1、關于圓錐曲線的中點弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何中的重要內容之一，也是高考的一個熱點問 題。這類問題一般有以下三種類型：（1 ）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）求弦中點的坐標問題。其解法有代點相減法、設而不求法、參數法、待定系數法及中心 對稱變換法等。、求中點弦所在直線方程問題2 2例1過橢圓 1內一點M （2，1 ）引一條弦，使弦被點 M平分，求這條弦所在的164直線方程。解法一：設所求直線方程為y-1=k（x-2），代入橢圓方程并整理得:2 2 2 2（4k1）x8（2k k）X 4（2k 1）又設直線與橢圓的交點為A（ X1, y1），B

2、（ X2, y2），8（2k2 k）4k21X1x2又M為AB的中點，所以X1X2224(2k k)4k216 0則X1,X2是方程的兩個根，于是1解得k2故所求直線方程為 x 2y解法二：設直線與橢圓的交點為A( X1, y1)，B（ X2,y2），M （ 2，1 ）為 AB 的中點,所以 X1X24， y1y22，2又A、B兩點在橢圓上，則X14y1216，2 2X2 4y216，2222兩式相減得（X1X2)4(y1y2 )0，所以y1 y2X1X21，即kAB1X1x24( y1y2)22，故所求直線方程為X2y 40。解法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A( X,y ），由于中點為m

3、（ 2，1），則另一個交點為B(4-:x ,2 y），因為A、B兩點在橢圓上，所以有X2 4y1（2（4 x）24（2 y）216兩式相減得x 2y 40，由于過A、B的直線只有一條, 故所求直線方程為 X二、求弦中點的軌跡方程問題2y 40。例2過橢圓J6436解法一-：設弦PQ中點則有9x122216 y129x216y2又因為X1X2 2x，22576576yi1上一點P (-8 , 0 )作直線交橢圓于Q點，求M ( x, y)，弦端點P2兩式相減得9(x1y22y，所以9PQ中點的軌跡方程。(xi,yi)，Q( X2,y2)2x2 )2x(捲216(y12y2)X2)162y(yiy

4、2) 0，y1y2所以x1x29x，而k16y9xPQy 0，故x ( 8)16y化簡可得9x272x 16y20( x 8 )。解法二：設弦中點M ( x, y), Q ( x1, y1)，由xXiy1-可得為 2x 8，y 2y，22又因為Q在橢圓上，所以乞642y- 136，即坐64曲1，36所以PQ中點M的軌跡方程為(x 4)2168 )。三、弦中點的坐標問題2例3求直線y x 1被拋物線y4x截得線段的中點坐標。解：解法一：設直線 y xyP(x0,y)，由題意得2y21與拋物線y 4x交于A(X1,y1)， B(X2, y?)，其中點x 14x，消去y得(x 1)24x，即x2 6

5、x 10，x1x2所以X0-223，yXo12，即中點坐標為(3,2)。解法二：設直線2 由題意得 y12 y24x14x21與拋物線兩式相減得2y24x 交于 A(X1, y1)， Bg y2)，其中點 P(x, y)，y124(X2xj，所以 Myi)yi)X2Xi所以yi y 4，即yo2，Xoyo 13，即中點坐標為（3,2）。上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題的一些基本解法。論F面我們看一個結引理的中點，則F o上的兩點，p（xo，yo）為弦ABAxoDk AB(2CyoE o)Cy oE0設 A（Xi，yi）、B2(X2 , y2)則 Axi小2CyiDxiEyiF

6、 o.Ax22小2Cy2Dx2Ey2F o(i) (2)得 A(XiX2)(XiX2)C(yiy2)(yi2)D(Xi.2 Axo(XiX2)2Cyo(yi y2) D(xiX2)E(yiy2).(2Axo D)(xiX2) (2CyoE)(yiy2)0yiy22Axo Dk AB 2Cy o E o. Xix2xix22Cyo E即22設A、B是二次曲線c： Ax Cy Dx EyB時，上面的結論就是過二次曲線C上的點2 Axo D2Cyo E ）(1)X2)2推論1設圓x(2)E(yi y2) o2 Axo D2Cyo E。（說明：當P （X。，yo）的切線斜率公式，即2y Dx Ey F

