1、第一章 曲線論2 向量函數(shù) 5. 向量函數(shù)具有固定方向的充要條件是 = 。 分析：一個向量函數(shù)一般可以寫成=的形式，其中為單位向量函數(shù)，為數(shù)量函數(shù)，那么具有固定方向的充要條件是具有固定方向，即為常向量，（因為的長度固定）。 證 對于向量函數(shù)，設(shè)為其單位向量，則=，若具有固定方向，則為常向量，那么=，所以 =（）=。反之，若= ，對= 求微商得=+，于是=（）=，則有 = 0 或= 。當(dāng)= 0時，=可與任意方向平行；當(dāng)0時，有=，而（=-(，（因為具有固定長， = 0） ，所以 =，即為常向量。所以，具有固定方向。6向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是（）=0 。分析：向量函數(shù)平行于固定平面的充要

2、條件是存在一個定向向量，使 = 0 ，所以我們要尋求這個向量及與，的關(guān)系。證 若平行于一固定平面，設(shè)是平面的一個單位法向量，則為常向量，且 = 0 。兩次求微商得 = 0 ， = 0 ，即向量，垂直于同一非零向量，因而共面，即（）=0 。反之, 若（）=0，則有= 或。若=，由上題知具有固定方向，自然平行于一固定平面，若，則存在數(shù)量函數(shù)、，使= + 令=，則，且。對=求微商并將式代入得=（）=，于是=，由上題知有固定方向，而，即平行于固定平面。3 曲線的概念3. 證明圓柱螺線= a ,a, ()的切線和z軸作固定角。證明 = -a ,a,設(shè)切線與z軸夾角為,則 =為常數(shù)，故為定角（其中為z軸的

3、單位向量）。10. 將圓柱螺線=a，a，b化為自然參數(shù)表示。解 = -a,a,b，s = ，所以，代入原方程得 =a, a, 4 空間曲線1求圓柱螺線=a，=a，= b在任意點的密切平面的方程。解 = -a,a,b,=-a,- a,0 所以曲線在任意點的密切平面的方程為 = 0 ，即(b)x-(b)y+az-abt=0 .2. 求曲線 = t,t,t 在原點的密切平面、法平面、從切面、切線、主法線、副法線。解 原點對應(yīng)t=0 , (0)= +t,- t,+t=0,1,1，2+ t,- t,2+t =2,0,2 ， 所以切線方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；密切平面方程是=0 ，即x+

4、y-z=0 ，主法線的方程是 即 ；從切面方程是2x-y+z=0 ,副法線方程式 。3證明圓柱螺線=a，=a，= b的主法線和z軸垂直相交。證 = -a,a,b, =-a,- a,0 ，由知為主法線的方向向量，而 所以主法線與z軸垂直；主法線方程是與z軸有公共點(o,o,bt)。故圓柱螺線的主法線和z軸垂直相交。4.在曲線x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法線的正向取單位長，求其端點組成的新曲線的密切平面。解 = -cossint, coscost, sin , = -coscost,- cossint , 0 sinsint ,- sincost ,

5、cos 新曲線的方程為= coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos 對于新曲線=-cossint+ sincost ，coscost+ sinsint，sin =sin(-t), cos(-t), sin , = -cos(-t), sin(-t),0 ,其密切平面的方程是即 sin sin(t-) x sin cos(t-) y + z tsin cos = 0 .5 證明曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點。證 方法一：設(shè)一曲線為一球面曲線，取球心為坐標(biāo)原點，則曲線的向徑具有固定長，所以= 0，即曲線每一點的切線與其向徑

6、垂直，因此曲線在每一點的法平面通過這點的向徑，也就通過其始點球心。若一曲線的所有法平面通過一定點，以此定點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，則= 0，具有固定長，對應(yīng)的曲線是球面曲線。方法二：是球面曲線存在定點（是球面中心的徑矢）和常數(shù)R（是球面的半徑）使 ，即 （）而過曲線上任一點的法平面方程為 。可知法平面過球面中心（）成立。所以，曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點。7求以下曲面的曲率和撓率 , 。解 ，所以 。 ， = ， 。 8已知曲線，求基本向量；曲率和撓率；驗證伏雷內(nèi)公式。分析 這里給出的曲線的方程為一般參數(shù)，一般地我們可以根據(jù)公式去求基本向量和曲率撓率，我們也可以利用定義來

