1、第第25章章 量子力學(xué)基礎(chǔ)量子力學(xué)基礎(chǔ) 25-1 德布羅意假設(shè)德布羅意假設(shè) 波波-粒二象性粒二象性 1. 1. 德布羅意假設(shè)德布羅意假設(shè) 德布羅意在光的波粒二象性的啟發(fā)德布羅意在光的波粒二象性的啟發(fā) 下，提出了實(shí)物粒子（如電子、質(zhì)子等）下，提出了實(shí)物粒子（如電子、質(zhì)子等） 也具有波也具有波- -粒二象性的假設(shè)。粒二象性的假設(shè)。 德布羅意德布羅意 hmcE 2 h mvp 與實(shí)物粒子相聯(lián)系的波與實(shí)物粒子相聯(lián)系的波 德布羅意波德布羅意波(物質(zhì)波物質(zhì)波) 德布羅意公式德布羅意公式 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 1. 1. 電子通過金多晶薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)。電子通過金多晶薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)。 （湯姆遜（湯姆遜192719

2、27） 2. 2. 電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實(shí)驗(yàn)。電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實(shí)驗(yàn)。 （約恩遜（約恩遜1961)1961) 3. 303. 30年代以后，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，中子、質(zhì)子、中性原子都具有衍射現(xiàn)象。年代以后，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，中子、質(zhì)子、中性原子都具有衍射現(xiàn)象。 4. 4. 自然界中的一切微觀粒子，都具有波粒二象性。自然界中的一切微觀粒子，都具有波粒二象性。 應(yīng)用應(yīng)用 電子等實(shí)物粒子的波長比光波波長小的多電子等實(shí)物粒子的波長比光波波長小的多 利用高速電子束代替光束制成顯微鏡利用高速電子束代替光束制成顯微鏡 電子顯微鏡電子顯微鏡 解：解： 由得布羅意公式得：由得布羅意公式得： m smkg

3、 sJ m h 35 30005. 0 1063. 6 104 . 4 1 34 例題；例題； 一質(zhì)量一質(zhì)量m=0.05的子彈的子彈,以速率以速率 運(yùn)動(dòng)著運(yùn)動(dòng)著,其得布羅意波長為多少其得布羅意波長為多少? sm300 由此可見，對(duì)于一般的宏觀物體由此可見，對(duì)于一般的宏觀物體,其物質(zhì)波波長是很小的，很其物質(zhì)波波長是很小的，很 難顯示波動(dòng)性。難顯示波動(dòng)性。 德布羅意波德布羅意波 例題：例題： 試估算熱中子的得布羅意波長試估算熱中子的得布羅意波長 (中子的質(zhì)量中子的質(zhì)量 mn=1.6710-27)。熱中子是指在室溫下。熱中子是指在室溫下(T=300K) 與周圍處于熱平衡的中子與周圍處于熱平衡的中子.

4、 解解 : 熱中子的平均動(dòng)能：熱中子的平均動(dòng)能： 23 33 22 21 1.38 10300 6.21 100.038 kTJ KK eV 它的方均根速率：它的方均根速率：sm kg J mn 2700 27 21 1067. 1 1021. 622 相應(yīng)的得布羅意波長：相應(yīng)的得布羅意波長： nm smkg sJ m h n 15. 0 127 34 27001067. 1 1063. 6 德布羅意波德布羅意波 例題；例題； 電子在鋁箔上散射時(shí)電子在鋁箔上散射時(shí),第一級(jí)最大第一級(jí)最大(k=1)的偏轉(zhuǎn)角的偏轉(zhuǎn)角 為為 ,鋁的晶格常數(shù)鋁的晶格常數(shù)a為為4.0510-10m,求電子速度。求電子速度

5、。 2 解解 ： 參看圖示參看圖示,第一級(jí)最大的條件是：第一級(jí)最大的條件是： m h 1,sin kka 按得布羅意公式按得布羅意公式 把把m按靜質(zhì)量計(jì)算，得：按靜質(zhì)量計(jì)算，得： 00 34 3110 sin 6.63 10 9.11 104.05 10sin2 7 5.14 10 hh mm a J s kgm v m s a 德布羅意波德布羅意波 25-2 不確定度關(guān)系不確定度關(guān)系 一一. 不確定關(guān)系不確定關(guān)系 經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 確定的位置和動(dòng)量確定的位置和動(dòng)量 微觀粒子微觀粒子具有波動(dòng)性即不具有確定的位置和動(dòng)量具有波動(dòng)性即不具有確定的位置和動(dòng)量 1927年德國物理學(xué)家海森伯年德國

