1、基于巴特沃斯法數字iir帶阻濾波器的設計 1、 數字帶阻iir濾波器設計iir數字濾波器在很多領域中有著廣闊的應用。與fir數字濾波器相比,它可以用較低的階數獲得高選擇性,所用存儲單元少,經濟而效率高,在相同門級規模和相同時鐘速度下可以提供更好的帶外衰減特性。下面介紹一種設計實現iir數字濾波器的方法。設計步驟如下：步驟1：將數字濾波器h(z)的技術指標p和s，通過tan(/2)轉變為模擬濾波器g(s)的技術指標p和s，作歸一化處理后，得到p1，ss/p；步驟2：化解為模擬原型濾波器g(s)的技術指標；步驟3：設計模擬原型濾波器g(p)；步驟4：將g(p)轉換為模擬濾波器的轉移函數g(s)；步

2、驟5：將g(s)轉換成數字濾波器的轉移函數h(z)，s=(z1)(z+1)。所謂原型濾波器是指歸一化的低通濾波器。本節主要討論通過iir數字濾波器的原型轉換設計法和iir數字濾波器的直接設計方法來設計數字高通、帶通及帶阻濾波器其轉換方法主要有3種：一是直接由模擬低通濾波器轉換成數字高通、帶通或帶阻濾波器；二是先由模擬低通濾波器轉換成模擬高通、帶通或帶阻濾波器，然后再把它轉換成相應的數字濾波器；三是將模擬低通濾波器先轉換成數字低通濾波器，再通過變量代換變換成高通、帶通或帶阻濾波器。數字iir濾波器的設計結構如圖：模擬低通原型頻率變換模擬離散化iir數字濾波器圖1、iir濾波器的設計步驟2、帶阻濾

3、波器的設計規范： 本設計中分別用h(t)、h(s)、ha(j)表示模擬濾波器的單位脈沖相應、系統函數、頻率響應函數，三者的關系如下：ha(s) = ltha(t) =edtha(j)=ftha(t) =edt可以用h(t)、h(s)、ha(j)中任一個描述模擬濾波器，也可以用線性常系數微分方程描述模擬濾波器。但是設計模擬濾波器時，設計指標一般由幅頻相應函數|ha(j)|給出，而模擬濾波器設計就是根據設計指標，求系統函數h(s)。工程實際中通常用所謂的損耗函數即衰減函數a（）來描述濾波器的幅頻響應特性，對歸一化幅頻響應函數，a（）定義如下：a（）=-20lg|ha(j)|=-10lg|ha(j)

4、| db模擬帶阻濾波器的設計指標參數有、。和分別表示帶阻濾波器的通帶下邊界頻率和通帶上邊界頻率；和分別表示帶阻濾波器的阻帶下邊界頻率和阻帶上邊界頻率。1和2分別稱為通帶和阻帶波紋幅度 圖2、帶阻濾波器帶阻濾波器的技術指標要求必須是幾何對稱的。如果帶阻濾波器不是幾何對稱的，為了使對稱的帶阻濾波器滿足最小阻帶衰減要求，在由非對稱的帶阻濾波器變換為對稱的帶阻濾波器時，保留非對稱帶阻濾波器的阻帶截止頻率調整兩個通帶截止頻率中的一個，調整過程步驟如下：1、 計算=2、 計算=，如果,用代替；3、 如果，計算=，并用代替；4、 如果a a，選擇a=min a, a。所有類型的變換，包括各自與低通原型的頻率

5、變換如表1所示。用頻率變換法設計一個模擬濾波器的步驟如下：1、確定低通、高通、帶通和帶阻模擬濾波器的技術要求。當要求的帶通或帶阻濾波器是非幾何對稱時，根據上面描述的過程使這些技術要求成幾何對稱的；2、根據表1中的變換關系，確定歸一化低通濾波器的技術要求：通帶截止頻率為，阻帶截止頻率為，阻帶衰減為a(db),阻帶衰減為a (db)；3、根據、a 和a，用巴特沃斯設計歸一化低通濾波器；4、根據表1最右欄的變換關系，得到要求的非歸一化模擬濾波器。 表1 模擬濾波器的頻率變換濾波器類型歸一化低通濾波器h(p)的技術指標要求要求的濾波器h(s), h(s)= h(p)低通h(p)低通h(s)p=低通h(