7、求。解 ，（設(shè)sintcost0）， 則， ， ， ， ，由于與方向相反，所以 顯然以上所得 滿足 ，而 也滿足伏雷內(nèi)公式 。9.證明如果曲線的所有切線都經(jīng)過一的定點，則此曲線是直線。證方法一：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點的切線方程是，由條件切線都過坐標(biāo)原點，所以，可見，所以具有固定方向，故是直線。方法二：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點的切線方程是，由條件切線都過坐標(biāo)原點，所以，于是，從而，所以由曲率的計算公式知曲率k，所以曲線為直線。方法三：設(shè)定點為，曲線的方程為，則曲線在任意點的切線方程是，由條件切線都過定點，所以，兩端求導(dǎo)得: , 即

8、 ，而無關(guān)，所以，可知，因此曲線是直線。10. 證明如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過一的定點，則此曲線是平面曲線。證方法一：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點的密切平面的方程是，由條件，即（）=0，所以平行于一固定平面，即是平面曲線。方法二：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點的密切平面方程是，由條件，兩邊微分并用伏雷內(nèi)公式得 。若,又由可知,所以平行于固定方向，這時表示直線,結(jié)論成立。否則，從而知曲線是平面曲線。方法三：取定點為坐標(biāo)原點建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點的密切平面方程是，由條件，即（）=0，所以，共面，若，則是直線，否則可設(shè)，所以共

9、面，所以，從而知曲線是平面曲線。 11. 證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那么曲線是直線或平面曲線。證 方法一：根據(jù)已知，若是常向量，則k=0 ，這時曲線是直線。否則在兩邊微分得=，即 k=,所以=，又因，所以，而為單位向量，所以可知為常向量，于是，即，此曲線為平面曲線。方法二：曲線的方程設(shè)為，由條件，兩邊微分得，所以， ，共面，所以（）。由撓率的計算公式可知，故曲線為平面曲線。當(dāng)時是直線。方法三：曲線的方程設(shè)為，由條件，兩邊積分得（是常數(shù)）。因是平面的方程，說明曲線在平面上，即曲線是平面曲線，當(dāng)有固定方向時為直線。12證明曲率為常數(shù)的空間曲線的曲率中心的軌跡仍是曲率為常數(shù)的曲線。證明

10、 設(shè)曲線（C）：的曲率k為常數(shù),其曲率中心的軌跡（）的方程為： ，（為曲線（C）的主法向量），對于曲線（）兩邊微分得 ，（，分別為曲線（C）的單位切向量，副法向量和撓率），曲線（）的曲率為 為常數(shù)。14設(shè)在兩條曲線、的點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點的切線平行，證明它們在對應(yīng)點的主法線以及副法線也互相平行。 證 設(shè)曲線：=與：點s與一一對應(yīng)，且對應(yīng)點的切線平行，則=, 兩端對s求微商得, 即 ，(這里k0，若k=0，則無定義)，所以，即主法線平行，那么兩曲線的副法線也平行。15設(shè)在兩條曲線、的點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點的主法線平行，證明它們在對應(yīng)點的切線作固定角。證 設(shè),

11、分別為曲線、的切向量, 分別為曲線、的主法向量,則由已知，而將式代入。所以常數(shù)，故兩曲線的切線作固定角。16.若曲線的主法線是曲線的副法線, 的 曲率、撓率分別為.求證k=(+) ,其中為常數(shù)。證 設(shè)的向量表示為=，則可表示為=+， 的切向量=+（k+）與垂直，即，所以為常數(shù)，設(shè)為，則（k）+.再求微商有k（k）k，（k）k，所以有k=(+)。17曲線=a(t-sint),a(1-cost),4acos在哪點的曲率半徑最大。解 = a1-cost,sint,-2sin , = asint,cost,-cos, ,=,| |= , , ,所以在t=(2k+1)，k為整數(shù)處曲率半徑最大。 5 一般

12、螺線5. 證明如果所有密切平面垂直于固定直線,那么它是平面直線.證法一: 當(dāng)曲線的密切平面垂直于某固定直線時,曲線的副法向量是常向量.即=。曲線的撓率的絕對值等于|為零，所以曲線為平面曲線。證法二：設(shè)是固定直線一向量，則=0 ，積分得= ,說明曲線在以為法向量的一個平面上,因而為平面直線。證法三：設(shè)是固定直線一向量，則=0 ，再微分得=0 ，=0 。所以 、 、三向量共面，于是（）= 0 ，由撓率的計算公式知=0，因此曲線為平面曲線。7 如果兩曲線在對應(yīng)點有公共的副法線，則它們是平面曲線。證 設(shè)一曲線為：，則另一曲線的表達(dá)式為： ，為曲線在點s的主法向量，也應(yīng)為在對應(yīng)點的副法線的方向向量。與正

