1、概念教學(xué)應(yīng)重視思維訓(xùn)練的實(shí)效性數(shù)學(xué)是思維活動(dòng)的過(guò)程， 數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教 學(xué) . 在概念教學(xué)中要以學(xué)生為主體，遵循認(rèn)知規(guī)律，以學(xué)生現(xiàn)有 認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)， 在教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)與實(shí)施中， 重視學(xué)生思 維過(guò)程（細(xì)節(jié)）的暴露與訓(xùn)練，進(jìn)而提高思維訓(xùn)練的實(shí)效性. 本文擬以“對(duì)數(shù)”教學(xué)中的一些環(huán)節(jié)來(lái)分析思維訓(xùn)練的實(shí)效性 .1概念建構(gòu)的思維起點(diǎn)應(yīng)指向?qū)W生認(rèn)知實(shí)情 我們知道，“先行組織者”的教學(xué)策略對(duì)新概念的學(xué)習(xí)有定 向和引導(dǎo)的功能， 而“先行組織者”的選取由學(xué)生群體的認(rèn)知水 平、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知需求共同決定， 不同學(xué)生群體對(duì)同一“組織 者”作出的認(rèn)知反應(yīng)體現(xiàn)出較大差異， 因此， 為了切合學(xué)生的認(rèn) 知

2、實(shí)情， 應(yīng)認(rèn)真分析學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)， 選出真正適合學(xué)生概念 建構(gòu)的“先行組織者” .討論 1 “對(duì)數(shù)”概念引入方式與學(xué)情切合分析 常見(jiàn)于課堂中的“對(duì)數(shù)”引入方式有： 方式 1 由已學(xué)“指數(shù)函數(shù)”中的例題引入： 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)， 每經(jīng)過(guò) 1 年，這種物 質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來(lái)的 84%，那么經(jīng)過(guò) x 年后，該物質(zhì)的剩留量 y=0.84x ，問(wèn) 1：經(jīng)過(guò) 10 年，這種物質(zhì)的剩留量是多少？問(wèn) 2：經(jīng)過(guò)多少年，這種物質(zhì)的剩留量為原來(lái)的一半？以求解方程“ 0.84x=12 ”引出概念 .方式2以代數(shù)式“ ab=N為載體，從不同角度設(shè)計(jì)運(yùn)算：運(yùn)算 1 :若 a=2, b=4,則 N=;運(yùn)算

3、 2:若 b=2, N=4,則 a=;運(yùn)算 31 :若 a=2, N=8,則 b=;運(yùn)算32:若a=2, N=5,則b=.（引導(dǎo)性問(wèn)題：b存在嗎？ 如何表示？）先回顧“根式運(yùn)算”的過(guò)程，再據(jù)此類比，引出“對(duì)數(shù)” . 顯然，兩種引入方式均能以學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的素材為研 究起點(diǎn)，并且都有共同的目標(biāo)指向:引入“對(duì)數(shù)”的必要！通過(guò) 實(shí)踐比較，兩種引入方式實(shí)效大不相同:方式 1 從學(xué)生剛學(xué)過(guò)的指數(shù)函數(shù)中的實(shí)際問(wèn)題入手， 研究對(duì) 象熟悉（指數(shù)形式），研究問(wèn)題清晰（解方程問(wèn)題），且其中滲 透了函數(shù)與方程的思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ) . 但由于此情境為 實(shí)際問(wèn)題， 學(xué)生仍會(huì)花時(shí)間對(duì)此進(jìn)行建模， 更何況從實(shí)際問(wèn)

4、題抽 象出函數(shù)模型本身就有一定難度，可能因此沖淡主題 . 所以，該 引入方式適用于指數(shù)及指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)到位且建模能力較強(qiáng)的學(xué) 生群體 .方式 2 是基于從不同角度（三種運(yùn)算）看同一對(duì)象（“ ab=N）的視角而展開(kāi)的，學(xué)生在初中冪運(yùn)算、根式運(yùn)算的 基礎(chǔ)上，通過(guò)類比“根式運(yùn)算”的思維過(guò)程，同化到“對(duì)數(shù)運(yùn) 算”，學(xué)習(xí)過(guò)程具有指向性與探究性 . 但要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的 表征能力較強(qiáng)， 而且“范式”的思維方式要求較高若在代數(shù) 式 ab=N 的不同表征時(shí)就出現(xiàn)思維混亂，或在“根式運(yùn)算”思維 過(guò)程的“回顧”階段就出現(xiàn)“卡殼”，便直接影響了“對(duì)數(shù)運(yùn) 算”相應(yīng)的思維建構(gòu) . 因此，該引入方式適用于對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)表征

5、能力較強(qiáng)且思維品質(zhì)較好的學(xué)生群體 .2組織方式中的思維價(jià)值應(yīng)致力學(xué)生的發(fā)展 建構(gòu)主義理論的核心價(jià)值是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的有意義建構(gòu)， 著名心理學(xué)家惠特海默認(rèn)為， 不能用無(wú)意義的方式來(lái)進(jìn)行有意義 的建構(gòu) . 這就表明組織方式將直接影響學(xué)生在知識(shí)建構(gòu)中的有效 思維含量（思維方式是否進(jìn)步 ;思維水平是否提升 ; 思維品質(zhì)是否 優(yōu)化等等），不同的組織方式最終的教學(xué)功能有明顯差異，或許 在短期內(nèi)學(xué)生都能進(jìn)行解題， 但從學(xué)生的長(zhǎng)期發(fā)展來(lái)看， 數(shù)學(xué)觀 念、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差異將凸顯出來(lái) .討論 2 “對(duì)數(shù)運(yùn)算法則”兩種組織方式對(duì)思維訓(xùn)練的有效 成分組織方式 1：組織方式 2：具體而言，組織方式 1 目標(biāo)明確，指向清楚