6、p)高通h(s)p=低通h(p)帶通h(s)p=低通h(p)帶阻h(s)p=下面我們用巴特沃斯濾波法來設計一個數字iir帶阻型濾波器：濾波器規范：通帶下邊界頻率： 50hz 通帶上邊界頻率： 450hz阻帶下邊界頻率： 200hz阻帶上邊界頻率： 300hz通帶最大衰減： 3db阻帶最小衰減： 20db 抽樣頻率： 1khz3、帶阻濾波器的系數計算： 首先確定所要求的帶阻濾波器是否為幾何對稱的：=2*50*2*450=4*2.25*10=2*200*2*300=4*6*10因為，而且設計的是帶阻濾波器，所以需要調整這個帶阻濾波器的通帶上下邊界頻率。因為： =，=，則= 用值代替值，即令=2*1

7、33.3hz。因此，所要求的帶阻濾波器的指標調整為：=2*133.3/1000 rad/s=2*450/1000 rad/s=2*200 /1000rad/s=2*300 /1000rad/sb=2*266.7 /1000rad/s=2*245 /1000rad/sa= a=3 dba= a=20 db根據表1中間欄的變換關系式，將上述給定的帶阻濾波器指標要求轉化為相應的歸一化低通技術要求，有 =1=2.6根據上面的技術要求，可以采用查表法或計算法來設計歸一化的巴特沃斯低通濾波器，這里采用計算法。 由式 確定最小的的濾波器階數，得n=1.9取n=2，計算巴特沃斯濾波器的歸一化極點 p=ee k

8、=0,1 p=e=-0.5000+0.8660j p= e=-1.0000+0.0000j因此，低通濾波器的歸一化傳輸函數h(p)為 h(p)= = 根據表1最右邊欄的變換關系式，把歸一化低通濾波器變成所要求的帶阻濾波器的傳輸函數h(s) h(s) =h(p) =由雙線性變換法求得數字巴特沃斯帶阻濾波器的傳遞函數為： h（z）= h(s)=軟件設計部分fs=1000;ap=3;as=20;wp=50/500,450/500;ws=200/500,300/500;b,a=butter(n,ws,stop)系統指標：傳輸函數系數a：系數b：4、帶阻濾波器的實現結構： 令h（z）=h(z)h(z)：

9、 其中 h(z)= h(z)= 對應的定義濾波器的差分方程如下：濾波器部分1：w(n)=(1/s)x(n)-aw(n-2) y(n)= w(n)s/s+ w(n-2) s/s濾波器部分2：w(n)= y(n)- w(n-2)y(n)= w(n) s+ w(n-2) s系數和的精確值依賴于我們對h（z）的多項式的分子和分母如何組對，以及實現多項式的二階濾波器部分是如何排序的。最好的組對和排序只能通過有限字長分析來確定。實現的結構圖如下：x(n) y(n) -a s/s s z z 圖3、濾波器的實現結構圖5、有效字長效應分析：由給定的性能規范，我們將假設使用的算法是定點的2的補碼算術，每一個系數

10、被舍入量化到16位字長。這里我們主要的是評估不同量化誤差對濾波器性能的影響，以及根據信噪比確定最好的濾波器結構用于實現，所要考慮的誤差源主要是：1、 溢出誤差2、 舍入誤差3、 系數量化誤差但由于dsp本身有限字長和精度的因素，加上iir濾波器在結構上存在反饋回路，是遞歸型的，再者高階濾波器參數的動態范圍很大。這樣一來造成兩個后果：結果溢出和誤差增大，從而導致算法無法在dsp上實現。解決此問題的有效方法是把高階iir數字濾波器簡化成幾個2階濾波器來設計，即采用級聯結構。因此系統函數為：h(z)=h1(z)h2(z)hn(z)(3)上述4階iir數字濾波器采用級聯的結構后變成2個濾波器級聯的形式