13、交，即，于是，為常數(shù)。，k（k）也與正交，即-=0,而,所以有，曲線為平面曲線。同理曲線為平面曲線。9證明曲線為一般螺線的充要條件為證，其中k0.曲線為一般螺線的充要條件為 為常數(shù),即=0,也就是 。方法二： ，即。曲線為一般螺線，則存在常向量，使=常數(shù)，所以所以共面，從而（）=0。反之，若（）=0，則平行于固定平面，設(shè)固定平面的法矢為，則有，從而= p (常數(shù))，所以為一般螺線。方法三：曲線為一般螺線存在常向量使，即平行于固定平面（以為法向量的平面）平行于一固定平面 。方法四：設(shè)為一般螺線，存在常向量使=常數(shù)，即常數(shù)，連續(xù)三次求微商得， ，所以。因為，所以平行于固定平面，設(shè)固定平面的法矢為（

14、常向量），則，而，所以曲線為一般螺線。11設(shè)在兩條曲線、的點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點的切線平行，證明它們在對應(yīng)點的主法線以及副法線也互相平行，且它們的撓率和曲率都成比例，因此如果為一般螺線, 則也為一般螺線。證 設(shè)曲線：=與：點建立了一一對應(yīng)，使它們對應(yīng)點的切線平行，則適當(dāng)選擇參數(shù)可使=, 兩端對s求微商得, 即 ，這里，所以有=，即主法線平行，從而=，即兩曲線的副法線也平行。且 或。=兩邊對s求微商得，于是 或，所以， 或。第二章 曲面論。 曲面的第一基本形式1. 求雙曲拋物面a（u+v）, b（u-v）,2uv的第一基本形式. 解 , I = 2。求正螺面= u ,u , b

15、v 的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。解，I =，坐標(biāo)曲線互相垂直。在第一基本形式為I =的曲面上，求方程為u = v的曲線的弧長。解 由條件,沿曲線u = v有du=dv ，將其代入得=，ds = coshvdv , 在曲線u = v上，從到的弧長為。4設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求它上面兩條曲線u + v = 0 ,uv = 0的交角。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量，曲線u + v = 0與u v = 0的交點為u = 0, v = 0,交點處的第一

16、類基本量為，。曲線u + v = 0的方向為du = -dv , u v = 0的方向為u=v , 設(shè)兩曲線的夾角為，則有cos= 。6. 求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.解 對于u-曲線dv = 0,設(shè)其正交軌線的方向為u:v ,則有Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,將dv =0代入并消去du得u-曲線的正交軌線的微分方程為Eu + Fv = 0 .同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為Fu + Gv = 0 .8. 證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為E=G.證用分別用、d表示沿u曲線，v曲線及其二等分角線的微分符號，即沿u曲線u，v，沿v曲線u，

17、v沿二等分角軌線方向為du:dv ,根據(jù)題設(shè)條件,又交角公式得，即。uvV=1u=-avu=avo展開并化簡得E(EG-)=G(EG-),而EG-0，消去EG-得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為E=G.9設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求曲面上三條曲線u = v, v =1相交所成的三角形的面積。解 三曲線在平面上的圖形（如圖）所示。曲線圍城的三角形的面積是S= =2=2= 。 11.證明螺面=ucosv,usinv,u+v和旋轉(zhuǎn)曲面=tcos,tsin,(t1, 02)之間可建立等距映射 =arctgu + v , t= .分析 根據(jù)等距對應(yīng)的充分條件,要證以上兩曲面可建立等距映射 = ar

18、ctgu + v , t=,可在一個曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對應(yīng)點有相同的參數(shù),然后證明在新的參數(shù)下,兩曲面具有相同的第一基本形式.證明 螺面的第一基本形式為I=2+2 dudv+(+1), 旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為I= ,在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換 =arctgu + v , t = , 則其第一基本形式為:=2+2 dudv+(+1)= I .所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射 =arctgu + v , t = .3曲面的第二基本形式1. 計算懸鏈面=coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解 =sinhucosv,sinhusinv,1