7、 o的弦ab的中點為P (xo, yo)（yo斜率為）0)k AB2xo D2xo D2yoE 。（假設點P在圓上時，則過2yoE 點P的切線推論2設橢圓2x2a2y_b21的弦AB的中點為P（Xo, yo）yo對a wb也成立。假設點 ?西-a yo。(注:o)，則b!?xo-akP在橢圓上，則過點 P的切線斜率為2x2ayo2 y_ b2的弦AB的中點為p（Xo,yo） k豈？直 設點P在雙曲線上，則過 P點的切線斜率為ayo）推論3設雙曲線yo）則ABa y。 （假2推論4設拋物線y 2px的弦AB的中點為P（Xo,yo）（yokABo)則_pyo 。（假設點p在拋物線上，則過點 P的切

8、線斜率為yo我們可以直接應用上面這些結論解決有關問題，下面舉例說明。2X例1、求橢圓25解：設P(x, y)是所求軌跡上的任一點,75(2L ii6 斜率為3的弦的中點軌跡方程。ci6 cX3 ?則有25 y,故所示的軌跡方程為 i6x+75y=o.241例2、已知橢圓75).24i2Xa1(ab2o),A、B是橢圓上兩點，線段 AB的垂直平分線I與X軸2 ,2a b相交于P(Xo,o)，求證:Xo證明：設AB的中點為b2 ?xiB2 aT(xi，yi)，由題設可知2aAB與x軸不垂直， yi 0 ,yikiyi的方程為：2x aXi 272a b丄AB2咅?bxiXi)Xi? xo/IXi

9、I a令y=o2aa2 byi2m?f(Xo Xi)a2b2Xob22C: y x，直線例3、已知拋物線l：y k(x i) i,要使拋物線c上存k的取值范圍是什么?在關于I對稱的兩點,解：設C上兩點A、中點為P(Xo, yo)B兩點關于1對稱，ABo)yo_Pyo2yoik k(Xoi)i,P在拋物線內1k24yok. 2/P I yoi丄iXoP(-2k2i ik32kk(xo i) i,ik)44k0,2(k 2)(k 2k 2)2 k 0.4k與拋物線有關的弦的中點的問題（1）中點弦問題：y =處+1與衛+2 +加-尸=1交于兩點I且這兩點關于直綣對稱，貝臨+占=? 令兩交點是（兀心（

10、m 都滿足二次曲踐方程.嗎+乃+州-兒i（ 4.,匕十燈十占花-兒二K2） 有（血-毛）（無十叩 + Oi-対3十珈十乃（用-小一01-旳）=2同瞻01-巧有（可+可）+単二馬5+幻+心-竺二咚-g（珂一延）（無一可塾二就是直線的斜率印（珂+吃n（”十旳）就是交點中點坐標的兩倍.由關于另一 01 -花）直線對稱，所加7 且奩點的中點就是兩直線交點為（丄丄），所旳可+工立二1十乃二h所以又有1十（1）也（1） =U得至！|g-l卜（上題麻煩了。是圓不用中點法）2例1由點（2,0）向拋物線y4x引弦，求弦的中點的軌跡方程。分析：解決問題的關鍵是找到弦的端點 A、B在直線上的性質和在拋物線上的性質的

11、內在聯系。解法1 ：利用點差法。設端點為A （xi, yi），Bg y2），則2yi4xi，y22 4x2 ，2 2兩式相減得y2yi4( x2 xi)，式兩邊同時除以X2Xi，得（y2yi)y2yii 4，xXi設弦的中點坐標為（x, y），則捲 x2 2x， y!y2 2y，y y2 y1又點(x, y)和點(2,0)在直線AB上，所以有-。x 2 x2 x1將、代入得2y y4，x 22整理得y 2(x2)。故得中點的軌跡方程是 y22(x2)在拋物線y2 4x內部的部分。解法2 :設弦AB所在直線的方程為y k(x 2),由方程組y2 k(x 2) y2 4x消去x并整理得ky2 4y

12、 8k 0 ,設A(xi,yj、B(X2,y2)、中點(x, y)，對于方程(3)，由根與系數的關系，有 yiy1 y222y寧匚代入(1)得y 2(x 2)22故得所求弦中點的軌跡方程是y2(x 2)在拋物線y 4x內部的部分。評注：(i)求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標所滿足的關系式，本題所給出的兩種方法，都是找動點(x, y)與已知條件的內在聯系，列關于 x , y的關系式，進而求出軌跡的方程。(2 )弦中點軌跡問題2設拋物線 y2 px ( p 0)的弦 AB, A(x) , B(X2,，弦 AB 的中點 C(x, y),則有2yi2y22pxi2px2(1)2 2(1) (

