1、貴州民族學院畢業(yè)論文題 目 數(shù)學建模思想在數(shù)學變式教學中 的應用 系 別 數(shù)學與計算機科學系 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 姓 名 甘小飛 指導教師 結稿日期 2015年9月8日第13頁共14頁數(shù)學建模思想在數(shù)學變式教學中的應用甘小飛貴州民族學院數(shù)學與計算機科學系摘要：本文將探討如何將數(shù)學建模思想融入數(shù)學變式教學，并提出將數(shù)學建模思想融入數(shù)學變式教學中是數(shù)學教學行之有效的方法之一。文中通過引入典型簡化的數(shù)學模型，力求達到反饋知識本質，高度概括問題的基本規(guī)律，提高學生的學習興趣與學習效率。關鍵詞：數(shù)學建模；變式教學abstract: in this thesis, i will study how t

2、o make mathematical modeling thought merge into variable teaching of mathematics, then i will put forward that it is one of the effective methods in mathematical teaching. this article will study the typical simplified mathematical modeling, trying to get the feedback of the essence of knowledge and

3、 over generalize the basic disciplines of problems. in this way, it may improve students study interests and learning efficiency. keywords: mathematical modeling; variable teaching 數(shù)學建模是數(shù)學學習的一種新方式，它以現(xiàn)實生活的真實問題為背景，將數(shù)學與現(xiàn)實、其他學科聯(lián)系起來，為學生提供了更加豐富的學習空間。它能使學生運用所學，自主地、創(chuàng)造性地用自己的方式解決問題，體驗到數(shù)學學習的價值。更重要的是，數(shù)學建模能培養(yǎng)學生“

4、主動”用數(shù)學解決實際問題的意識。傳統(tǒng)的數(shù)學教學單純的重復訓練，消磨了學生的思想、智慧、個性和獨立的創(chuàng)新能力。變式教學中引入數(shù)學建模思想可以使學生結合多變問題情境，提高學生的認知能力和概括同類問題的能力，讓學生在變化中總結規(guī)律，提高學習效率。1 如何將數(shù)學建模思想融入數(shù)學變式教學中首先， 數(shù)學教師要更新教學觀念，提高自己的數(shù)學建模意識和改革教學方法。將數(shù)學建模思想融入變式教學，不是用“數(shù)學模型”或“數(shù)學實驗”課的內容搶占變式教學陣地，關鍵是滲透數(shù)學建模思想。這不僅僅意味著我們在教學內容和要求上的變化，更意味著教學思想和教學觀念的更新。數(shù)學教師除需要了解數(shù)學科學的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要不斷

5、地學習一些新的數(shù)學建模理論知識來提高自身的建模素養(yǎng)。其次，在變式教學過程中，要循序漸進的給學生灌輸“構造”思想，培養(yǎng)學生的建模意識。“數(shù)學建模”就是構造模型，但模型的構造并不是一件容易的事，因此，在變式教學中，要讓學生學會建模就需要從一些容易的實際問題出發(fā)，讓他們有獲得成功的機會，享受成功的喜悅，增加學生的信心，從而提高學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。教師在變式教學的過程中要重視數(shù)學思想方法和應用數(shù)學的教學，引導、培養(yǎng)學生用數(shù)學建模思想方法解決應用問題的能力。最后，在變式教學中，要萬變不離其宗，無論如何變，模型就是宗，就是宏觀；變中始終保持宏觀模型。要把握數(shù)學建模思想

6、嵌入的時機，學生學習知識的主戰(zhàn)場是課堂，因此，要把數(shù)學建模思想融入到變式教學中，數(shù)學建模思想就應從課堂的教學內容切入，把培養(yǎng)學生的應用意識落實到平時的教學中。從教學內容出發(fā)，聯(lián)系實際，以教材為載體，把課堂問題由“問答”變化為“問題的設計分析問題、構造模型 解決問題應用” 1。2 賞析常見的幾種數(shù)學模型和數(shù)學變式。2.1 一題多解變式、函數(shù)的最值模型所謂一題多解變式：就是對同一數(shù)學問題運用所學知識從不同的角度和方法提出不同的解題構想和方法。例1 甲乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米小時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v的