19、,=-coshusinv,coshucosv,0=coshucosv,coshusinv,0,=-sinhusinv,sinhucosv,0,=-coshucosv,-coshusinv,0,= coshu,=0,=coshu.所以I = coshu+ coshu .=,L=, M=0, N=1 . 所以II = -+ 。2. 計算拋物面在原點的第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示為, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , I=, II=.3. 證明對于正螺面=u,u,bv,-u,v處處有EN-2FM+GL=0。解 ，=0,0,

20、0,=-uucosv,cosv,0,=-ucosv,-usinv,0,， L= 0, M = , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出拋物面在(0,0)點沿方向(dx:dy)的法曲率.解 ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率. 6. 利用法曲率公式,證明在球面上對于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基本量成比例。證明 因為在球面上任一點處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(biāo)(u,v)，沿任意方向du:dv或-，所以，即第一、第二類基本量成比例。8. 求曲面的漸近線.解 曲面的向量

21、表示為,.漸近線的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數(shù). 另一族為2ydx=-xdy, 即.9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面,與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線，它的主法線曲面為，在曲線上，t = 0 , ,曲面的單位法向量，即，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.11.確定螺旋面=u,u,bv上的曲率線.解，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0，=-sinv,cosv,0,， L=0, M= , N=0

22、,曲率線的微分方程為:,即,積分得兩族曲率線方程:. 12.求雙曲面z=axy上的曲率線.解 N=0 . 由=0得,積分得兩族曲率線為.13.求曲面上的曲率線的方程.解 M=,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是: . 14.給出曲面上一曲率線L,設(shè) L上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角,求證L是一平面曲線.證法一：因 L是曲率線,所以沿L有,又沿L 有=常數(shù),求微商得,所以,即-=0,則有=0,或=0 .若=0, 則L是平面曲線；若=0 ，L又是曲面的漸近線，則沿L ，=0 ，這時d=，為常向量，而當(dāng)L是漸近線時，=，所以為常向量，L是一平面曲線.證法二：若 ，則因 ，

23、所以 ，所以d，由伏雷內(nèi)公式知d（）而L是曲率線，所以沿L有d，所以有=0,從而曲線為平面曲線；若不垂直于， 則有=常數(shù),求微商得因為L是曲率線，所以沿L有，所以，所以，即-=0 ，若=0，則問題得證；否則=0 ，則因，有，（-） ，矛盾。15如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。 證 曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。 16求正螺面的主曲率。解 設(shè)正螺面的向量表示為=u,u,bv.解，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0，=-sinv,cosv,0,， L= 0, M = , N = 0,代入主曲率公式

24、（EG-）-（LG-2FM+EN）+ LN-= 0 得=。 所以主曲率為 。17確定拋物面z=a()在（0，0）點的主曲率.解 曲面方程即， 。在（0，0）點,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，兩主曲率分別為 = 2 a , = 2 a .18. 證明在曲面上的給定點處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證 曲面上的給定點處兩主曲率分別為 、，任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為， ，即為常數(shù)。19.證明若曲面兩族漸近線交于定角,則主曲率之比為常數(shù).證 由 得 ,即漸進方向為,=-.又-+=2 為常數(shù),所以為為常數(shù),即為常數(shù)

25、.23. 證明如果曲面的平均曲率為零,則漸近線構(gòu)成正交網(wǎng).證法一： 如果曲面的平均曲率為零, 由上題曲面上的點都是雙曲點或平點.若為平點,則任意方向為漸近方向,任一曲線為漸近曲線,必存在正交的漸近曲線網(wǎng).若為雙曲點, 則曲面上存在漸近曲線網(wǎng).由19題, 漸近方向滿足=1,即=/4,=- /4, 兩漸近線的夾角為,即漸近曲線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng). 證法二：漸近線方程為所以，所以 ，所以= ，所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。 證法三： ，所以高斯曲率 ，所以0 ，所以曲面上的點是平點或雙曲點。所以曲面上存在兩族漸近線。取曲面上的兩族漸近線為坐標(biāo)網(wǎng)，則L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的點是平點，若 ，則 ，

