1、初二數學初二數學一次函數一次函數華東師大版華東師大版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教學內容： 一次函數主要內容（1）一次函數的概念、圖像和性質。（2）用待定系數法確定一次函數解析式。（3）解決與一次函數相關的代數綜合題（4）解決與一次函數相關的幾何綜合題二. 重點、難點： 1. 教學重點：一次函數的概念、圖像和性質；用待定系數法求一次函數解析式。2. 教學難點：一次函數的性質。【典型例題典型例題】一、知識梳理 1. 一次函數的概念： 一次函數是最基本的一種函數，對它的學習使我們初步了解研究函數的基本方法，同時為后面學習反比例函數奠定基礎函數（，為常數，）叫做的一次函數。學習這個定義應明

2、確下面幾點：（1）作為一次函數自變量的最高次數是 1，且其系數，這兩個條件缺一不可。（2）函數（）中可以為任意常數，當時，一次函數就成（為常數，且） ，這時叫做的正比例函數，也可以說與成正比例，常數叫做因變量與自變量的比例系數因此正比例函數是一次函數的特例，但一次函數不一定是正比例函數。要證明 y 是 x 的一次函數，就需要證明：（1）它的解析式可寫成 ykxb 的形式，而且 k、b 一定是常數，且 k0，這兩個內容缺一不可。 （2）對正比例函數定義的理解還須加上 b0 的條件。 （3）一次函數與正比例函數的關系如下： 一次函數 ykxb（k0） ，當 b0 時，ykx 是正比例函數 當 b0

3、 時，ykxb 不是正比例函數因此，如果 y 是 x 的正比例函數，則 y 一定是 x 的一次函數，反之則不一定成立2. 一次函數的圖像： 一次函數 ykxb（k0）的圖像是一條與坐標軸斜交的直線。因此，只需求出直線 ykxb 上的兩點，就可得到它。一般，作正比例函數 ykx 的圖像常取點（0，0）和（1，k） ；作一次函數的圖像常取（）和（）兩點，這兩點是直線與坐標軸的交點。)0( bbkxyb, 00 ,kb 3. 一次函數的性質：（1）參數 k、b 的意義和對一次函數 ykxb 的圖像與性質的影響。當時，y 隨 x 的增大而增大，這時函數的圖像從左到右上升；當時，y 隨 x 的增大而減小

4、，這時函數的圖像從左到右下降；因此，k 的符號與直線的方向、函數的增減性是相互決定的。（2）b 是一次函數 ykxb 中，當 x0 時所對應的函數值，因此直線 ykxb 與y 軸交于點（0，b） ，b 是直線 ykxb 與 y 軸上的交點的縱坐標，所以，b 的符號和直線與 y 軸交點位置是相互對應的（3）k、b 的符號對直線位置的影響：圖像過一、二、三象限圖像過一、三、四象限圖像過一、二、四象限圖像過二、三、四象限討論 k、b 符號與直線 ykxb 在坐標系中的位置要注意用 k、b 的意義去解決，不必死記對應的結論。4. 解析式的確定：確定一次函數解析式的常用方法是待定系數法，它的一般步驟如下

5、：（1）寫出函數解析式的一般形式：（） ，其中 k，b 是待定系數。（2）把自變量與函數的對應值代入函數解析式中，得到關于待定系數 k，b 的方程或方程組。（3）解方程或方程組求出待定系數 k，b 的值，從而寫出一次函數的解析式。（4）已知兩直線：和，且，則)0(111kbxky)0(222kbxky21bb 2121/llkk5. 一次函數 ykxb（k0）和二元一次方程 AxByC 之間在 A0 且 B0 的條件下是可以互相轉化的。即： （）0CByAx0, 0BA)0, 0(BABCxBAy由此可知，在直角坐標系中，一次函數的圖像所對應的是直線，同時也對應于一個二元一次方程。因此兩直線和

6、的交點坐標也就是)0(111kbxky)0(222kbxky相應的二元一次方程組的解。2211bxkybxky【典型例題典型例題】例 1. 下列函數關系式中，哪些 y 是 x 的一次函數？哪些是正比例函數？（1） （2） （3）yx12xy23xy32（4） （5） （6）32xyxy32023yx解解：（2） （4） （5） （6）是一次函數， （2） （6）是正比例函數 例 2. 若函數是一次函數，求的值，并寫出解析式。213mymxm解：解：由題意得，則，12m1m 因為，所以01m1m 則 1m例 3. 直線經過第一、二、四象限，求 m 的取值范圍。分析：分析：直線過第一、二、四象限，

