.253440.221900.275100.758920.141910.222100.194450.161940.141910.916460.130740.114470.253440.222100.130740.795390.179140.221900.194450.114470.179140.84315LLQBN B3.5.3 測邊網間接平差算例 則各個邊長平差值的中誤差與相對中誤差K 3.5.3 測邊網間接平差算例 同理，可得 345345110.40mm15994619.69mm17262619.98mm109902LLLKKK，(4) CD邊方位角平差值的中誤差

41、。 CD邊方位角的函數式 DCCDDCarctanYYXX3.5.3 測邊網間接平差算例 3.5.3 測邊網間接平差算例 3.5.4 邊角網間接平差算例 例3-8 邊角網如圖3-6所示，已知點A、B的坐標，觀測角度與觀測邊長為：A(0.0，0.0)，B(0.0，1000.0)，單位為m；1=600005，2=595958，3=600000，S=999.99m； 已知：=2，=1cm，令單位權中誤差0=。試按間接平差法，求：(1) 待定點P的平差坐標。(2) P點平差坐標的中誤差。(3) 觀測值的平差值的中誤差。3.5.4 邊角網間接平差算例 3.5.4 邊角網間接平差算例 解 (1) n=4，

42、t=2，選定待定點P的平差坐標為未知參數。，令未知參數的改正數向量為 TPP x yx觀測值向量為 L=1 2 3 ST 根據題意，定權時令角度觀測值為單位權觀測值 取長度單位為m，角度單位為， 3.5.4 邊角網間接平差算例 在ABP中，由前方交會公式，得P點近似坐標為 3.5.4 邊角網間接平差算例 由A、B、P 3點的坐標推算各邊近似方位角和近似邊長為 3.5.4 邊角網間接平差算例 將各邊坐標方位角改正數方程代入角度平差值方程，得角度誤差方程式為3.5.4 邊角網間接平差算例 3.5.4 邊角網間接平差算例代入具體數值，有(自由項以為單位) 列邊長誤差方程式為 3.5.4 邊角網間接平

43、差算例 其中：3.5.4 邊角網間接平差算例 3.5.4 邊角網間接平差算例 (2) 待定點P的坐標中誤差。驗后單位權中誤差3.5.4 邊角網間接平差算例 (3) 觀測值平差值的中誤差。觀測值平差值的協因數陣為3.5.4 邊角網間接平差算例 3.5.5 GNSS網間接平差算例 例3-9 GPS網平差。圖3-7所示為一簡單GPS網，網中A1點三維坐標已知，見表3-3，其余3個點為待定點，參數個數t=9。用兩臺GPS接收機觀測，測得5條基線向量，見表3-4，n=15，每個基線向量中3個坐標差觀測值相關，由于只用兩臺GPS接收機觀測，所以各觀測基線向量相互獨立，試按間接平差法平差該網。 3.5.5

44、GNSS網間接平差算例 表3-3 已知點信息(單位:m) 點 名XYZA11974638.73404590014.81903953144.9235表3-4 觀測基線信息 XYZ2.320999E007 5.097008E007 1.339931E006 4.371401E007 1.109356E006 1.008592E006對稱1.044894E006 2.396533E006 6.341291E006 2.319683E006 5.902876E006 6.035577E006對稱5.850064E007 1.329620E006 3.362548E006 1.252374E006 3.

45、069820E006 3.019233E006對稱3.5.5 GNSS網間接平差算例 3.5.5 GNSS網間接平差算例 解 (1) 設A2、A3、A4點的三維坐標平差值為參數，即 T222333444XYZXYZXYZX取參數的近似值3.5.5 GNSS網間接平差算例3.5.5 GNSS網間接平差算例15 15249.5360.2088.8541.9471.63105.7900071.4300016.0719.2800011.7312.6818.38000000169.8300000039.6046.1200000030.1830.4646.4400000000049.05000000000

46、12.8917.590000000007.4714.1921.3500000000000對稱P17.74000000000004.865.21000000000002.883.365.12468.4142112.6840152.553479.5936116.2839173.580549.050212.88527.472814.185312.885217.586814.18531對稱7.745122.79477.472814.185321.346510.351017.550126.4702169.833639.600230.183017.73514.85992.8782259.003039.60

47、0246.118330.46494.85995.20793.364860.533770.606630.183030.464946.44302.878232223334440.02530.08010.06650.01850.05120.08870.29140.0649.36485.123744.795746.508669.95130.0405xyzxyzxyz3.5.5 GNSS網間接平差算例3.5.5 GNSS網間接平差算例 (4) 平差結果(單位：m) T2223033444197342004653951407.20441974825.70334591232.20133950235.82171974909.19844590518.02123951265.9923XYZXYZXYZXT3.