6、，更利于探究活 動(dòng)的開(kāi)展， 它遵循從特殊到一般的探索過(guò)程， 旨在幫助學(xué)生建立 起“觀察一歸納（猜想）一證明”數(shù)學(xué)探究過(guò)程，從而形成正確 的科學(xué)探索方法 . 但方式 1 中“對(duì)數(shù)運(yùn)算法則”的發(fā)現(xiàn)過(guò)程是通 過(guò)輔助媒介的外部操作獲得， 學(xué)生主體的思維建構(gòu)成分較少， 從 有效思維角度來(lái)看，輔助媒介代替了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的思維建 構(gòu)，其中的思維訓(xùn)練屬于低層次的思維操作， 對(duì)處于高中階段的 學(xué)生的思維發(fā)展是不利的 . 組織方式 2 中的探究是以學(xué)生已有認(rèn) 知為思維起點(diǎn)， 探索動(dòng)機(jī)是從已學(xué)的“指數(shù)化對(duì)數(shù)”這一基本運(yùn) 算切入， 將原有認(rèn)知系統(tǒng)中“指數(shù)運(yùn)算法則”進(jìn)行“改裝”， 這 樣的思維過(guò)程是與之前“對(duì)數(shù)概念”

7、的形成保持一致， 既鞏固了 原有概念， 又進(jìn)一步詮釋了“指數(shù)化對(duì)數(shù)”的內(nèi)涵， 思維過(guò)程更 趨一致性， 更易于學(xué)生深刻牢固掌握“對(duì)數(shù)概念”的本質(zhì)， 且知 識(shí)的生成過(guò)程為有方向引領(lǐng)的思維過(guò)程， 這顯然是幫助學(xué)生形成 理性思維的良好載體 .3數(shù)學(xué)應(yīng)用的設(shè)計(jì)應(yīng)保持思維訓(xùn)練的連續(xù)性 數(shù)學(xué)例題的設(shè)計(jì)往往是為了鞏固概念的理解， 加深概念建構(gòu) 中的思想方法的訓(xùn)練，但很多例題的設(shè)計(jì)卻忽視“鞏固”的功 能，反而節(jié)外生枝產(chǎn)生新的認(rèn)知難點(diǎn)， 導(dǎo)致學(xué)生頭腦中剛建構(gòu)起 的思維鏈摻入“雜質(zhì)”， 使學(xué)生思維混亂， 影響了思維訓(xùn)練的連 續(xù)性.討論 3 換底公式 logaN=logcNlogca ,(其中 a>O , a

8、1,N>0 , c>0 , CM 1)證明方法的思考 我們通常通過(guò)如下方法來(lái)證明“換底公式”： 證法 1 設(shè) logaN=t ，則 at=N.兩邊取以 c 為底的對(duì)數(shù)，得 logcat=logcN ，tlogca=logcN ，因?yàn)?logca 豐 0,所以 t=logcNlogca ,故 logaN=logcNlogca.從實(shí)際教學(xué)來(lái)看， 上述證明中的“兩邊取對(duì)數(shù)”這一方法來(lái) 得很“突然”， 學(xué)生理解起來(lái)很吃力， 這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)“兩邊同 時(shí)取同底的對(duì)數(shù)”這一方法完全沒(méi)有相應(yīng)的知識(shí)支撐和心理準(zhǔn) 備，與學(xué)生已學(xué)的認(rèn)知方式(即“對(duì)數(shù)指數(shù)的互化”)之間有較 大差異，自然接受起來(lái)比較生硬

9、.實(shí)際上，從一開(kāi)始的對(duì)數(shù)概念到對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，都經(jīng)歷了 “對(duì)數(shù)式化回指數(shù)式”的思維過(guò)程，為了“延續(xù)”這一思維程 式，同樣地，我們可以嘗試這樣證明換底公式：證法 2 設(shè) logaN=p， logca=q ，則 ap=N， cq=a，于是 N=(cq) p=cpq,所以 pq=logcN ,即 logaN?logca=logcN , 由于 logca 豐 0,所以 logaN=logcNlogca.可以看出，證法 2立足于指數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (ap)q=ap(q a>0 )， 通過(guò)指數(shù)與對(duì)數(shù)間的互化而完成 . 值得說(shuō)明的是,該證法是建立 在已發(fā)現(xiàn)“換底公式”的前提下,如果沒(méi)有這樣的知識(shí)作為載 體,那么對(duì)剛學(xué)習(xí)“對(duì)數(shù)”的學(xué)生來(lái)講, 這種方法同樣來(lái)得很突 兀,聽(tīng)起來(lái)也并非自然流暢 .證法3設(shè)logaN=t，貝U at=N，由恒等式a=clogca，貝U N=( clogca ) t=ctlogca ,由對(duì)數(shù)的意義,得 tlogca=logcN ,由于 logca 工 0,所以 t=logcNlogca ,即 logaN=logcNlogca.證法3立足于對(duì)數(shù)恒等式 a