1、2010高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）： a 我們的參賽報名號為（如果賽區設置

2、報名號的話）： 所屬學校（請填寫完整的全名）： 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：儲油罐的變位識別與罐容表標定摘 要加油站都有地下儲油罐，一般是通過查看罐容表得知儲油罐的剩余油量。由于地基變形等原因，儲油罐會發生變位，從而

3、導致罐容表的改變。因此研究儲油罐的變位識別與罐容表重新標定具有重要意義。問題一，首先，把求平底橢圓柱儲油罐的儲油量的問題轉化為求體積積分的問題，做三重積分時，利用了平行于橢圓柱母線的截面微元，并利用maple軟件，求出儲油量關于油位高度和傾斜角的關系表達式；然后通過分析理論值和實驗值的相對誤差，利用的實驗數據對該表達式進行了誤差系數補償，得到了儲油量與罐內油位高度及傾斜角的關系的數學模型，利用的實驗數據對補償后的模型進行了檢驗，平均相對誤差由補償前的5%變為不到2%；在分析變位后對罐容表的影響時取定不同油位高度,研究儲油量關于傾斜角的變化關系，得到了當油位高度較高、較低及在一定中間范圍時不同的

4、變化規律。然后基于此模型得到了變位后油位高度間隔為1的罐容表標定值（見14、15頁）； 問題二，研究了主體為圓柱、兩端為球冠的儲油罐變位后的罐容問題。首先將該問題轉化為球冠和圓柱所含油的體積積分問題。圓柱所含油的體積可利用問題一中的模型求解（其中油位高度要經過一定轉化）；球冠部分利用三重積分直接運算很難計算；而后我們通過分析球冠采用了近似積分算法，得到了儲油量關于顯示油位高度、兩個變為參數（橫向偏轉角及縱向傾斜角）的一般關系式；為求，基于此一般關系式，建立了目標為理論出油量和實際出油量之差的平方和最小的優化模型，利用附表二中的出油量的前半部分數據，并利用逐步減小區間的搜索算法，同時逐次以為步長

5、，用matlab進行了三次搜索，求得；然后利用附表二中顯示油高和顯示儲油量兩組數據，與取為時顯示油高對應的理論出油量進行比較，得到的相對誤差的數量級為(見24頁圖)；并利用附表二中出油量后半部分數據，與時所得出的理論出油量進行比較，得到平均相對誤差為0.57%，從而檢驗了模型的正確性與方法的可靠性。最后利用此模型得到了變位后油位高度間隔為10的儲容表標定值（見23頁）。 關鍵詞：儲油罐 油位高度 儲油量 縱向傾斜角 橫向偏轉角一、 問題重述通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等數據，通過預先標定的

6、罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發生改變。按照有關規定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉變位的截面示意圖。請你們用數學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為a=4.

7、10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數據如附件1所示。請建立數學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位參數（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b ）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數據（附件2），根據你們所建立的數學模型確定變位參數，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數據來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。二基本假設1、 注油管、出油管及浮桿所占的體積忽略不計2、 問題一中所給

8、的是油桶內徑的尺寸（即忽略壁厚對結果的影響）3、 問題二中儲油罐在沒有變位時的罐容表準確無誤4、假設在所研究的時間段內縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b保持不變三、符號說明符號符號說明測得油浮子高度縱向傾斜角橫向傾斜角油浮子距離油罐左端距離油浮子距離油罐右端距離橢圓截面半長軸橢圓截面半短軸柱狀罐體左端面油面高度柱狀罐體右端面油面高度油罐柱狀體長度相對誤差儲油量球冠頭所在球面的半徑油罐柱狀部分截面半徑四、問題的分析4.1概論該題主要是解決解決儲油罐的變位識別與罐容表標定兩個問題，而核心問題是求儲油量關于顯示油位高度、儲油罐兩個方向的轉角的關系表達式。求此表達式的思路是先求油所占的體積關于參量(參量為

9、和油高相關的參量)及兩角度的關系式，進而利用參量和顯示油高的關系式求得最終表達式；由于問題二中的圓筒具有旋轉對稱性（旋轉時所要積分的體積形狀不改變），故問題一和問題二中儲油量關于和油高相關的參量的表達式的求法(實際為三重積分)在本質上是一樣的，而區別僅在于參量和顯示油高的的關系表達式。4.2問題一對于問題一，可通過三重積分和maple軟件先求解儲油量關于參量和傾斜角的一般表達式，然后找到參量和顯示油高的關系，代入表達式可得到儲油量關于顯示油高和傾斜角的表達式；然后將理論值與實驗值對比，參閱資料得出誤差修正方法，利用傾角為時的數據進行修正，并利用傾角為的數據對修正后的表達式進行檢驗，得到了較理想