7、則。解：解：由直線經過第一、二、四象限，可得 解得例 4. 根據下列條件寫出相應的解析式：（1）直線經過點5 kxy) 1, 2( （2）一次函數中，當時，當時，。1x3y1x7y 解：解：（1）由于直線經過點5 kxy) 1, 2( 5)2(1k則 3k得 53 xy故 （2）可設一次函數為 由于bkxy時，時，1x3y1x7y 2573kbbkbk得得 52 xy例 5. 已知一次函數圖像過點（2，3）和點（3，2） ，求函數解析式，畫出函數圖像并求：（1）圖像與 x 軸、y 軸的交點坐標（2）圖像與兩坐標軸圍成的三角形面積解：解：設所求函數解析式為 因為圖像過點（ , 3）和點（3 ,

8、） 則解得 所求函數解析式為圖像如圖：（1）時，解得時，所以圖像與 x 軸交點為 A（1，0） ；圖像與 y 軸交點為 B（0，1）（2）如圖：例 6. 已知一次函數，試討論其圖像經過哪些象限？)2(mmxy分析：分析：由的正負性，分情況畫出草圖，進而判斷直線所經過的象限2,mm解：解：（1）當時，可得，由圖（1）知函數圖像經過第一、二、四象限（1）（2）當時，可得，由圖（2）知，函數圖像經過第一、二、三象限（2）（3）當時，函數為，由圖（3）知，函數圖像經過一、三象限（3）（4）當時，可得，由圖（4）知，函數圖像經過第一、三、四象限（4） 例 7. 已知一次函數滿足下列條件，分別求出字母的取

9、值范nxmy4)32(nm,圍 （1）使得 y 隨 x 的減小而增大； （2）使得函數圖像與 y 軸交點在 x 軸下方； （3）使函數經過第二、三、四象限 解：解：（1）y 隨 x 的減小而增大 230m m32 當時， 隨 的減小而增大myx32 （2）函數圖像與 y 軸的交點在 x 軸下方 40230432nmnm， nm432，當，時，函數圖像與 y 軸交點在 x 軸下方23m4n （3）函數圖像經過二、三、四象限 23040324mnmn， 當，時，函數圖像經過二、三、四象限23m4nO y x 例 8. 如圖，L1反映了某公司產品的銷售收入與銷售量的關系，L2反映了該公司的銷售成本與

10、銷售量的關系 觀察圖像，回答下列問題 （1）當銷售量分別為 2 噸和 6 噸時，銷售收入與銷售成本分別為多少元？ （2）當銷售量為多少噸時，銷售收入等于銷售成本？ （3）當銷售量為多少噸時，該公司贏利（收入大于成本）？當銷售量為多少噸時，該公司虧損（收入小于成本）？ （4）寫出 L1和 L2對應的函數表達式y/（元） L1 6000 5000 L2 4000 3000 2000 1000 1 2 3 4 5 6 x（噸） 解：解：（1）銷售量為 2 噸時收入 2000 元，成本 3000 元 （2）當銷售量為 4 噸時，收入成本 （3）當 x4 噸時，收入大于成本，當 xy2B. y1 y2C

11、. y1 y2D. 不能比較三、解答題 1、已知一次函數的圖像經過點和，求和的值；在直角bkxy)0 , 1 ()2, 0( kb坐標系內畫出的圖像；kbxy2、已知 y2 與 x 成正比例，且當 x1 時，y6（1）求 y 與 x 之間的函數關系式（2）若點（a，2）在這個函數圖像上，求 a3、已知函數 y（2m1）xm3（1）若函數圖像經過原點，求 m 的值（2）若這個函數是一次函數，且 y 隨著 x 的增大而減小，求 m 的取值范圍。4、函數的圖像上存在點 P，使得點 P 到 x 軸的距離等于 3，求點 P 的坐標；23 xy5、已知一次函數 ykxb 的圖像經過點（1，5） ，且與正比例函數 yx 的圖像21相交于點（2，a） ，求（1）a 的值；（2）k、b 的值；（3）這兩個函數圖像與 x 軸所圍成的三角形面積。6、已知一次函數，求：)3() 12(nxmy（1）當為何值時，的值隨的增加而增加；myx（2）當為何值時，此一次函數也是正比例函數；n（3）若求函數圖像與軸和軸的交點坐標；, 2, 1nmxy（4）若，寫出函數關系式，畫出圖像，根據圖像求取什么值時，2, 1n