1、2015年石景山區高三統一測試數 學（理）本試卷共6頁，150分考試時長120分鐘請務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結束后上交答題卡第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1若集合，且，則集合可能是（ ） a b c d 是開始輸出結束否2在極坐標系中，圓被直線 截得的弦長為（ ）a b c d3執行如右圖的程序框圖，若輸出的，則輸入的值可以為 （ ）a b c d4已知，“函數有零點”是“函數在上為減函數”的（ ）a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件5二項式的展開式中，常

2、數項的值是（ ） a b c d6等差數列中，則該數列前項之和為（ ）a b c d7在如圖所示的空間直角坐標系中，一個四面體的頂點坐標分別是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），給出編號、的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ）xy11oz2122 a和 b和 c和 d和 8如果雙曲線的離心率，則稱此雙曲線為黃金雙曲線有以下幾個命題：雙曲線是黃金雙曲線； 雙曲線是黃金雙曲線；在雙曲線中， f1為左焦點， a2為右頂點， b1（0，b），若f1 b1 a2,則該雙曲線是黃金雙曲線；在雙曲線中，過焦點f2作實軸的垂線交雙曲線于m、n兩點，o為坐標原點，若mon，

3、則該雙曲線是黃金雙曲線其中正確命題的序號為（ ）a和 b和 c和 d和第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分 acdpob9，為復數的共軛復數，則_10如圖，ab是半徑等于3的圓o的直徑，cd是圓o的弦，ba、dc 的延長線交于點p，若pa 4，pc 5，則cbd _11設不等式組 表示的平面區域為d，在區域d內隨機取一點m，則點m落在圓內的概率為_12如圖，在的方格紙中，若起點和終點均在格點的向量滿足，則 13若甲乙兩人從門課程中各選修門，則甲乙所選的課程中恰有門相同的選法有 種（用數字作答） 14已知集合，若對于任意，都存在，使得成立，則稱集合m是“垂直對

4、點集”給出下列四個集合：； ； 其中是“垂直對點集”的序號是 三、解答題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題滿分13分）xypqo在平面直角坐標系中，設銳角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，將射線繞坐標原點按逆時針方向旋轉后與單位圓交于點. 記.()求函數的值域；()設的角所對的邊分別為，若，且，求.16（本小題滿分13分）空氣質量等級優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染aqi值范圍0,50)50，100）100,150)150,200)200,300)300及以上國家環境標準制定的空氣質量指數（簡稱aqi）與空氣質量等級對應關系如下表：下表是由天氣

5、網獲得的全國東西部各6個城市2015年3月某時刻實時監測到的數據： 西部城市aqi數值東部城市aqi數值西安108北京104西寧92金門42克拉瑪依37上海x鄂爾多斯56蘇州114巴彥淖爾61天津105庫爾勒456石家莊93aqi平均值：135aqi平均值：90() 求x的值，并根據上表中的統計數據，判斷東、西部城市aqi數值的方差的大小關系（只需寫出結果）；()環保部門從空氣質量“優”和“輕度污染”的兩類城市隨機選取個城市組織專家進行調研，記選到空氣質量“輕度污染”的城市個數為，求的分布列和數學期望17（本小題滿分14分）acdefb如圖，多面體abcdef中，平面adef平面abcd，正方

6、形adef的邊長為2，直角梯形abcd中，abcd，addc，ab2，cd4 ()求證：bc平面bde；()試在平面cde上確定點p，使點p到直線dc、de的距離相等，且ap與平面bef所成的角等于3018（本小題滿分13分）已知函數()若，求函數的極值；()設函數，求函數的單調區間；()若存在，使得成立，求的取值范圍19（本小題滿分14分）已知橢圓c:離心率，短軸長為()求橢圓的標準方程；() 如圖，橢圓左頂點為a，過原點o的直線（與坐標軸不重合）與橢圓c交于p，q兩點，直線pa，qa分別與y軸交于m，n兩點試問以mn為直徑的圓是否經過定點（與直線pq的斜率無關）？請證明你的結論 20（本小

7、題滿分13分）設數列滿足：；所有項；設集合，將集合中的元素的最大值記為，即是數列中滿足不等式的所有項的項數的最大值我們稱數列為數的伴隨數列例如，數列1，3，5的伴隨數列為1，1，2，2，3()若數列的伴隨數列為1，1，1，2，2，2，3，請寫出數列；()設，求數列的伴隨數列的前30項之和；()若數列的前項和（其中常數），求數列的伴隨數列的前項和 2015年石景山區高三統一測試數 學（理）參考答案一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分題號12345678答案a ccb acdb二、填空題共6小題，每小題5分，共30分題號91011121314答案180三、解答題共6小題，共80分15（本小題共

8、13分）（）由題意，得， 3分所以， 5分因為，所以，故. 7分（）因為，所以， 9分在中，由余弦定理得，即，解得. 13分16（本小題共13分）（）x82 2分d東部d西部 4分（）“優”類城市有2個，“輕度污染”類城市有4個根據題意的所有可能取值為： 5分,， 11分的分布列為：所以 13分17（本小題共14分）（）證明：因為平面abef平面abcd，edab所以ed平面abcd 1分又因為bc平面abcd，所以edbc 2分在直角梯形abcd中,由已知可得bc2=8，bd2=8，cd2=16，所以，cd 2=bc2+bd2 ，所以，bdbc 4分又因為edbd=d，所以bc平面bde 5

9、分（）如圖建立空間直角坐標系dxyz 6分acdefbxzy則 7分設，則令是平面bef的一個法向量，則所以，令，得所以 9分因為ap與平面bef所成的角等于，所以ap與所成的角為或所以 11分所以又因為，所以或 12分當時，（*）式無解當時，解得： 13分所以，或. 14分18.（本小題共13分）（）的定義域為 1分當時， 2分由，解得.當時，單調遞減；當時，單調遞增；所以當時，函數取得極小值，極小值為； .4分（），其定義域為又 .6分由可得，在上，在上，所以的遞減區間為；遞增區間為 .7分（iii）若在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得即在上的最小值小于零 8分當，即時，由（ii）可知在上單調遞減故在上的最小值為，由，可得 9分因為所以； 10分當，即時，由（ii）可知在上單調遞減，在上單調遞增在上最小值為 11分因為，所以，即不滿足題意，舍去 12分綜上所述: 13分19（本小題共14分）（）由短軸長為，得， 1分由，得橢圓的標準方程為 4分（）以為直徑的圓過定點 5分證明如下：設，則，且，即，直線方程為：， 6分直線方程為：， 7分以為直徑的圓為 10分【或通過求得圓心，得到圓的方