6、物理學(xué)家海森伯（W.Heisenberg）根據(jù)量子力學(xué)根據(jù)量子力學(xué) 推出微觀粒子在位置與動(dòng)量兩者不確定量間的關(guān)系推出微觀粒子在位置與動(dòng)量兩者不確定量間的關(guān)系 在某一方向在某一方向(如如x方向方向)粒子的位置不確定量粒子的位置不確定量 x和和 該方向上的動(dòng)量的不確定量該方向上的動(dòng)量的不確定量 px有有 2/ x px sJ h 34 1005.1 2 電子的單縫衍射電子的單縫衍射 二二. 簡單推導(dǎo)簡單推導(dǎo) 電子束電子束v x xx sin p h x坐標(biāo)的不坐標(biāo)的不 確定量確定量 由于衍射由于衍射,電子的速度電子的速度 方向改變方向改變,電子可能出電子可能出 現(xiàn)在現(xiàn)在- 到到+ 的范圍內(nèi)的范圍內(nèi)

7、 - xp ppx / sin hpx x hpx x 考慮次極大考慮次極大 p p x p y 經(jīng)嚴(yán)格證明此式應(yīng)改經(jīng)嚴(yán)格證明此式應(yīng)改寫為：寫為： 2 x px 討論討論: 1. 不確定關(guān)系不確定關(guān)系表明微觀粒子位置的準(zhǔn)確度與相應(yīng)的動(dòng)量準(zhǔn)確表明微觀粒子位置的準(zhǔn)確度與相應(yīng)的動(dòng)量準(zhǔn)確 度值成反比；度值成反比； px 0 px確定確定 粒子位置完全不確定粒子位置完全不確定 平面波平面波 2. 不確定關(guān)系不確定關(guān)系可以用來判別對(duì)于實(shí)物粒子其行為究竟應(yīng)該用經(jīng)可以用來判別對(duì)于實(shí)物粒子其行為究竟應(yīng)該用經(jīng) 典力學(xué)來描寫還是用量子力學(xué)來描寫典力學(xué)來描寫還是用量子力學(xué)來描寫; ; 3. 另一個(gè)不確定關(guān)系另一個(gè)不確

8、定關(guān)系 2 tE 能量的不確定量:E 某能量狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間: t t 穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài) 能量確定能量確定 由于由于 根據(jù)不確定性關(guān)系得根據(jù)不確定性關(guān)系得 sm mkg sJ xmx 30 105 . 001. 02 1005. 1 2 1005. 1 2 34 xx mp 解解 ： 槍口直徑可以當(dāng)作子彈射出槍口時(shí)位置的不確定槍口直徑可以當(dāng)作子彈射出槍口時(shí)位置的不確定 量量 。 x 和子彈飛行速度每秒幾百米相比和子彈飛行速度每秒幾百米相比 ,這速度的不確定性這速度的不確定性 是微不足道的是微不足道的,所以子彈的運(yùn)動(dòng)速度是確定的。所以子彈的運(yùn)動(dòng)速度是確定的。 例題：例題： 設(shè)子彈的質(zhì)量為設(shè)子彈的質(zhì)

9、量為0.01,槍口的直徑為槍口的直徑為0.5。 試求子彈射出槍口時(shí)的橫向速度的不確定量。試求子彈射出槍口時(shí)的橫向速度的不確定量。 不確定度關(guān)系不確定度關(guān)系 例題：例題： 電視顯像管中電子的加速度電壓為電視顯像管中電子的加速度電壓為10kV,電電 子槍的槍口的直徑為子槍的槍口的直徑為0.01.試求電子射出試求電子射出 電子槍后的橫向速度的不確定量。電子槍后的橫向速度的不確定量。 解：解： 電子橫向位置的不確定量電子橫向位置的不確定量 cmx01. 0 xmx 2 34 314 1.05 10 2 9.11 101 10 0.58 J s kgm m s 由于由于 ,所以電子運(yùn)動(dòng)速度相對(duì)來說仍然是