10、的模型。然后基于此模型求出當傾斜角變化時對罐容表的影響，并得到時的罐容表標定值。4.3問題二對于問題二，同問題一一樣，也需找到儲油量關于參量和兩方向傾角的一般表達式，由于積分過程很復雜，有必要對此積分進行近似求解，得到一般表達式后，再找到參量和顯示油高的關系式，代入即可得到儲油量關于參量和兩傾角的一般關系。然后利用附表二中出油量和顯示油高，基于一般關系式，確立優化目標為理論出油量和實驗出油量的誤差平方和最小，變量為兩偏角的優化模型，利用逐步逼近的搜索算法，得到了兩偏角的值。變位后的罐容表很自然的可利用一般表達式得到。最后利用附表二中的顯示油高和顯示油量（實際為無偏角時的油高關于油量的精確對應關

11、系），對模型的準確性驗證；利用實驗出油量和理論出油量的對比，對模型的可靠性進行驗證。五、模型的建立與求解5.1問題一-兩端平頭的橢圓柱體5.1.1數據預處理 根據附件1，在無變位的情況下，我們根據進油過程和出油過程分別作出儲油量隨變化的圖，圖1無變位進出油過程儲油量與高度的關系對比 由上圖可以看出，在無變位的情況下，用進油數據求得的變化曲線幾乎與用出油數據求得的變化曲線相同。 此外，在有傾角的時候，同理作出下圖。圖2有傾角進出油過程儲油量與高度的關系對比 同樣可以得到上述結論。這就意味著，進油過程和出油過程地位是相等的（基本是相同的），如果我們可以對所有的進油量和出油量求其對應的儲油量，即可增

12、加樣本容量，減小誤差。 因此，在后文的計算過程中，我們會將所有的進油量值和出油量值當做求儲油量的樣本點。5.1.2傾斜角為時計算儲油量的一般模型1)狀態分析 討論先過哪個點：當一定時，桶內油量不同，對應的儲油量計算公式不同。根據儲油量的多少，可以將此問題分為5個狀態。如下圖圖3油罐液面5種狀態圖狀態序號狀態名稱油量特少油量較少油量中等油量較多油量特多表1另一方面，不同的傾斜角所對應的5種狀態有所不同，液面直線可能先過，或者先過點。臨界條件如下圖所示：圖4臨界條件示意圖根據上圖，我們可以求出此臨界狀態下的傾斜角，即只要小于這個角，當儲油量增加時，液面直線必定先過點。而在此題中，儲油罐的傾角是由于

13、地基變形等原因引起的，角度不可能太大。在此問題中，我們認為，不會大于臨界值，即液面直線必定先過點。因此，圖4所表示的狀態即為桶內油量的所有狀態。討論先求那種狀態：通過分析可知，在油罐傾斜的時候，如果運用積分的方法，不同的油位高度，儲油量的求解公式也不同。故求出的儲油量的公式應當為關于的分段函數。2)儲油量的計算-油量特少和油量特多在油量特少的情況下，油面高度一直保持為零。即無法通過的變化，求得儲油量。即在此情況下無法計算。同理，對于油量特多的情況， 無法計算。3)儲油量的計算-油量較少根據已知條件，我們以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，示意如下：圖5油量較少立體示意圖在圖5的基礎上，我們設定

14、相關參數，得下圖圖6油罐面截面圖在上圖中，截取在區間內的體積元。然后將在面的截面圖，如下:圖7油罐面的截面圖參考圖5后，體積元為長方體。若以面為底面，其面積為，根據圖6中的各個參數，可以求得此矩形底面的長和寬。長：在圖6中，有如下等量關系：據幾何關系得，寬： 底面面積：體積元體積： 積分區間：求儲油量須從到點對積分，積分區間為，其中由(9)式得。 積分模型：儲油量滿足 化簡結果： 用maple求解(15)式，化簡后得到 其中，。 由已知條件得，。因此(10)式中，只是間接變量，最終唯有是自變量，即4)儲油量的計算-油量中等參考圖3，延長液面直線，得到油量中等狀態的示意圖如下：圖8油量中等狀態示

