1、會計學1 大學物理靜電場習題課大學物理靜電場習題課 1. 點電荷的電場的計算 四、電場強度的計算 0 2 0 4 1 r r q E 2. 點電荷系的電場的計算 設真空中有n個點電荷q1,q2,qn，則P點場強 0 2 0 4 1 i i i i i i r r q EE 典型例子：電偶極子 3 0 4 1 r p EB 中垂線上 3 0 2 4 1 r p EA 延長線上 第1頁/共53頁 3. 連續帶電體的電場的計算（積分法） 0 2 0 4 r r dq Ed 0 2 0 4 1 r r dq EdE zzyyxx dEEdEEdEE; kEjEiEE zyx 電荷元 表達式 體電荷dV

2、dq 面電荷 dSdq 線電荷ldqd 思路 第2頁/共53頁 （1）一均勻帶電直線在任一點的電場 )sin(sin 12 0 4 a Ex 特例：無限長均勻帶電直線的場強 a E 0 2 有用的結論： （2）一均勻帶電圓環軸線上任一點 x處的電場 i )ax( xq E 2 3 22 0 4 （3）無限大均勻帶電平面的場強 0 2 E )cos(cos 21 0 4 a E y 第3頁/共53頁 五、高斯定理可能應用的情況： 1、球面對稱： 2 0r 4 q E 2、圓柱面對稱 0 r2 E )0( 2 0 4r q E S i 內內 第4頁/共53頁 3、平面對稱： 0 2 E )0( 第

3、5頁/共53頁 3 0 4 1 r p EB 0 2 0 4 1 r r q E a E 0 2 0 2 E 1 .偶 極 子 2.點電荷 3.線電荷 4.面電荷 3 1 r E 1 1 r E 2 1 r E 0 1 r E 已學過的幾種電場 第6頁/共53頁 場強的計算 疊加法 高斯定理法 梯度法 i E Ed i S qSdE 0 1 UE 第7頁/共53頁 六、電勢 1. 定義: A A A ldE q W U 0 2. 靜電場力作的功與電勢差、電勢能之間的關系： )()( ababba b a ab WWqUUUql dEqW 3. 電勢疊加原理 r q UP 0 4 (1)點電荷的

4、電勢分布: (2)點電荷系的電勢分布: (3)連續帶電體的電勢分布: i i i i r q UU 0 4 VV r dq dUU 0 4 1 第8頁/共53頁 七、求解 和U的方法比較：E 求 E 1、 根據對稱性應用高斯定理 連續分布： gradUE 求U 帶電體帶電體 r q U 0 4 0 0 2 4 r r dq E 帶電體帶電體 先求 再求 U 。E A A ldEU k z U j y U i x U gradU 2、應用矢量疊加原理 不連續分布： 0 2 0 4 1 i i i i r r q E i i i P r q u 0 4 先求 U,再求 。E 3、 應用標量疊加原理

5、 第9頁/共53頁 4.電荷為-510-9 C的試驗電荷放在電場中某點時，受到 2010-9 N的向下的力，則該點的電場強度大小為_，方向_ 3.靜電場中某點的電場強度，其大小和方向與_相同 （靜電場 一） 單位正試驗電荷置于該點時所受到的電場力 4 N / C 向上 第10頁/共53頁 5. 如圖所示，真空中一長為L的均勻帶電細直桿，總 電荷為q，試求在直桿延長線上距桿的一端距離為d的P 點的電場強度 總場強為 ： 2 0 4 d d xdL q E 2 0 4 d xdLL xq L L q E 0 2 0 )( d 4xdL x dL q d 0 4 L d dq x(L+dx) dE

6、x O解：設桿的左端為坐標原點O，x軸沿 直桿方向帶電直桿的電荷線密度為 =q / L，在x處取一電荷元dq = dx = qdx / L，它在P點的場強： 方向沿x軸，即桿的延長線方向 第11頁/共53頁 例3：有一半徑為r 絕緣細環如圖，上半段均 勻帶+q,下半段均勻帶-q, 求：細環中心處的電場強度和電勢。 + + + + + - - - - - O x + + + + + - - - - O x dE+ d y 思路：1、上半段電荷在O點的E+y： 2 0r 4 rd dE cos r4 rd dE 2 0 y dE+dE- 第12頁/共53頁 r4r4 dcosr E 0 2 0 2