10、相當(dāng)所以電子運(yùn)動(dòng)速度相對(duì)來說仍然是相當(dāng) 確定的確定的,波動(dòng)性不起什么實(shí)際影響。波動(dòng)性不起什么實(shí)際影響。 x 不確定度關(guān)系不確定度關(guān)系 2 7 1 2 6 10/ eUmv vm s 例題：例題： 試求原子中電子速度的不確定量試求原子中電子速度的不確定量, 取原子的線取原子的線 度約為度約為 10-10 m。 由不確定關(guān)系式得由不確定關(guān)系式得 解解 原子中電子位置的不確定量原子中電子位置的不確定量,10 10 mr sm mkg sJ xm h x 5 101011. 92 1005. 1 2 108 . 5 1031 34 由玻爾理論可估算出氫原子中電子的軌道運(yùn)動(dòng)速度約為由玻爾理論可估算出氫原

11、子中電子的軌道運(yùn)動(dòng)速度約為 ,可見速度的不確定量與速度大小的數(shù)量級(jí)基本相同可見速度的不確定量與速度大小的數(shù)量級(jí)基本相同.因此原子因此原子 中電子在任一時(shí)刻沒有完全確定的位置和速度中電子在任一時(shí)刻沒有完全確定的位置和速度,也沒有確定的軌也沒有確定的軌 道道,不能看成經(jīng)典粒子不能看成經(jīng)典粒子,波動(dòng)性十分顯著。波動(dòng)性十分顯著。 sm 6 10 不確定度關(guān)系不確定度關(guān)系 例題例題: 實(shí)驗(yàn)測(cè)定原子核線度的數(shù)量級(jí)為實(shí)驗(yàn)測(cè)定原子核線度的數(shù)量級(jí)為10-14m，試，試 應(yīng)用不確定度關(guān)系來估算電子如被束縛在原應(yīng)用不確定度關(guān)系來估算電子如被束縛在原 子核中的動(dòng)能。從而判斷原子核是由質(zhì)子和子核中的動(dòng)能。從而判斷原子核

12、是由質(zhì)子和 電子組成是否可能。電子組成是否可能。 由于動(dòng)量的數(shù)值不可能小于它不確定量，故電子的動(dòng)量由于動(dòng)量的數(shù)值不可能小于它不確定量，故電子的動(dòng)量 mr 14 10 解解 取電子在原子核中位置的不確定量取電子在原子核中位置的不確定量 由不確定度關(guān)系得由不確定度關(guān)系得 smkg p m sJ r 20 102 1005. 1 2 1053. 0 34 34 smkgp 20 1053. 0 不確定度關(guān)系不確定度關(guān)系 理論證明，電子具有這樣大的動(dòng)能足以把原子核擊碎，理論證明，電子具有這樣大的動(dòng)能足以把原子核擊碎， 所以，把電子禁錮在原子核內(nèi)是不可能的，這就否定了原子核所以，把電子禁錮在原子核內(nèi)是不

13、可能的，這就否定了原子核 是由質(zhì)子和電子組成的假設(shè)。是由質(zhì)子和電子組成的假設(shè)。 JcmEEk 122 0 106 . 1 電子在原子核中的動(dòng)能電子在原子核中的動(dòng)能 故故JcmcpE 1242 0 22 106 . 1 42 0 222 cmcpE 考慮到電子在此動(dòng)量下有極高的速度，需要應(yīng)用相對(duì)論考慮到電子在此動(dòng)量下有極高的速度，需要應(yīng)用相對(duì)論 的能量動(dòng)量公式的能量動(dòng)量公式 不確定度關(guān)系不確定度關(guān)系 例題例題: 假定電子在假定電子在 某激發(fā)態(tài)的平均壽命是某激發(fā)態(tài)的平均壽命是 若從某激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷的輻射波長是若從某激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷的輻射波長是400nm， 求：譜線寬度求：譜線寬度 8 1 10,