7、平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元2。( i ) 把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米小時）的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域。（ii） 為了使全部運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？分析：此題主要考察的是二次函數(shù)的最值求解，二次函數(shù)的最值求解一般可以利用函數(shù)的單調性、求導、以及函數(shù)的對稱性進行求解。要求二次函數(shù)的最值，我們得回顧二次函數(shù)的圖像、性質、特別是函數(shù)的周期性和對稱性，熟悉這些，并能解決這個問題。解法一： (i) 依題意，每小時運輸成本為（）元，全程的行駛時間 為（時），所以全程運輸成本為 ,其中，v的取值范圍是（0，c. 即所求的函數(shù)及其定義域為, v（0，c. (ii) 依題意

8、 s 、a、 b、 v都是正數(shù)，故,當且僅當，即時，上式取等號，所以有:若，則當時，全程運輸成本最小；若當時，則有，因此，當時，a,b都是正數(shù)，因此， 當且僅當時，上式取等號，即得當時y取最小值。綜上得：為了使全程運輸成本最小，當 時，汽車應以速度 行駛，當 時，汽車應以行駛。解法二：（i）因為全程的行駛時間為（時），所以每小時的運輸成本 為 ，依題設，因此所求函數(shù)為，定義域為. (ii) 記 ,則當 時， 若 ，即時， 因為 所以，即在上式減函數(shù)，當且僅當時，取最小值，從而也在此時取最小值。若即時，則對任意都有：當且僅當 時，上式取等號。即得為了使(從而y)取最小值，應取為.綜合起來可知：為

9、了使全程運輸成本y最小，汽車的行駛速度應取c和這兩個數(shù)中較小的值2。 設計意圖：此題可以讓學生從不同角度、不同側面去思考和探索問題，加深對知識內涵、外延的理解，以求在變化中拓寬思想、激發(fā)思維，使之從單一化、 固定化模式中轉入多棱化、多角化和多面化模式，從而獲得上升性思維能力。2.2 條件變式、函數(shù)的單調模型所謂條件變式：是指教師引導學生針對某一題目的條件進行合理的變化， 從而得到一組變式題目組，并通過對這一類題目的分析解決，使學生掌握該類題目的題型結構從而達到深入認識題的本質，提高解決題目的能力。 例2 若函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，求實數(shù)a的取值范圍3。 例3 如函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，求實數(shù)a的取

10、值范圍3。分析：“單調遞減區(qū)間為”與“在區(qū)間上單調遞減”是兩個截然不同的問題情境。因此在做此類題目時，要讓學生辨析這兩種不同敘述的含義，在短時間內能夠很快的完成問題的求解。解 (1) 令，即 , 當時，解得 ,函數(shù) 的減區(qū)間為, 又函數(shù) 的單調減區(qū)間為, 則 , 所以;當時，函數(shù)，恒成立. 當時，函數(shù)不存在單調減區(qū)間； 當時，函數(shù)恒成立，時，函數(shù)不存在單調減區(qū)間. 綜上所述，若函數(shù)單調區(qū)間為，則。 解 (2)函數(shù)在區(qū)間上單調遞減在區(qū)間上恒成立 在區(qū)間上恒成立 在區(qū)間上恒成立 在區(qū)間上的最大值小于等于，即, .設計意圖：此題旨在鍛煉學生的審題能力和對數(shù)學語言精確性和嚴密性的考察。“函數(shù)在某區(qū)間內