11、，每個濾波器的系數表如下所示。量化前濾波器系數為了設計可實現的iir濾波器:需要對上一步分解獲得的二階基本節的濾波器系數進行量化,即用一個固定的字長加以表示。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差,由此會導致濾波器的頻率響應出現偏差,嚴重時會使iir濾波器的極點移到單位圓之外,系統因而失去穩定性。為了獲得最優的濾波器系數量化后濾波器的系數：除了系數存在量化誤差,數字濾波器運算過程中有限字長效應也會造成誤差,因此對濾波器中乘法器、加法器及寄存器的數據寬度要也進行合理的設計,以防止產生極限環現象和溢出振蕩。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差，由此會導致濾波器的頻率響應出現偏差，嚴重時會使iir濾波

12、器的極點移到單位圓之外，系統因而失去穩定性圖4、量化前后系統的零極點圖 由圖4可看出系統零極點都在單位圓內，系統穩定可實現。這兩個可能的濾波器結構的每一個都有不同的比例因子，以及不同的信號舍入誤差。這個步驟的目標是根據信噪比性能方面來確定最好的組對和排序。溢出和舍入誤差是緊密相連的，所以伸縮變換和舍入分析應該同時進行。利用有限字長的分析程序，可以得到對于上面兩個可能的濾波器的比例因子，它們是基于l 、l 和l的范數。在這個例子里，我們利用了l的范數，對于一個以兩個標準部分串聯實現的四階濾波器，在伸縮變換以后，輸出端的舍入噪聲為：=3s| h(z)h(z)|+5s|h(z)|+3其中q是量化步長

13、或舍入，|.|是l范數的平方。h(z)是第一級濾波器的傳遞函數，h(z)是第二級濾波器的傳遞函數，s是第一個濾波器階段的伸縮比例因子，s是第二個濾波器的比例因子。系統的量化誤差的效應：我們檢查那些給出的系數字長是否滿足穩定和頻率響應的規范。當極點不是非常靠近單位圓時，16位的系數字長對保持穩定是足夠的。例如，對于第一個濾波器部分，實驗程序表明2位就足以滿足穩定要求，把系數量化成16位僅改變極點半徑。采用16位系數字長時，濾波器的響應實際上和未量化的濾波器的響應是一樣的。圖5描繪了量化前后的濾波器的頻率響應。圖5、帶阻濾波器量化前后的幅頻響應-為量化前 量化后6、帶阻濾波器的軟件實現：由系統指標

14、規范可編程：n為濾波器的階數；zz和pz為系統的零點和極點；kz為系統的增益：fs=1000;ap=3;as=20;wp=50/500,450/500;ws=200/500,300/500;n,wc=buttord(wp,ws,ap,as);zz,pz,kz=butter(n,ws,stop);b,a=butter(n,ws,stop);subplot(2,1,1)h,f=freqz(b,a,512,fs);plot(f,abs(h)xlabel(頻率/(hz)ylabel(幅度/(db)subplot(2,1,2)zplane(b,a)極點(pz)：增益（kz）：圖6、帶阻濾波器的幅頻響應，

15、零極點圖圖7、量化前后階躍響應圖8、群延時響應圖9、量化前后脈沖響應總結在信號與信息的過濾、檢測和預測等處理中，都要使用濾波器，數字濾波器是數字信號處理中使用最廣泛的一種方法。iir數字濾波器的設計過程中，可以借助模擬濾波器的設計成果或直接采用典型的濾波器類型，減少工作量.。通過這個實驗，對設計帶通數字濾波器的整個過程有了很好的掌握。其中雙線性變換法，巴特沃斯設計模擬濾波器的運用，也比較熟悉了。通過對數字帶通濾波器的設計，熟悉了matlab的運行環境，初步掌握了matlab語言在數字信號處理中一些基本庫函數的調用和編寫基本程序等應用；熟悉了濾波器設計的一般原理，對濾波器有了一個感性的認識；學會了數字高通濾波器設計的一般步驟；加深了對濾波器設計中產生誤差的原因以及雙線性變換法優缺點的理解和認