14、s 2 tE 2 hc E hc E 分析：分析： -3 波函數(shù) 薛定諤方程 一一. 概率波概率波 物質(zhì)波是一種概率波物質(zhì)波是一種概率波,反映粒子在空間分布的幾率反映粒子在空間分布的幾率 電電 子子 的的 雙雙 縫縫 衍衍 射射 28個(gè)電子通過雙縫個(gè)電子通過雙縫 1000個(gè)電子通過雙縫個(gè)電子通過雙縫 10000個(gè)電子通過雙縫個(gè)電子通過雙縫 數(shù)百萬個(gè)電子通過雙縫數(shù)百萬個(gè)電子通過雙縫 物質(zhì)波的物理意義可以通過與光波的對(duì)比來闡明物質(zhì)波的物理意義可以通過與光波的對(duì)比來闡明 物質(zhì)波的物質(zhì)波的 強(qiáng)度大強(qiáng)度大 光強(qiáng)度大光強(qiáng)度大 光波振幅平方大光波振幅平方大 （波動(dòng)觀點(diǎn)）（波動(dòng)觀點(diǎn)） 光子在該處出現(xiàn)光子在該處

15、出現(xiàn) 的概率大的概率大 （微粒觀點(diǎn)）（微粒觀點(diǎn)） 波函數(shù)的平方大波函數(shù)的平方大 單個(gè)粒子在該處出現(xiàn)單個(gè)粒子在該處出現(xiàn) 的概率大的概率大 （波動(dòng)觀點(diǎn)）（波動(dòng)觀點(diǎn)） （微粒觀點(diǎn)）（微粒觀點(diǎn)） 波函數(shù)波函數(shù) 二二. 波函數(shù)波函數(shù) 描述物質(zhì)波的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述物質(zhì)波的數(shù)學(xué)表達(dá)式 一束沿一束沿x軸傳播的單色平面波軸傳播的單色平面波 )/(2cos),(xvtAtxy 指數(shù)形式指數(shù)形式 )/(2 ),( xvti Aetxy 1. 波函數(shù)波函數(shù) 沿沿x軸運(yùn)動(dòng)的單能粒子束軸運(yùn)動(dòng)的單能粒子束 )/(2 0 ),( xvti etx h phE, 自由粒子的波函數(shù)自由粒子的波函數(shù) )( 0 ),( pxEt i

16、etx 2. 概率密度概率密度 在空間一很小區(qū)域在空間一很小區(qū)域( (以體積元以體積元dV=dxdydz表征表征) )出現(xiàn)粒子的概率出現(xiàn)粒子的概率 為：為： dVdV * 2 2 概率密度概率密度 表示在某一時(shí)刻在某點(diǎn)處單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率。表示在某一時(shí)刻在某點(diǎn)處單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率。 3. 波函數(shù)的歸一化條件波函數(shù)的歸一化條件 粒子在任意時(shí)刻在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率等于粒子在任意時(shí)刻在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率等于1 1 2 dV 波函數(shù)的歸一化條件波函數(shù)的歸一化條件 4. 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件 單值單值, 有限有限, 連續(xù)連續(xù), 歸一化歸一化 三三. 薛定鍔方程薛定鍔方程 薛定鍔薛

17、定鍔 波函數(shù)與粒子所處條件的關(guān)系式波函數(shù)與粒子所處條件的關(guān)系式 1. 薛定鍔方程薛定鍔方程 一維非相對(duì)論形式一維非相對(duì)論形式 U xmt i 2 22 2 三維三維 U mt i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zyx 拉普拉斯算符拉普拉斯算符 2. 定態(tài)薛定鍔方程定態(tài)薛定鍔方程 勢(shì)能與時(shí)間無關(guān)時(shí)的波函數(shù)勢(shì)能與時(shí)間無關(guān)時(shí)的波函數(shù) Et i ertr )(),( 空間坐標(biāo)空間坐標(biāo) 函數(shù)函數(shù) 時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù) (r)滿足滿足 0)( 2 2 2 UE m 求解某些特殊情況的波函數(shù)求解某些特殊情況的波函數(shù) 注意注意: 薛定鍔方程是量子力學(xué)的基本方程，好似牛頓定律是經(jīng)典薛定鍔方程是量子力學(xué)的基

18、本方程，好似牛頓定律是經(jīng)典 力學(xué)的基本方程一樣。它不是從理論推導(dǎo)出來的，它的正確性力學(xué)的基本方程一樣。它不是從理論推導(dǎo)出來的，它的正確性 只能由實(shí)驗(yàn)來決定。經(jīng)典力學(xué)和牛頓定律適用于宏觀粒子，薛只能由實(shí)驗(yàn)來決定。經(jīng)典力學(xué)和牛頓定律適用于宏觀粒子，薛 定鍔方程適用于微觀粒子。定鍔方程適用于微觀粒子。 試求：（試求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) A A； （2 2）粒子在）粒子在0 0到到 a a/2/2區(qū)域出現(xiàn)的概率；區(qū)域出現(xiàn)的概率； （3 3）粒子在何處出現(xiàn)的概率最大？）粒子在何處出現(xiàn)的概率最大？ 例：作一微運(yùn)動(dòng)的粒子被束縛在例：作一微運(yùn)動(dòng)的粒子被束縛在0 xa的范圍內(nèi)。的范圍內(nèi)。 已知其波函數(shù)為已知其