11、單調”和“函數(shù)的單調區(qū)間是某區(qū)間“，前者說明所給區(qū)間是函數(shù)單調區(qū)間的子集，后者說明所給區(qū)間恰好是函數(shù)的單調區(qū)間。因此在解題過程中一定要養(yǎng)成認真審題的好習慣。2.3 結論變式、數(shù)列模型所謂結論變式：是指保留題意中的條件，提出探索性結論，目的在于發(fā)展學生的創(chuàng)造思維，加深對知識的理解和靈活運用。 例4 已知數(shù)列是等差數(shù)列， 設數(shù)列的通項為 ，（其中且）， 記 是數(shù)列的前n項和，試比較 與 的大小4。 分析： 此題主要考察學生對等差數(shù)列的定義、通項、性質、求和方面等知識以及對數(shù)函數(shù)的性質的掌握程度，要比較 與 的大小，就得知道關于n的函數(shù)，因此，首要任務就是求出通項公式和前n項和。 解 數(shù)列是等差數(shù)列

12、，設數(shù)列的公差為d， 又 ， ； 要比較與的大小，可先比較 與大小, 取時，有 成立； 取時，有 成立； 猜測 用數(shù)學歸納法證明如下：（1） 當時，已證式成立；（2） 假設當時，式成立； 即 成立； 當 時， = 所以， 從而 也成立。 綜合（1）（2）得，對任意正整數(shù)n，式都成立。 所以，根據(jù)對數(shù)的單調性，可知： 當時， ； 當時，。2.4 推廣變式、圓錐曲線模型所謂推廣變式：是指某一數(shù)學問題的條件和結論變換成更一般的形式， 讓學生把研究對象擴展到更大的范圍進行考察，以達到開闊學生視野、培養(yǎng)學生形成良好的思維品質和創(chuàng)造能力的目的。例5 abc兩個頂點a、b的坐標分別是（-6,0）和（6,0）

13、,邊ac、bc所在的直線的斜率之積為m，求頂點c的軌跡方程，并說明曲線的形狀4。例6 設a（-a,0）,b(a,0) (a0)時曲線c上的兩定點，點p式曲線上除了a、b以外的一個動點，直線ap、bp的斜率分別為，且,求曲線c的方程4。 分析：這是“兩定點之積為定值的軌跡方程”的一道變式題組，已知了兩個點的坐標，并且知道另外一個點分別與這兩個點連線的斜率的乘積為一定值m，因此可以根據(jù)題意得到一個等式，然后化簡。這是從具體數(shù)字到抽象的一般參數(shù)，是思維的一次飛躍。解 （1） 設定點c的坐標為，由題意知， 即， 整理得 ， a、b、c三點構成三角形， . 當時，方程時焦點在x軸的雙曲線，除去a、b兩點

14、； 當時，方程是以ab為長軸，離心率為的橢圓，除去a、b兩點； 當時，方程是以ab為直徑的圓，除去a、b兩點； 當時，方程是以ab為短軸，離心率為的橢圓，除去a、b兩點。解（2）設p點的坐標為，由題意得：， 即 ，整理得 因為a、b、c構成三角形，所以， 當時，方程是以ab為實軸，離心率為的雙曲線，除去a，b兩點； 當時，方程是以ab為長軸，離心率為的橢圓，除去a、b兩點； 當時，方程是以ab為直徑的圓除去a、b兩點； 當時，方程是以ab為短半軸，離心率為的橢圓，除去a、b兩點。設計意圖：從特殊到一般，改變背景將其推廣，讓學生真正感受到“源于課本，又高于課本”的深刻含義，能夠激發(fā)學生的興趣和求

15、知欲，這樣將知識、能力、和思想方法在更多的新情境、更高的層次中，不斷地反復地滲透，達到了螺旋式的再認識，再深化，乃至升華的效果。3 數(shù)學建模思想融入變式教學中的意義3.1 數(shù)學建模思想融入變式教學是全面提高學生數(shù)學素質的需要。數(shù)學素養(yǎng)是指在正確的數(shù)學思想的指導下，具有完整的數(shù)學知識，并能用數(shù)學基礎知識、方法，正確提出問題、分析問題。數(shù)學建模和變式教學能夠讓學生在數(shù)學課堂中學到扎實的基礎知識、科學有效的學習方法，主要表現(xiàn)為：（1）注重知識的產生和發(fā)展過程，引起學生獨立思考基礎概念、定理和公式的數(shù)學學習的本源問題，避免題海戰(zhàn)術而導致便于應付。（2）注重強調解題步驟的本質理解，教給學生一種動態(tài)生成的