13、 2)得 yiy22p(xi X2),.yi y22pxi X2 yi y2 將 yi y2 2yo, kABxix2，代入上式，并整理得kAB，這就是弦的斜率與中點yo的關系，要學會推導，并能運用。2A , B兩點，試求弦AB的中點軌例2已知拋物線y 2x ,過點Q(2,i)作一條直線交拋物線于跡方程。解：如圖，設弦 AB的中點為M，并設A、B、M點坐標分別為 區屏),(X2,y2), (x, y),根據題意設有2yi2xi，2y22x2，XiX22x，yiy22y，yiy2yiXiX2X2，代入一得，2y(yi y2) 2(xiyiy?i金 XiX2 , XiX2y代入得，2yyi 27x

14、 2，即（y ）x -24X2)，評注：本題還有其他解答方法，如設2AB的方程為y k(x 2)1，將方程代入y 2x，利用根與系數的關系，求出弦中點的軌跡方程。專題：直線與拋物線的位置關系及中點弦問題(1) 住直關系：改 XI 純+, 拋物線 / = 2/ia(p0)聯立解時：Arv2 - 2 py + 2 pm = 0護若R = 0程線與拋新線的的稱軸平行或重合、直線與拋物線和童丁 一點；若t融0.A0=i線與拋物線相交，有購個交點：直線與如物線和切，冇一個交點：濁u(J=肖線與牠物線相離，無交念(2) 相交議艮 育線與惻惟曲緘相交的掘氏公北設直姣I:y=kx+n,圓惟曲線:Ax,v=0p

15、它If J的交點為P gP2 gj*F(x, v) = 0,H rtl5.泊去、得測iwr+m+yuO fm削).gir 4樺“y-kx-n設A(xyyB(x2,y2,則弦荒公式為：則I AB I二Ji + 2 Jg +七尸一仏血 若聯丸悄去x得y的一元二次方程；叭廠+ny + q = 0(m豐0)設川嶺加),八 則I A占1=1 + ：亍(片十苗2) _4ygv k(3)典例分析：例1已知拋物線的方程為屮7直紉過定點P卜2川側率為k,k為柯值時，直線L 與拋物線三4x:只有一個公共點;有兩個仝共點;沒有公共點？解：由題意，設直線/的方程為丿-1 =燈工+2)由方程組(3)y = 4x稍夫兩上

16、 y -4y + 4(2k + l)-O(1)(1)當k = 0時由方程(1)得y = L將y = 1代入護=4xtx = -.這時直線/與拋物線只有亠個公共點扌)當kHO時，方程的判別式為芒A=-16(2jt2+A-l)當山時上卩21? +kJ = 0,解得 k=-lfk = -i上1于是當k1我扌時，方程只有一個解，從而方程組只有一個解此時直線1與櫥物線有一個交點轄(2)當A 0時即2F + K-1Y 0.解得1上2于冕當-14 冷 時力程有兩個解,從而方程組有兩個解.此時直綣I與撫物線茍兩午交點。當A0,解得”或 i于#當k；時羅(1)沒村解從附 方裡銀沒有解此時直竣I與拋線沒有交處.姙

17、所堆-lk；kO0f,直線ft拋的妹育兩個交點；當k-Lk-7或kT時，直皴和拋物線有一個交點;當kA0|2x-y-3 = 0所以直線/的方程為yl = 2(X-2)eP2xyV = 0說明，中點找問滋的常見解決方法，點童法例己知I拋物緇的頂點在說點您林在r軸的正半軸Imiy = -4x + J議拋物線所蔽 得的眩Ati的中點的縱坐標為2 .仃)求拋物線的方程：(2)是否存在異于原蟲的定點乩 便得過H的動N線與拋物線和交I”(2兩點 J1W PQ為貢袴的圖過原點？解(1)：由條件可設攤物線方程為二y2 =2px(pQ)聯立肖線y = -4x化簡得：2.y2 + p.v-p = t)設(七，兒)

18、則”十為二-=-4 a p = 8拋物線方程為，y2 6xC2)設存往滿足條件的邇點黠 設動育絨方柑為y二匕十拭火工聯事拋物線方程化簡 得：ky2 -16y + 16/7 = 0 設尸(比.y,),Qx2, y2) WJx,x2 + y, j2 = 0即：b = -6k 故動頁線方程為 j = fe-16it = /r(x-16),U6, 0)當直蜒斜率不存在時，設直線方穆為龍=%,易解得勺=16 綜上：存在異于原點的定點廿(16* 0)満足條PN例4已知應線/過宦點AMO)I1與拋輛線C： / = 2;u(p0)交1卩、Q兩乩 甘以PQ 為程能的員1恒過原點6求卩的ffb躺可設就線的力程為x