19、波函數(shù)為 )sin()(axAx 解解: :（1 1）由歸一化條件得）由歸一化條件得: : （2 2）粒子的概率密度為）粒子的概率密度為: : 1d)(sin 2 0 2 xaxA a 波函數(shù)波函數(shù) a x a 2 2 sin 2 2 A a 在在0 xa/2區(qū)域內(nèi)，粒子出現(xiàn)的概率為：區(qū)域內(nèi)，粒子出現(xiàn)的概率為： （3 3）概率最大的位置應(yīng)滿足）概率最大的位置應(yīng)滿足 因因00 xa, , 2 1 dsin 2 dV 2 0 2 2 0 2 x a x a aa 0 d )(d 2 x x 波函數(shù)波函數(shù) 2, 1, 0 2 kk a x 粒子出現(xiàn)的概率最大粒子出現(xiàn)的概率最大。 2 a x 故得故得

20、 25-4 一維勢(shì)阱一維勢(shì)阱 一一. 一維無限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱 在一維空間運(yùn)動(dòng)的粒子的勢(shì)能在某區(qū)域內(nèi)為零在一維空間運(yùn)動(dòng)的粒子的勢(shì)能在某區(qū)域內(nèi)為零,在此區(qū)域外為無在此區(qū)域外為無 限大。限大。 x 0a U(x) U= U= U=0 二二. 由定態(tài)薛定鍔方程求波函數(shù)由定態(tài)薛定鍔方程求波函數(shù) 1. 根據(jù)具體問題寫出勢(shì)能函數(shù)根據(jù)具體問題寫出勢(shì)能函數(shù) 勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù) )(xU ax 0, 0 axx, 0, 勢(shì)阱內(nèi)勢(shì)阱內(nèi) U=0 保守力與勢(shì)能之間的關(guān)系：保守力與勢(shì)能之間的關(guān)系： 在勢(shì)阱邊界處，粒子要受到無限大、指向阱在勢(shì)阱邊界處，粒子要受到無限大、指向阱 內(nèi)的力，表明粒子不能越出勢(shì)阱內(nèi)的力，表明粒

21、子不能越出勢(shì)阱, ,即粒子在勢(shì)阱即粒子在勢(shì)阱 外的概率為外的概率為0 0。 dx xdU F )( 2. 根據(jù)條件寫出定態(tài)薛定鍔方程根據(jù)條件寫出定態(tài)薛定鍔方程 定態(tài)薛定鍔方程定態(tài)薛定鍔方程 axE m dx d 0, 0 2 22 2 k 2 0 2 2 2 k dx d 通解通解 kxBkxAxsincos)( 0)()0(a 3. 由邊界條件及歸一化條件求出由邊界條件及歸一化條件求出A,B,k的值的值 0, 0kB , 3 , 2, 1, n a n k 0)(sin, 0)0(akaBA 因粒子只能在勢(shì)阱內(nèi)因粒子只能在勢(shì)阱內(nèi) axx a n Bx 0,sin)( 1 2 1 )( 2 2

22、 aBdxx a B 2 由歸一化條件由歸一化條件 4. 寫出波函數(shù)寫出波函數(shù) axx a n a x 0,sin 2 )( 討論討論: 1. 概率密度（概率密度（一維無限深勢(shì)阱）一維無限深勢(shì)阱） 不受外力的粒子在不受外力的粒子在0 0到到 a a 范圍內(nèi)范圍內(nèi) 出現(xiàn)概率處處相等。出現(xiàn)概率處處相等。 量子論觀點(diǎn)：量子論觀點(diǎn)： 0 a =1 =2 =3 =4n n n n )( x 0a 2 )( x 當(dāng)當(dāng) 很大時(shí)，很大時(shí)， 量子概率分布量子概率分布 就接近經(jīng)典分就接近經(jīng)典分 布布 n 經(jīng)典觀點(diǎn)：經(jīng)典觀點(diǎn)： )(sin 2 )( 2 2 x a n a x 概率密度隨概率密度隨x變化變化, 與與