16、數(shù)學知識，發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維過程，避免學生用套接的模式解題而導致思維呆板僵化。（3）適時把握數(shù)學建模和變式時機，把握模型的類別和變式方式的尺度，利于學生深入數(shù)學學習，培養(yǎng)學生良好的學習素養(yǎng)和學習習慣，利于學生創(chuàng)新精神和實踐能力的提高。3.2 數(shù)學建模思想融入變式教學是實現(xiàn)數(shù)學價值和數(shù)學教師專業(yè)化發(fā)展的需要。作為一名數(shù)學教師，走專業(yè)化發(fā)展之路應具備三大要素：數(shù)學科學專業(yè)知識、數(shù)學教育理論知識和信息技術知識。在教學過程中，通過典型事例的數(shù)學模型和變式教學，能夠很好的把上述三者結合起來，即通過一題多變更加生動的突出問題的本質，師生深入理解知識本源，同時又能從理論的層面來理解建模和變式的根由，使教師

17、素養(yǎng)及時提升。變化是事物的表面形式，不變才是事物的本質。借助信息平臺創(chuàng)造理想問題的環(huán)境，引導學生在變化中思考問題并解決問題。因此，數(shù)學建模和變式教學成為專業(yè)知識、理論知識和信息技術平臺的中間橋梁，數(shù)學理論是土壤，建模和變式是手段，信息技術是工具，學科內容是載體，學生思維是能力核心。通過這一教學過程，可以使教師專業(yè)素養(yǎng)日趨完善。3.3數(shù)學建模思想融入變式教學是減輕學生過重的學業(yè)負擔和針砭時弊教學課堂的需要。長期以來，由于飽受應試教育影響，中考試題的累積和推銷在無形中助長了題海戰(zhàn)術的發(fā)展，師生多以大量講題做題來應對，大有做遍天下習題之勢。數(shù)學教學單純的重復訓練，消磨了學生的思想、智慧、個性、合作精

18、神和獨立的創(chuàng)新精神。數(shù)學建模和變式教學可以使學生結合多變的問題情境，通過典型模型反饋知識的本質，高度概括問題的基本規(guī)律，促進學生認知能力的逐步形成，提高學生概括同類問題一的能力，讓學生在變化中學習知識，在變化中總結規(guī)律，切實提高課堂教學效率。3.4 數(shù)學建模思想融入變式教學是適應新課程改革和教師自我素養(yǎng)提高的需要。數(shù)學建模和變式教學是師生迎接新挑戰(zhàn)，強化思想觀念、提升能力素質、改變傳統(tǒng)工作作風和發(fā)揚科研創(chuàng)新的需要，利于教師完成從知識的傳授者導向學習參與者的參與促進者和引導者的跨域，利于教師從“教書匠”向科研型教師的轉型，利于教師從只是單一化到學問綜合型的轉變，利于教師從教學風格向教學方式現(xiàn)代化的轉化，利于教師從關注面向全體學生向關注全體與個體結合的模式轉承5。總之，利用數(shù)學建模解數(shù)學題對于多角度、多層次、多側面思考問題，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力是很有益的，是提高學生素質，進行素質教育的一條有效途徑。同時數(shù)學建模的應用也是科學實踐，有利于實踐能力的培養(yǎng)，是實施素質教育所必須的，需要引起教育工作者的足夠重視。 參考文獻： 1 查有梁.中學數(shù)學建模m 南寧：廣西教育出版社,20032 韓相河.走進名師課堂m 濟南：山東人民教育出版社,2008