26、所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。26兩個曲面、交于一條曲線（C），而且（C）是的一條曲率線，則（C）也是的一條曲率線的充要條件為、沿著（C）相交成固定角。證 兩個曲面、交于曲線（C），、分別為、的法向量，則沿交線（C），與成固定角的充要條件為=常數(shù)，這等價于d()=0,即d+d=0 ,而（C）是的一條曲率線，因此d與（C）的切向量d共線，則與 正交，即d=0，于是d=0，又d，所以 d= d=0的充要條件為d/ d，即（C）是的曲率線。 4.直紋面和可展曲面 1. 證明曲面=是可展曲面.證法一： 已知曲面方程可改寫為=+v，令=，=，則=+ v，且0，這是直紋面的方

27、程 ，它滿足=0 ,所以所給曲面為可展曲面。證法二：證明曲面的高斯曲率為零。（略）2。證明曲面=cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。證法一： 曲面的方程可改寫為 =+ u，其中=cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v，=-sinv, cosv,1 ，易見0，所以曲面為直紋面，又因為=0，所以所給曲面為可展曲面。證法二：證明曲面的高斯曲率為零。（略）3證明正螺面=vcosu,vsinu,au+b(a0)不是可展曲面。證法一：原曲面的方程可改寫為 =+ v，其中=0,0,au+b,=cosu,sinu,0.易見0, 所以曲面為直紋面, 又

28、因為=a0.故正螺面不是可展曲面。證法二：證明曲面的高斯曲率為零。（略）4證明撓曲線的主法線曲面與副法線曲面不是可展曲面。證 撓曲線（C）:的主法線曲面為 ,因為=，故不是可展曲面。撓曲線（C）:的副法線曲面為 ，因為，故不是可展曲面。7證明柱面、錐面、任意曲線的切線曲面是可展曲面。證 柱面的方程可寫為 =+ v，（0 為常向量）因為=。故是可展曲面。錐面的方程可寫為 =+ v（為常向量），因為=0，故是可展曲面。曲線（C）:的切線曲面為 。因為=，故是可展曲面。 5 曲面的基本定理 8求證第一基本形式為的曲面有常高斯曲率 。 證 因為 ，所以=-=4c故所給曲面有常高斯曲率 。6 曲面上的測

29、底線 2證明球面=acosucosv,acosusinv,asinu上曲線的測地曲率 其中表示曲線與經(jīng)線的交角。證 易求出E=, F=0,G=,因此=，而，故 。3求位于半徑為R的球面上半徑為a的圓的測地曲率.解法一：因為，而，所以。解法二：半徑為的圓的曲率為 ，圓上每一點處的法曲率，由知， ，所以 。解法三：任何球面上的圓都可以通過建立適當(dāng)?shù)那y坐標(biāo)網(wǎng)使其成為緯圓，過不妨求半徑為的緯圓的測地曲率。由1題知所求即為v-線的測地曲率：=因為所考慮緯圓的半徑為 ，所以所以 。4求位于正螺面=ucosv,usin,av上的圓柱螺線（=常數(shù)）的測地曲率。解 易計算出E=1，F(xiàn)=0，G=，而（C）是一條

30、v-曲線：u=,于是由，可知（C）的測地曲率為。7求證旋轉(zhuǎn)曲面的子午線是測地線，而平行圓僅當(dāng)子午線的切線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是測地線 。 證 設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面為(S)，則易計算出E= ,于是子午線（t曲線）的測地曲率為，故子午線是測地線。又平行圓（-曲線）的測地曲率為 。所以的充要條件是 ，即故平行圓僅當(dāng)子午線的切線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是測地線 。 8求證 如果測地線同時為漸近線，則它是直線；如果測地線同時為曲率線，則它是一平面曲線。證 因為所給曲線是測地線，所以； 又因為所給曲線是漸近線，所以，而 ，所以k=0，故所給曲線是直線。 方法一：因所給曲線既是測地線又為曲率線，所以沿此曲線有，而，所以從而，又，所以，故所給曲線是平面曲線。方法二：因所給曲線是測地線，所以沿此曲線有，所以，又因曲線是曲率線，所以 ，所以 ，所以，故所給曲線是平面曲線。方法三：因所給曲線是測地線，所以該曲線的主法線重合于曲面的法線；因為是曲率線，所以沿此曲線曲面的法線曲面是可展曲面。從而該曲線的主法線曲面是可展曲面，而撓曲線的主法線曲面不是可展曲面，因此該曲線一定是平面曲線。方法四：設(shè)是測地線，所以的主法向量（曲面的單位法向量），所以