7、 0 y + + + + + - - - - O x dE+ d y O點： r2 E2E 0 y 方向：y軸反向。 將 代入 r2 q 4 1 2 0 2 r q E 由對稱性知 Ex=0 第13頁/共53頁 + + + + + - - - - - O x 2、O點處電勢 上半段上半段 r dq U 0 4r q 0 4 根據電勢疊加原理: 下半段下半段 r dq U 0 4r q 0 4 0 UUUO 討論 若電荷非均勻分布，則O點的電勢為多少？ 第14頁/共53頁 1. 有兩個電荷都是q的點電荷，相距為2a今以左邊 的點電荷所在處為球心，以a為半徑作一球形高斯面 在球面上取兩塊相等的小面

8、積S1和S2，其位置如圖所 示 設通過S1和S2的電場強度通量分別為F1和F2，通 過整個球面的電場強度通量為FS，則 (A) F1F2，FSq /0 (B) F1F2，FS2q /0 (C) F1F2，FSq /0 （D) F1F2，FSq /0 （靜電場二） S1S2 O q q 2a x 第15頁/共53頁 2.圖示為一具有球對稱性分布的靜電場的Er關系曲 線請指出該靜電場是由下列哪種帶電體產生的 (A) 半徑為R的均勻帶電球面 (B) 半徑為R的均勻帶電球體 (C) 半徑為R的、電荷體密度為Ar (A為常數)的 非均勻帶電球體 (D) 半徑為R的、電荷體密度為A/r (A為常數)的 非

9、均勻帶電球體 ( O R r E E1 /r 2 第16頁/共53頁 3.圖示兩塊“無限大”均勻帶電平行平板，電荷面密 度分別為和，兩板間是真空在兩板間取一立 方體形的高斯面，設每一面面積都是S，立方體形的 兩個面M、N與平板平行則通過M面的電場強度通量 F1 _，通過N面的電場強度通量F2 _ (S) /0 (S) /0 M N -+ S e SdE 對于閉合曲面， 取外法向為正 n 第17頁/共53頁 4.半徑為R的半球面置于場強為的均勻電場中，其對稱軸與場強方向一致，如圖所示則通過該半球面的電場強度通量為_ R E R2E ER 2 ER 2 作業中出現的答案： 第18頁/共53頁 例5

10、. 一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度分布 為 =Ar (rR) ， =0 (rR) ，A為一常量 試求：球體內外的場強分布 解：在球內取半徑為r (rR) 、厚為dr的 薄球殼，該殼內所包含的電荷為 rrArVqd4dd 2 在半徑為 r 的球面內包含電荷為 4 0 2 d4ArrrArdVq r V 以該球面為高斯面，按高斯定理有 0 42 1 /4 rArE FF (本題選自靜電場練習二) q r 高斯面 R dr 第19頁/共53頁 易錯點： 3 3 4 .1rArVq 、 dVq 、2 2 0 4 3 r dq dE 、 搞清各種方法的基本解題步驟 drrArdVq 2 44 、 第

11、20頁/共53頁 6.有一帶電球殼，內、外半徑分別為a和b，電荷體密度 = A / r，在球心處有一點電荷Q，證明當A = Q / ( 2a2 )時，球殼區域內的場強的大小與r無關 a b Q 證：用高斯定理求球殼內場強： 0 2 /d4d V VQrESE S rr av rrArr r A V 0 2 d4d4d 其中： 22 2arA 22 2 0 2 0 2 4 1 4 arA rr Q E 2 0 2 0 2 0 224r AaA r Q 要使E 的大小與r無關，則應有 0 24 2 0 2 2 0 r Aa r Q 2 2 a Q A 即： 第21頁/共53頁 易錯點： s e E

12、dV 、1 ErdSEdSE s 2 42 、 drr r A q b a 2 43 、 r rdrAq r 44 0 、 a 第22頁/共53頁 靜電場練習三 2. 如圖所示，半徑為R的均勻帶電球面，總電荷為Q， 設無窮遠處的電勢為零，則球內距離球心為r的P點處 的電場強度的大小和電勢為： (A) E=0， (B) E=0， (C) ， (D) ， r Q U 0 4 R Q U 0 4 2 0 4r Q E r Q U 0 4 2 0 4r Q E R Q U 0 4 O R r P Q 第23頁/共53頁 3.把一個均勻帶有電荷+Q的球形肥皂泡由半徑r1吹脹 到r2，則半徑為R(r1Rr