19、 = ffly + 4代入y=2p.t iJ y2 2 pmy8 p = 0 *由題意知，()P1OQ+則0P 0Q = 0 即 j|jr2 + yy2 =168p = 0此時.拋物線的方科為*例5亦拋物線曠=64才上求一點.便到鬥線4x + 3y + 46 = 0的腫.離最短.并求出最短 距離。鵬徴與直線4x十3、十朋=0平訂出勺橢惻相切的直線方稈為；x-y + m = 0聯 V2 +48v-48 = 0 (*STrA = 0解咼m = -12故切紅方程為，4a + 3y-12 = O代入XJ曲線萬程解得(9-24 )最隔曲禺# = 22例6求直線y x 1被拋物線y 4x截得線段的中點坐標

20、。解：解法一：設直線 y x 1與拋物線y2 4x交于AdyJ , B(X2, y?)，其中點y x 1P(xo,y)，由題意得2，y 4x消去 y 得(x 1)2 4x，即 x2 6x 10，所以X。x1x23， y。X。12，即中點坐標為(3,2)。B(x2, y2)，其中點 P(x。，yo)，2解法二：設直線y x 1與拋物線y 4x交于A(x.|, y1)，2由題意得 y12 4x1，兩式相減得y?2 y12 4(x2人)， y4x2所以(y2 y1)(y2y1)x2 x1所以y1 y24，即yo2，x。y。 13，即中點坐標為(3,2)。用點差法解圓錐曲線的中點弦問題與圓錐曲線的弦的

21、中點有關的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式及參數法求解。若設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(Xi,yJ、B(X2,y2)，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。本文用這種方法作一些解題的探索。、以定點為中點的弦所在直線的方程2 2例i、過橢圓X y i內一點M (2,i)引一條弦，使弦被 M點平分，求這條弦所在直線的方程。i6 4解：設直線與橢圓的交點為

22、A(Xi,yJ、B(X2,y2)M (2,1)為AB的中點Xix24yiy22又A、B兩點在橢圓上，則2Xi4yi* 2 i6，2 2x2 4y2 i62兩式相減得(Xi2X2 ) 4( yi2、y2 )于是(Xi X2)(Xi X2) 4( yiy2)(yiy2)%y2XiX2Xi X24( yiy2)1(x 2)，即 x 2y 40。2M (i,i)能否作一條直線I，使I與雙曲線交于 A、B，且點2例2、已知雙曲線x y i，經過點2M是線段AB的中點。若存在這樣的直線 l，求出它的方程，若不存在，說明理由。，然后驗證它是否滿足題設的條件。策略：這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的

23、直線本題屬于中點弦問題，應考慮點差法或韋達定理。解：設存在被點 M平分的弦AB，且A(xi,yj、B(X2,y2)則 x1 x22 y1 y222Xi2yi21,2X2兩式相減，得1 y.| y2(xi X2)(xiX2)(yi y2)(yi y2) 0 kAB22 Xi X2故直線 AB: y i 2(x i)y i 2(x i)由 2 y2消去y，得2x2 4x 3 0xi2(4)24 2 380這說明直線AB與雙曲線不相交，故被點M平分的弦不存在，即不存在這樣的直線評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果，請務必小心。由此題可看到中點弦 問題中判斷點的 M位置非常重要。(i)若

24、中點M在圓錐曲線內，則被點 M平分的弦一般存在;若中點M在圓錐曲線外，則被點 M平分的弦可能不存在。、過定點的弦和平行弦的中點坐標和中點軌跡2 2例3、已知橢圓X_75251的一條弦的斜率為13，它與直線x 2的交點恰為這條弦的中點Q(X2, y2)，弦 PQ 的中點 M(Xo,y)，則 x求點M的坐標。X-Ix22x01 ， y1y2 2y02222又y1X1 1y2X2 175257525兩式相減得25( y1y2)(y1y2)75(x1X2)(X1X2)0y1y23即 2y(y1y2)3( x1x2)0X1X22y0, y1y3o1k133，即y。X1X22y02解：設弦端點P(x1,y1)、1 1點M的坐標為(一，)。2 21,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。2 2例4、已知橢圓-7525Q(X2,y2)，弦 PQ 的中點 M(x, y)，則x1 x2 2x，y1y22222又y1厘1y2X275257525兩式相減得25( y1y2)(y1y2)解：設弦端點P(X1,yJ、2y175(x1x2)(x-ix2)00，即 y(y1 y2) 3x(x1 x?)X1y2X23xyX1X23xy3，即 x y 0x由丄75y2 05,3 5.35.35.3、疋1，得P(-r)Q(T) 25點M在橢圓內5它的斜率為3的弦中點的軌