23、n有關(guān)有關(guān) 如果是有限深勢(shì)阱，粒子出現(xiàn)的概率分布如果是有限深勢(shì)阱，粒子出現(xiàn)的概率分布 如果勢(shì)阱不是如果勢(shì)阱不是 無限深，粒子的能無限深，粒子的能 量又低于勢(shì)壁，粒量又低于勢(shì)壁，粒 子在阱外不遠(yuǎn)處出子在阱外不遠(yuǎn)處出 現(xiàn)的概率不為零。現(xiàn)的概率不為零。 2 )(x 0a 一維無限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱 2. 粒子能量粒子能量 2 2 2 n mE k a n k 2 2 22 2 n ma En 不同能級(jí)不同能級(jí),粒子的波函數(shù)不同粒子的波函數(shù)不同 能量取分立值（能級(jí)），能量取分立值（能級(jí)），能量量子化能量量子化是粒是粒 子處于束縛態(tài)的所具有的性質(zhì)。子處于束縛態(tài)的所具有的性質(zhì)。 最小能量最小能量 22

24、1 2 2 E ma 也稱為基態(tài)能或零點(diǎn)能。也稱為基態(tài)能或零點(diǎn)能。 零點(diǎn)能的存在與不確定度關(guān)系協(xié)調(diào)一致。零點(diǎn)能的存在與不確定度關(guān)系協(xié)調(diào)一致。 2 1n En E 稱為粒子在無限深勢(shì)阱中能量的本征值稱為粒子在無限深勢(shì)阱中能量的本征值 （一維無限深勢(shì)阱）（一維無限深勢(shì)阱） 得到兩相鄰能級(jí)的能量差得到兩相鄰能級(jí)的能量差 2 2 8 1 )12( ma h nn nEEE 例題例題 ： 設(shè)想一電子在無限深勢(shì)阱，如果勢(shì)阱寬度分別設(shè)想一電子在無限深勢(shì)阱，如果勢(shì)阱寬度分別 為為1.010-2m和和10-10m 。試討論這兩種情況下。試討論這兩種情況下 相鄰能級(jí)的能量差。相鄰能級(jí)的能量差。 解：解： 根據(jù)勢(shì)阱

25、中的能量公式根據(jù)勢(shì)阱中的能量公式 當(dāng)當(dāng)a=1cm時(shí)時(shí) 2 8 2 2 2 2 2 22 nnE ma h ma eVn Jn nE mkg sJ 215 234 2 )10(1011. 98 )63. 6( 1037. 3 1004. 6 2231 234 可見兩相鄰能級(jí)間的距離隨著量子數(shù)的增加而增加，而且與可見兩相鄰能級(jí)間的距離隨著量子數(shù)的增加而增加，而且與 粒子的質(zhì)量粒子的質(zhì)量m和勢(shì)阱的寬度和勢(shì)阱的寬度a有關(guān)。有關(guān)。 一維無限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱 在這種情況下，相鄰能級(jí)間的距離是非常小的，我們可在這種情況下，相鄰能級(jí)間的距離是非常小的，我們可 以把電子的能級(jí)看作是連續(xù)的。以把電子的能級(jí)看作

26、是連續(xù)的。 eVnE 2 7 .37 當(dāng)當(dāng)a=10-10m時(shí)時(shí) eVnE7 .37)12( 在這種情況下，相鄰能級(jí)間的距離是非常大的，這時(shí)在這種情況下，相鄰能級(jí)間的距離是非常大的，這時(shí) 電子能量的量子化就明顯的表現(xiàn)出來。電子能量的量子化就明顯的表現(xiàn)出來。 一維無限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱 n n n E E ma h ma h n n2 2 2 8 2 2 2 8 2 n n n E E 可見能級(jí)的相對(duì)間隔可見能級(jí)的相對(duì)間隔 隨著隨著n的增加成反比地減小。當(dāng)?shù)脑黾映煞幢鹊販p小。當(dāng) 時(shí)時(shí) ， 較之較之 要小的多。這時(shí)，能量的量子化效應(yīng)就不顯要小的多。這時(shí)，能量的量子化效應(yīng)就不顯 著了，可認(rèn)為能量是連