13、2)的球面上任一點的場強大 小E由_變為_；電勢 U由_變為 _(選無窮遠處為電勢零點) r1 r2 R Q / (40R2) 0 Q / (40R) Q / (40r2) 提示： 根據高斯定理求場強 根據定義法求電勢 第24頁/共53頁 4.一半徑為R的均勻帶電圓環，電荷線密度為 設無 窮遠處為電勢零點，則圓環中心O點的電勢U _ / (20) 標量疊加 Rq2 思路: R q R dq dUU 00 44 0 2 U 第25頁/共53頁 5. 一半徑為R的均勻帶電圓盤，電荷面密度為設 無窮遠處為電勢零點計算圓盤中心O點電勢 O dr R 解：在圓盤上取一半徑為rrdr范 圍的同心圓環 dS

14、=2rdr 其上電荷為 ： dq=2rdr 其面積為： 它在O點產生的電勢為： 00 2 d 4 d d r r q U 總電勢： 0 0 0 2 d 2 d R rUU R S 第26頁/共53頁 6. 電荷以相同的面密度 分布在半徑為r110 cm 和r220 cm的兩個同心球面上設無限遠處電勢為零 ，球心處的電勢為U0300 V (1) 求電荷面密度 (2) 若要使球心處的電勢也為零，外球面上應放掉多 少電荷？ 08.8510-12 C2 /(Nm2) 解：(1) 球心處的電勢為兩個同心帶電球面各自在 球心處產生的電勢的疊加，即 2 2 1 1 0 0 4 1 r q r q U 2 2

15、 2 1 2 1 0 44 4 1 r r r r 21 0 rr 21 00 rr U 8.8510-9 C / m2 第27頁/共53頁 (2) 設外球面上放電后電荷面密度為，則應有： 21 0 0 1 rrU = 0 即 ： 2 1 r r 外球面上應變成帶負電，共應放掉電荷: 2 12 2 2 2 144 r r rrq 200212 44rUrrr 6.6710-9 C 第28頁/共53頁 例6：點電荷q=10-9C，與它在同一直線上的A、B、C 三點分別相距為10、20、30 cm，若選B為電勢零點 。 CBAq 解： 選B為電勢零點： B A r r B A A dr r q l

16、 dEU 2 0 4 )(45) 11 ( 4 0 V rr q BA )(15) 11 ( 4 0 V rr q U BC C 求：A、C兩點的電勢。 或者分別算出 A、B、C三點 的電勢，然后 相減即可。 第29頁/共53頁 求單位正電荷沿odc 移至c ，電場力所作的功 將單位負電荷由 O電場力所作的功 ) 434 (0 00 R q R q uuA cooc R q 0 6 0 oO uuA 例7.如圖已知+q 、-q、R q q RRR 0 d ab c 第30頁/共53頁 例8 在真空中,有一電荷為Q,半徑為R的均勻帶電球殼,其電 荷是面分布的.試求 (1) 球殼外兩點間的電勢差;

17、 (2) 球殼內兩點間的電勢差; (3) 球殼外任意點的電勢; (4) 球殼內任意點的電勢. O er R AB dr rA r rB r (a) O Rr B A dr (b) 第31頁/共53頁 解 (1) 均勻帶電球殼外一點的場強為 )1( 4 1 2 0 r e r Q E 若在如圖 (a)所示的徑 向取A,B兩點,它們與球心 的距離分別為rA和rB,那么 , 可得A,B兩點之間的電 勢差為： B A B A r r r r ba drErdEUU 把(1)式代入上式,得 )2() 11 ( 44 0 2 0BA r r ba rr Q r drQ UU B A 上式表明,均勻帶電球殼

18、外兩點的電勢差,與球上 電荷全部集中于球心時, 兩點的電勢差是一樣的. O er R AB dr rA r rB r (a) 第32頁/共53頁 (2) 球殼內兩點間的電勢差; O Rr B A dr (b) 均勻帶電球殼內部任意兩點的電場強度為: E=0 球殼內部任意兩點的電勢差為:0 B A r r ba drEUU 這表明, 帶電球殼內各點的電勢均為一等勢體 . 第33頁/共53頁 (3) 球殼外任意點的電勢; 若取rB= +時,U =0 )2() 11 ( 44 0 2 0BA r r ba rr Q r drQ UU B A 由式(2)可得,均勻帶電球殼外一點電勢為 )3()( 4

