1、第五章流體波動 流體的波動，是流體微團由于受力的作用，偏離 平衡位置，并圍繞某個平衡位置產生振動，振動在空 間的傳播而形成的。 波動是流體運動的一種重要形式；尤其是地球物 理流體力學和大氣動力學中的一種最為重要的流體運 動形式。 重力水面波 大氣500hPa等壓面高度的擾動 第一節 波動的基本概念 第二節 重力表面波和界面波 主要內容 第一節 波動的基本概念 一、波動的數學模型 一維水面波（微擾動）簡介： txhHtxh, 振動改變周圍流體的受力情況振動傳播 1 , H Htxh H txh 重力 浮力 輻散輻合 H 微擾動 擾動高度是一個波動函數正弦波（簡諧波）的形式 大家熟悉的簡諧振動：

2、一維簡諧波的形式： 其波動解為： 0 2 2 2 y dt yd tAycos tkxAycos txh, 擾動高度 波動圖象：反映了不同質點同一時刻分布圖象。 21 sincos),( tkxAtkxAtxh 同樣，任何物理量的擾動可表示成波動的形式，即： 縱波：流體質點振動方向與傳播的方向一致。如聲波。 橫波：振動方向與傳播方向垂直(垂直和水平橫波)。 波動與振動密切相關，在此基礎上對波動進行劃分： 垂直橫波：垂直方向振動，水平方向傳播，如重力波。 水平橫波：水平方向振動（南北振動），水平方向傳播 （東西傳播），例如大氣長波。 波動 二、波參數 廣義上：任何物理量在空間上、時間上的周期變化

3、，均 可稱為波動，并可以將其表示為波動函數的形式： tkxAycos 引入波動的概念之后，如果描述波動？ 波參數 物理參數-波參數表示了什么含義？ 波動的一般形式。 （1）振幅A：質點離平衡位置的最大距離位移。物理量距 平衡狀態的最大距離。 （2）周期T：完成一次全振動所需要時間，或波向前傳 播一個波長距離所需時間。 頻率 f ：單位時間內的振動次數，與周期互為倒數： T = 1 / f tkxAycos （3）波長 L ：波動在一個周期中傳播的距離，固定時 刻相鄰的兩同位相質點間的距離。 L L （4）位相：表示流體波動狀態的物理量。 等位相面：位相相等的各點所構成的平面（波面 或波陣面）。

4、 =常數 等位相面是平面，稱為平面波；等位相面是球面 的，稱為球面波。 tkx tkx 等位相面 （5）波數 k ：以相角 表示的單位距離內含有波長 為 L 的波的數目。 （6）圓頻率：以 相角表示的單位時間內振動的次數。 2 T/2 2 LkkL tLxktkx /22 2 波參數是表征波動的重要參數。因此，研究波動主要在 于求解各種表征波動的參數及其形成機制。 c kdt dx （7）相速 c ：等位相（波面）的傳播速度。 相速 c tkx=常數 三、二維、三維波動 上面討論的波動局限于一維情況，實際上，大多數波 動并非是一維的，這涉及到二維、三維波動的問題。 )cos(tykxkAS y

5、x 二維 )cos(tzkykxkAS zyx 三維 同樣，可以把二維、三維波動表示為如下的形式： 其中： 位相的普遍形式： ),(tzyxtzkykxk zyx zk yk xk t z y x / / / / y 方向的波數 x 方向的波數 z 方向的波數 圓頻率 垂直等位相面（波面）。 （即為波動傳播的方向） 定義波數矢量為： kkjkikK zyx 定義其模稱為全波數： zyxkkkKK 222 x y K x k y k 二維為例 x y xx kL/2 yy kL/2 波長：KL/2 二維為例 KL/2 定義 等位相面： =常數 trKkzj yi xr trK )/(dtrdC

6、CK K K KC 2 / 相速度： 注意： 共線，均為波移動的方向。 CK 、 不滿足矢量運算法則。 zyx CCC, zconstyxz yconstzxy xconstzyx kdtdzC kdtdyC kdtdxC /)/( /)/( /)/( , , , kCjCiCC zyx 而x，y，z方向上的移速： 顯然 第二節 重力表面波和界面波 日常生活中，最形象且最直觀的波動，就是由于 重力作用所產生的水面波動（重力表面波）以及 發生于不同性質流體界面的界面波，下面詳細地 討論此類波動。 重力水面波界面波 水 空氣 流體2 流體1 考慮一維水面波（水渠波 ）。假設水面平靜時水面 高度為H

7、（為一常數。 一、水面（表面）重力波 txhHtxh, 一旦給水面一個小的擾動，水面將不會再保持平靜的狀態 ，而要發生起伏不平的變化，水面高度 h 將隨空間位置和 時間而變化，即： 水面的擾動高度，或者是相對于平靜水面的偏差。 H x z txh, txh, 可以為正也可以為負，并滿足： 1 , H Htxh H txh txh, 也就是認為水面受到擾動后產生的起伏是很小的。 流體波動是流體的一種特定的運動形態，應該遵循流 體運動所滿足的基本方程。 不計粘性和旋轉效應，不可壓縮流體的一維波動水平 運動方程為： x p dt du 1 垂直方向近似滿足靜力平衡， 流體壓力可近似地表示為： 進一步