15、意圖由圖中幾何關系可得根據上圖，并聯系(16)、(17)式，得到此情況下儲油量滿足解(20)式得此情況下儲油量為5)儲油量的計算-油量較多圖9油量較多狀態示意圖 由圖中幾何關系求得 根據圓柱體積公式得 故可以利用公式(16)、(17)，求得此情況下的儲油量6)問題一誤差修正前模型參考圖3，由幾何關系易得各條臨界線所對應的油位高度：綜上，傾斜角為時儲油量可以分段表示為：當一直保持0時，無法計算；當時，其中，當時，其中，當時，其中當一直保持0是，無法計算5.1.3傾斜角為時計算儲油量的模型由于在的分段表達式，總會存在出現在分母上，故，即無變位的儲油量需要單獨計算依據題意，在已知參數、的前提下，根據

16、微積分的思想，在面截取一個體積元，厚度為。如圖：圖10積分微元面示意圖由圖可知，體積元為長方體，該長方體的底面矩形的長為。并且然后令=0，只觀察平面(縱截面)（該橢圓柱體的縱截面為下圖），如圖11：圖11儲油罐縱截面圖從而得到上圖的橢圓方程為可得，從而寬、底面面積均可求出根據(20)、(23)兩式求得，體積元的表達式由于此時油罐無變位，故液面高度即為油位探針所測得的油位高度。用(9)式對從點到點積分，積分區間為，進而求得罐體無變位時儲油量關于探針所測油位高度的函數關系5.1.4油罐儲油量的表示5.1.5誤差補償-修正后模型對于附件1中所給定的4個表：“無變位進油”、“無變位出油”、“有變位進油

17、”、“有變位出油”。我們用前兩個表進行誤差補償，用后兩個表進行檢驗。l 補償前文已經提到，將進出油數據一起考慮。故我們可以根據前兩個表，求得第次采集油位高度的儲油量實驗值，利用公式(26)又可以求得，從而能夠求得每一次采集的絕對誤差和相對誤差補償的方法有兩種：1）修正前的理論公式加上絕對誤差；2）修正前的理論公式乘以。下面繪出無變位時，儲油量理論值與實驗值的相對誤差：圖12無變位相對誤差隨變化圖觀察上圖，可得無變位時相對誤差相當穩定，并且通過查閱參考文獻1，得知儲油量的誤差與環境溫度和油量的使用溫度有關，修正公式如下：其中為修正前的儲油量，為一系數。由此公式，我們聯想到此問題的誤差可能是由溫度

18、導致的。故選用第二種誤差補償的方法。補償系數：由圖12可以看出平均相對誤差為3.37%，則。所以對(26)式乘以補償系數96.63%進行修正。l 修正后模型 l 檢驗修正后，根據有變位的進出油數據，得到第次采集油位高度的儲油量實驗值，再將代入修正后的理論公式，得到，比較和的值后，作出用補償法修正后，理論儲油量與實驗值隨油標高度變化的曲線圖，并與修正前的圖進行對比。圖13修正后圖14修正前觀察上圖，修正前的最大相對誤差為5.5%，而修正后的相對誤差基本上不超過2%。從而證明我們的修正后的理論公式的準確性。5.1.6變位對罐容表的影響取不同的,可得在不同時關于的變化，下面取了典型的四個圖：圖15當

19、一定時，關于的變化曲線分析不同時關于的變化，可得到如下規律：當較小時，關于的變化率隨角度減小，而且會出現對應的隨傾角增大而減小的現象；當較大時，關于的變化率隨角度增大；當的值居中時，關于的變化率基本不變，即關于基本為線性關系。5.1.7傾斜角時的罐容表v(l)01.6231608.9103621821.60933082.6013.4132643.1507631863.52943119.8126.0533677.8842641905.48953156.6339.6434713.0892651947.45963193.06414.2635748.745661989.44973229.08519.9

20、936784.8318672031.43983264.66626.9237821.3306682073.40993299.78735.0938858.22692115.351003334.43844.5939895.49702157.261013368.58955.4640933.12712199.131023402.221067.7641971.09722240.931033435.311181.55421009.38732282.661043467.831296.88431047.99742324.311053499.7513113.78441086.89752365.861063531.

21、0514132.31451126.06762407.301073561.7015152.50461165.51772448.621083591.6616174.18471205.20782489.811093620.8917197.12481245.13792530.851103649.3618221.19491285.29802571.731113677.0319246.30501325.65812612.441123703.8420272.36511366.21822652.971133729.7421299.32521406.95832693.301143754.6722327.1353

22、1447.86842733.411153778.5523355.74541488.92852773.301163801.2924385.10551530.14862812.951173822.7425415.18561571.48872852.351183842.6426445.94571612.94882891.481193860.8927477.35581654.51892930.331203877.5228509.38591696.17902968.8929542.00601737.91913007.1330575.19611779.73923045.04表25.2問題二-實際儲油罐5.