27、續(xù)的，經(jīng)典圖樣和量子圖樣趨于一致。所著了，可認(rèn)為能量是連續(xù)的，經(jīng)典圖樣和量子圖樣趨于一致。所 以，經(jīng)典物理可以看作是量子物理中量子數(shù)以，經(jīng)典物理可以看作是量子物理中量子數(shù) 時(shí)的極限情時(shí)的極限情 況。況。 n E n E n 一維無限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) ,能級(jí)的相對(duì)間隔近似為能級(jí)的相對(duì)間隔近似為 1n 例題：例題： 試求在一維無限深勢(shì)阱中粒子概率密度的最大試求在一維無限深勢(shì)阱中粒子概率密度的最大 值的位置。值的位置。 解：解： 一維無限深勢(shì)阱中粒子的概率密度為一維無限深勢(shì)阱中粒子的概率密度為 , 3 , 2 , 1sin)( 2 2 2 nxn a n an 將上式對(duì)將上式對(duì)x求導(dǎo)

28、一次，并令它等于零求導(dǎo)一次，并令它等于零 2 2 ( ) 4 0 sincos0 n dx nnn dxaa a x xx 因?yàn)樵谮鍍?nèi)，即因?yàn)樵谮鍍?nèi)，即 0sin,0 xax a n 只有只有 0cos x a n 一維無限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱 于是于是 1, 2 , 1 , 0)12( 2 nNNx a n 由此解得最大值得位置為由此解得最大值得位置為 n a Nx 2 )12( 例如例如 最大值位置最大值位置 0,1 Nn ax 2 1 ,1,0,2 Nn最大值位置最大值位置aax 4 3 4 1 , ,2,1,0,3 Nn最大值位置最大值位置, 6 5 6 3 6 1 aaax 可見，概

29、率密度最大值的數(shù)目和量子數(shù)可見，概率密度最大值的數(shù)目和量子數(shù)n相等。相等。 一維無限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱 n a x 這時(shí)最大值連成一片，峰狀結(jié)構(gòu)消失，概率分布成為這時(shí)最大值連成一片，峰狀結(jié)構(gòu)消失，概率分布成為 均勻，與經(jīng)典理論的結(jié)論趨于一致。均勻，與經(jīng)典理論的結(jié)論趨于一致。 相鄰兩個(gè)最大值之間的距離相鄰兩個(gè)最大值之間的距離 如果阱寬如果阱寬a不變，當(dāng)不變，當(dāng) 0 x n 時(shí)時(shí) 一維無限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱 25.5 勢(shì)壘與隧道效應(yīng)勢(shì)壘與隧道效應(yīng) 一一. 勢(shì)壘勢(shì)壘 x 0 U U=0 U=U0 勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù) )(xU 0, 0 x 0, 0 xU 二二. 波函數(shù)波函數(shù) 能量能量E(EU0)

30、的粒子從左邊射入的粒子從左邊射入 0, 0 2 22 2 xE m dx d 定態(tài)薛定鍔方程定態(tài)薛定鍔方程 0, 0)( 2 0 22 2 xUE m dx d 令令 2 0 2 2 2 2 1 )(2 , 2 UEm k mE k 0,)( 11 1 xBeAex xikxik 0,)( 2 2 xCex xk 入射粒子入射粒子 反射粒子反射粒子 )( 三三. 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng) 經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué) 能量能量E(E0的區(qū)域的區(qū)域 量子力學(xué)量子力學(xué) (*)式說明粒子的波函數(shù)在式說明粒子的波函數(shù)在x0的區(qū)域逐漸衰減的區(qū)域逐漸衰減,但不為零但不為零 量子力學(xué)中量子力學(xué)中,粒子能穿入勢(shì)能大于其總能量的區(qū)域粒子能穿入勢(shì)能大于其總能量的區(qū)域 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng) 四四. .掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡(STM)(STM) 原理：原理： 利用電子的隧道效應(yīng)。利用電子的隧道效應(yīng)。 金屬樣品外表面有一層金屬樣品外表面有一層 電子云，電子云的密度隨著電子云，電子云的密度隨著 與表面距離的增大呈指數(shù)形與表面距離的增大呈指數(shù)形 式衰減，將原子線度的極細(xì)式衰減，將原子線度的極細(xì) 的金屬探針靠近樣品，并在的金屬探針靠近樣品，并在 它們之間加上微小的電壓，它們之間加上微小