8、有： 0 ),(),(pztxhgtzxp x h g x p 1 流體壓力梯度力可用自由表面高度的梯度來表示。 x z txh, p0 z - z 自由表面形式的不可壓縮流體的連續方程為： 0Vh t h 0VhhV t h 0 x u h x h u t h 水平運動方程變化為： x h g dt du x h g z u w x u u t u 0 x u h x h u t h 問題： 波動的研究對象是物理變量的擾動部分； 方程是非線性的。 （方程的線性化問題小擾動線性化方法） 描寫波動運動的基本方程組 小（微）擾動線性化方法： AAA 任何物理量可以表示為： 基本量（平均量） 滿足原

9、來的方程 擾動量 為一小量，其二階以上項為高階小量， 可以略去。 A A 基本量（平均量） 擾動量 x hH g z u w x u u t u )( x h g z u w x u u t u 0 x u h x h u t h uuuuwwwwhHh 0)( )( x u hH x hH u t h t H 方程的線性化： （基本態為靜止的） x hH g z u w x u u t u )( 0)( )( x u hH x hH u t h t H 假如考慮上述的水面重力波為微擾動，也就是說與波動有 關的量都為微量，二次以上高階小量可以近似地略去。 x u H t h x h g t u

10、 波動方程：描寫水面 重力波的閉合方程組。 重力 浮力 輻散輻合 H x u H t h x h g t u 重力波形成機制的討論： 小擾動 ，重力作用 壓力梯度力 引起流體運動 ； （輻合、輻散） （擾動隨時間變化） 擾動 重力作用 輻合、輻散 水面波 0/xh 0/xhg 0/xu 0/tu 0/ th 2 2 2 2 x h gH t h x u H t h x h g t u 波動方程的求解： 為了求解上式，假設波動的形式解為： )(sin),(ctxkAtxh 將其代入以上方程，可得： 水面重力波的相速公式。 gHchgHkhck 222 同樣，為了求得 ，仍作如下假設： )(sin

11、)(sinctxkA H g ctxkBu 這就是水面重力波的流速場。 不難求得： ，于是最后有： )(sinctxkBu A H g B u 例5-2-1如圖所示，流速為 U（常數）的一維均勻水流， 表面受到擾動而產生重力表面波：根據水平運動方程及 不可壓連續方程： 采用線性化方法，導出描寫流體波動的方程組；求重 力表面波的相速度。 x p dt du 1 0 x u h x h u t h 自由表面 U x z txh, H x hH g z uU w x uU uU t uU )()()( )( )( x h g z u w x u u t u 0 x u h x h u t h uUu

12、wwwwhHh 0 )( )( )( )( x uU hH x hH uU t h t H 解：首先采用線性化方法，求波動方程組 x hH g z uU w x uU uU t uU )()()( )( )( 0 )( )( )( )( x uU hH x hH uU t h t H x h g x u U t u x u H x h U t h x h g x u U t u x u H x h U t h x h gu x U t )( x u Hh x U t )( 2 2 2 )( x h gHh x U t 消去參數 u 2 2 2 )( x h gHh x U t )(sin),(

13、ctxkAtxh gHUchgHkhcUk 222 )( 求重力表面波的相速度。 假設波動的形式解為： 基本氣流和波動的疊加 上面所討論的水面重力波，確切地將，它是空氣和 水之間的流體界面波，只是在討論問題的時候經常 不考慮空氣而已。 假如將以上討論中的空氣用油來代替，而把水表面 當作油與水的界面，這樣就構成了上輕下重的液體 分布情況。此時，如果再來考慮其中的波動問題， 就構成了下面討論的上輕下重的流體間的界面波。 二、上輕下重流體間的界面波 上輕下重的流體間的界面波: 上層流體 下層流體 1 2 21 研究對象 根據前面的討論，對于這樣的波動，考慮下層 流體作為研究對象，滿足如下的方程組：

14、x p dt du 2 1 0 x u h x h u t h 關鍵問題：上層流體的影響-主要是氣壓梯度項處理 流體的靜壓力只與流體的深度有關。當下層流體 表面發生擾動時，水平壓力梯度為零，且有： 110 gzpppp BA p0p0 AB z1 根據流體的靜力平衡方程 可見，對于不可壓流體， 將不隨高度z變化。 0)(, 0)( x p z or z p x g z p x p 1 由于： 在下層流體中，氣壓梯度力項為： gx x h pgx x h pp BB22 )()( gx x h pgx x h pp AA11 )()( )( 1 lim 1 )( 1 lim 11 0 2 0 22 AB x AB x pp x pp xx p p0p0 A A A” B B B” z1 x x h x 也就是說，在這種情況下，仍然可以采用受擾后的界面 坡度來表示流體壓力的水平梯度。 于是，最終可以將氣壓梯度力項表示為： x h g x h g x p 2 1 2 1 2 11 1 把氣壓梯度力項的代入方程，可得流體界面波下 層流體的運動方程組： x u H t h x h g t u 2 1 1 0 x u h x h u t h x h g dt du 2