1、 函數思想在高中數學中的運用 摘要：本文著重從兩大方面論述了在數學解題中如何恰當的運用函數思想：借助有關初等函數的性質，解決有關求值、解(證)不等式、解方程、最大值和最小值、有關方程根存在性以及討論參數的取值范圍等問題；在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的.關鍵詞：函數、求值、不等式、方程、最大值和最小值、存在性、取值范圍我們在教學的過程中會感覺到，學生會在不知不覺之中就能夠解答許多數學問題，也許他們叫不上所用的方法的名字，有時也不需要知道它的名字，很多復雜的數學問題，在他們那很快屢出頭緒，得以解決他們的數學能力

2、增強了，這就是數學方法的魅力也是我們在教學過程中要教給學生的最重要的內容函數是中學數學的一個重要概念，函數知識貫穿中學數學的始終，它一直是高考的熱點、重點內容函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題這種思想方法在于揭示問題的數量關系的本質特征，重在對問題的變量的動態研究，從變量的運動變化，聯系和發展角度拓寬解題思路一般地，函數思想就是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：函數的單調性、奇偶性、周期性、連續性、最大值和最小值、圖象變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造

3、出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型 就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解決有關求值、解(證)不等式、解方程、最大值和最小值、有關方程根存在性以及討論參數的取值范圍等問題讓我們來看下面的例題：例1設，為實數，滿足=，則 解：令，則為奇函數且在上為增函數，由=，則，故例2設函數，求使的的取值范圍解：由于是增函數，等價于 （1）當時，=2，式恒成立（2）當時，式化為，即（3）當時，式無解綜上，的取值范圍是例3設都是正數，證明對任意的正整數，下面

4、的不等式成立：證明：下面的不等式對任意的都成立：，即構造二次函數，得 注：本題是柯西不等式的一個特例，還有其他的證法，但惟有輔助函數法是最簡捷、最透徹的證法例4討論的最值分析本題不能利用基本不等式作出解答“”，因為等號只能在時才能取到，而這是不可能的，可構造函數試解本題解：顯然，設下面證明當時，是減函數當，即是上的減函數是函數在上的最小值，又，即例5已知、為不全為0的實數，求證：方程在內至少有一個實根證明：若，則，此時方程的根為，滿足題意當時，令（1）若，則，所以在內有一實根（2）若，則，所以在內有一實根例6若拋物線與連接兩點、的線段（包括、兩點）有兩個相異的交點，求的取值范圍解：易知過點、的

5、直線方程為，而拋物線與線段有兩個交點就是方程，在區間上有兩個不等實根令，則解不等式組，得的范圍是 從以上的幾個例子，我們看到，在解題時要從各種復雜的函數中劃分出基本函數類，這些基本函數是最常見的、最有用的、最基本的函數，研究和總結基本函數的圖象、性質及其解題的模式（方法），然后把實際問題或其他復雜函數化歸為基本函數來解決，這就是基本函數模型方法二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的.讓我們來看下面的例題例7求使不等式對于的一切實數都成立的的取值范圍我們習慣上把當作自變量，構造函數，于是問題轉化為：當時，恒成立，

6、求的取值范圍.解決這個等價的問題需要應用二次函數以及二次方程的區間根原理，可想而知，這是相當復雜的.如果把看作自變量，視為參數，構造函數，則是的一次函數，就非常簡單.即令.函數的圖象是一條線段，要使恒成立，當且僅當且，解這個不等式組即可求得的取值范圍是.本題看上去是一個不等式問題，但是經過等價轉化，我們把它化歸為一個非常簡單的一次函數，并借助于函數的圖象建立了一個關于x的不等式組來達到求解的目的.解：構造函數，在上恒成立所求的取值范圍是本題看上去是一個不等式問題，但是經過等價轉化，我們把它化歸為一個非常簡單的一次函數，并借助于函數的圖象建立了一個關于的不等式組來達到求解的目的.這是利用變量相對

7、的觀點來構造輔助函數的，從中可以看到數學的自由思考的特點在函數的學習和復習中，要做到熟練掌握基礎知識，充分理解各知識點間的內在聯系，如數列中的、都可以看作是的函數而應用函數思想以獲得新的解法看下面的例題：例8等差數列的前項和為，已知，（1）為何值時最大？為什么？（2）求證：解法一（1）設數列的公差為，由且，可知，于是是的二次函數，可設，其中是拋物線的頂點的橫坐標由且，得 當時，解得且，這是不可能的，即知拋物線的開口向下；且解，得，而，根據二次函數的最值性，得最大（2），即，根據二次函數的圖象，得解法二（1）根據一次函數的單調性，得：當，；當時，最大（2），注：本例是利用一次函數、二次函數的性質解決數列問題所給兩個解法，說明此類等差數列問題既可用二次函數求解，也可用一次函數求解哪個方法簡捷，要由問題的條件來分析建立函數思想是中學數學教學的重要課題，因為函數思