19、)( 0 Rr r Q rU 上式表明,均勻 帶電球殼外一點的電勢與球上電 荷集中于球心一點的電勢是一樣的. O er R AB dr rA r rB r 第34頁/共53頁 (4) 球殼內任意點的電勢. 由于帶電球殼為一等勢體,故球殼內各處的電勢 與球殼表面的電勢應相等 )3()( 4 )( 0 Rr r Q rU 球殼表面的電勢為： R Q RU 0 4 )( 所以球殼內各處的電勢U為: )4( 4 )( 0R Q RUU 由(3)和(4)可得均勻帶電球殼 內、外電勢分布曲線如圖所示 . V OR2R 3R r R Q 0 4 r Q 0 4 球面處場強不連續，而電勢是連續的。 第35頁/

20、共53頁 例：求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。 dr r2 l dEU B p 0 B p Crrr ln 2 ln 2 ln 2 0 0 00 當電荷分布擴展到無窮遠時，電勢零點不能再選在無窮遠處。 解：選取 點為電勢零點，B點距帶電直導線為 。 B r B B B r p r 第36頁/共53頁 2、把這種說法反過來：即假設高斯面內沒有包含 凈電荷，則高斯定理是否要求在這面上所有各點處 的E都等于零？ 討論 1、如果高斯面上的E處處為零，則高斯定理要求在 此表面內部沒有凈電荷，這是否正確？ 0 . 內內S i S q SdE 00 內內 S i qE 00 Eq S i 內內 第3

21、7頁/共53頁 例1：長為l、線電荷密度為的兩根相同的細塑料棒如圖放置，相距l。 求：兩棒之間的靜電相互作用力。 O x l2l dx x 思路：1、求左棒在右棒處各點的場強： 2、右棒x處電荷元受的電場力： xd ) x 1 lx 1 ( 4 ExddF 0 2 dx x ) 11 ( 4)(4 00 2 0 l xlxxx dx E 第38頁/共53頁 O x l2l dx x dx x 3、右棒受的總電場力： 3 4 4 11 4 0 2 3 2 0 2 ln)( xd xlx F l l 方向：x方向。 xd ) x 1 lx 1 ( 4 ExddF 0 2 第39頁/共53頁 例2：

22、厚度為 d 的均勻帶電無限大平板，電荷體密度為0，求板內、外場強。 DS 解： 1 0 1 i i S qSdE 板外一點： 0 2 i qSdESdE 底側 0 0 2 /2 d ESdSE D D D D 板內一點：xSSE22 D D D D 0 x E 方向：垂直板面向外。 d x DS 方向：垂直板面向外。 第40頁/共53頁 例4. 求均勻帶電圓柱面的電場. 已知圓柱半徑為R， 沿軸線方向單位長度帶電量為 。 解：場具有軸對稱，作 高斯面：圓柱面 (1) r R Rlqi2 0 r R E r E 0 2 高 斯 面 lr E s e SdESdESdESdE 上底側面下底 F F

23、 lq rlE 2 R2 第42頁/共53頁 課堂練習： 求均勻帶電圓柱體的場強分布，已知R， 2 0 2R r E Rr Rr r 0 2 0 2 l rlE Rr Rr lr hR h lrE 2 2 0 2 在圓柱體內作高斯面，r，l 高斯面內的電荷 R h l r 第43頁/共53頁 例7：一接地的無限大厚導體板的一側有一半無限長 的均勻帶電直線如圖放置，已知帶電線密度為0， 求：板面上垂足O處的感應電荷面密度o。 d o o 解：導體板內與o點相鄰點o的場強 ： 0E o 0) 2 ( r4 dx EEE 0 0 d 2 0 o 感感線線 d2 0 0 24 0 0 0 r 即即 得

24、 第44頁/共53頁 例10 將一空氣平行板電容器接到電源上充電到一定電 壓后，斷開電源再將一塊與極板面積相同的金屬板平 行地插入兩極板之間，如圖所示, 則由于金屬板的插入 及其所放位置的不同，對電容器儲能的影響為： (A) 儲能減少，但與金屬板相對極板的位置無關 (B) 儲能減少，且與金屬板相對極板的位置有關 (C) 儲能增加，但與金屬板相對極板的位置無關 (D) 儲能增加，且與金屬板相對極板的位置有關 金屬板 思 路 斷開電源，Q 不變；插入金屬板 等于兩個電容器串聯； 金屬板有厚度， 總電容 C 變大； C Q W 2 2 （本題可參考 8-5 靜電場中的導體和電介質中的例題 4 ） 第45頁/共53頁 1 d t 2 d d AB q q 0 E 0 E E 設 q，則有場強分布 0 E S q E 00 0 電勢差 2010 dEEtdEuu BA )dd(E 210 )dd( S q 21 0 21 0 dd S uu q