23、2.1橫、縱方向偏轉時計算儲油量 的一般模型1)積分求體積l 狀態分析并引入參量 討論此一般模型先過哪個點： 與問題一同理，參考圖4求得臨界角為， 故液面也是先過圖4中點。類似地得到5種狀態，其中“油量中等”狀態的示意圖如下：圖16油量中等的示意圖在上圖中，我們將油的體積分割成5個部分：，并且引入參量根據幾何關系，可以求得5種狀態對應的儲油量的計算公式，如下表所示：狀態儲油量計算公式油量特少油量較少油量中等油量較多，其中油量特多表3為了簡化，我們在此不考慮油量特少和油量特多的情況l 的計算 圖17球缺截面立體圖 在上圖中，我們在區間取體積元，為底面為弓形，高度為的球缺。體積元體積滿足下面求的表

24、達式：在圖17中，設體積元所在平面的半徑為，、均為所在球的半徑，為題目已知的長度，設為。再根據所建所標系得的長度為。即、 在中，據勾股定理，求得據幾何關系繪出體積元在平面上的截面，如下圖所示：圖18球缺平面截面圖圖中，則進而求得，的面積滿足那么弓形的面積下面確定積分區間：圖19油罐平面截面圖在圖19中，我們是對從到積分。由已知條件得，設其為。然后通過分析可知，的長度相當于問題一中的參量，為了區別，我們設=。再根據所建坐標系得積分區間為。 綜上可得由于用maple對上式積分，結果極其復雜，難以用于下文的參數估計，所以我們引用參考文獻1得到的具體計算公式其中仔細分析(38)式，可知僅僅跟有關，即l

25、 的計算通過實際計算，我們發現此部分的積分公式極其復雜，結果不可取。故采用近似的方法計算。即將此部分的體積近似為一個三角錐的體積（如圖20）。我們只需要求得此三角錐的底面面積和高度，即可求得圖20三角錐近似示意圖先求高度：在圖19中，根據各幾何關系，以點位圓心，為半徑的圓方程如下：易得點坐標為，即液面直線的截距為，故液面直線方程為：兩式聯立可求得的坐標，其大小即為其中那么下面求底面面積在這種近似計算法中，我們把底面弓形近似成下圖所示的三角形，為弧的中點。圖21 三角錐底面俯視圖根據計算過程中(31)式，得到由于點在此截面上，截面平行于軸，則。代入上式得 同理參照(34)式得到， 則底面面積為下

26、面求其中，l 的計算圖19中標出了的長度，此可代入問題一中的模型進行運算，將看作5.1.2中的。則l 的計算 由圖16分析得出，的計算公式應與一致，只是代入參數不同。即l 的計算 的計算方法與基本相同，計算過程在此不再敖述。最終求得其中。2)問題二模型根據上文所算出的，參考表3的計算公式即可求得各個狀態的最終計算公式3)、與的關系 根據問題一中(18)、(19)式，易得4)與的關系 圖22油罐縱截面圖 通過實際計算，我們發現液面高于或低于圓心最后得到的一樣，解法也類似。故以上圖為例計算。 圖22中油面的偏轉相當于液面中點繞圓心做圓周運動，設此圓的半徑為。根據相關幾何關系，易得5)的一般關系 將

27、(55)代入(53)、(54)中可以得到、。再將其帶入，即可求得的一般關系。5.2.2參數估計1)參數估計優化模型為了確定參數，我們可以利用第次的顯示油高，根據5.2.1所確定的的關系，求得其理論的油量容積。再用第+1次的與作差，即可求得理論的第+1次的出油量再用它與實驗的出油值相減，即可求得每次出油量的絕對誤差。根據最小二乘法理論，將每段的絕對誤差平方后相加后得總誤差 其中。因為我們將附件2中的603組數據分為兩半，利用前302組數據進行參數估計，后301組數據用來檢驗此算法的可靠性。然后對(58)式，求最小值。能使最小的參數即為所求。2)模型的求解-定步長搜索 在此模型中，可以為負角度。圖

28、23算法流程圖第一次搜索：取步長，在matlab中對進行搜索，求得使(58)式最小的參數為。再令第二次搜索：取步長，即左右各波動。照搬第一次搜索的方法，求得使(58)式最小的參數為，再令第三次搜索：依此類推，可得任意精度的參數 最終，我得到的參數5.2.3罐容表的標定圖24變位后罐容表曲線046.4316033056.9310355.217035867.09201064.4418038658.03302219.1919041414.29403696.9420044120.12505425.4321046759.31607363.0122049314.98709478.5923051769.318011746.6524054103.29014145.0425056295.710016653.8526058323.111019254.6727060157.391202