1、統計之都COS Capital Of Statistics人大概率統計考研歷年真題精華版(02-07) By fan聲明：這是由 fan 整理編輯，僅供參考。 )IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!1統計之都COS Capital Of Statistics2007 年人大概率統計初試題、（20分）兩個不能分辨的盒子里都有 9個球，其中一個是 5紅 4白，另一個是 4紅 5白 從兩個盒子中隨機抽一個，希望通過無放回抽樣來猜測抽到底是哪個盒子。其規則是： 無放回抽取三次，如果抽到的紅球多，則認為盒子是 5紅 4白；反之認為是 4紅 5白。 問

2、這樣猜錯的概率有多大？如果用有放回抽樣，猜錯的概率又有多少？、（20 分）相互獨立的隨機變量 X 和 Y 分別服從參數為 1 和 2 的泊松分布，證明隨機變量X+Y 服從參數為 1+ 2 的泊松分布。要求用兩種方法證明，其中一種是特征函數。三、（10 分）二維隨機變量 （X,Y） 的聯合概率密度為cxy, 0x2, 1y2 f (x,y)0, otherwise求 Z min（ X,Y） 的概率密度函數。四、（15 分）設隨機變量序列 n 及 n 分別以概率收斂于隨機變量 和 ，證明： n n 以概率收斂于 。五、（15 分）二維隨機變量 （X,Y）的聯合分布律為X Y012-10.10.20

3、000.20.1求 EY | X 和VarX |Y 的分布律。六、（20分）設 X1,X2, , Xn是來自正態總體 N（ , 2 ）的簡單隨機樣本，證明：1）1n(X X) 2(n 1)；1IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!2統計之都COS Capital Of Statistics2) X 與 Sn2相互獨立。七、（15分）設總體 X 的分布函數為 F （x） ，概率密度函數為 f （x），X1,X2, ,Xn是總體 X 的 簡單隨機樣本，證明第 k個次序統計量 X（k） 的概率密度函數為fk(x)n!(k 1)!

4、(n k)!F(x)k 11 F(x)n kf(x), k 1,2, ,n八、（20 分）設總體 X 服從正態總體 N（ , 2） ，其中 2已知。參數 的先驗分布為正態總體N（ , 2），其中 和 2已知。 X1,X2, ,Xn是總體 X 的簡單隨機樣本，求（1）參數 的后驗分布；（2）在平方損失函數下求 的貝葉斯估計；（3）求 的置信水平為 1 的區間估計。九、（15 分）某市作電視收視率調查，隨機調查了 100 人，在晚七點二十分收看中央臺新聞 聯播節目的人數是 45 人，根據以往經驗，這一時刻節目的收視率是 50%，則 （1）能否認為收視率有了顯著減少（顯著性水平=0.05）；（2）假

5、設檢驗問題與區間估計具有對偶性，給出與以上假設檢驗問題相對偶的單側區間 估計，并說明如何由此區間估計做上面的假設檢驗。（已知 （1.960） 0.975, （1.645） 0.975 ）IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!3統計之都COS Capital Of Statistics2006 年人大概率統計初試題一、(20分)設有編號 1, ,n的n個球和從左到右排列的編號為 1, ,N的N 個格子( N n)， 每個球都以同樣的概率 1/ N落到 N 個格子中的一個格子中，試求：1. 某指定的 n 個格子中各有一個球的概率；2. 任何 n

6、個格子中各有一個球的概率；3. 任何 n 個格子中各有一個球并且球號從左到右嚴格上升的次序排列的概率；4. 任何 n個格子中各有一個球并且球號從左到右嚴格上升的次序排列，同時編號為 m 的 球落在第 M 個盒子中的概率 ( m M , n m N M ) 。二、(20 分)在可靠性與生存分析中，所研究的壽命現象是非負隨機變量，記作，其分布函數為 F ( x) ，密度函數為 f(x)，稱 S(x) 1 F(x) 為生存函數，這時常引入失效率函數 (x)，其定義為 (x) f (x) /S(x) 。1. 給出失效率函數 (x) 的直觀解釋，并推導用 (x) 表示S( x) 的公式；2. 某放射性物

7、質在初始時刻的質量為 m0 ，在單位時間內每個原子產生分裂核的概率為常 數 ，求經過時間 x 后改放射性物質質量的期望。三、(20 分)設 1和 2不相關，分別對以下兩種情況證明 1與 2獨立：1.1與 2都是只取 0 和 1 兩個值的隨機變量；2.1是只取 a1和b1( b1 a1 )這兩個值的隨機變量， 2是只取 a2和b2 ( b2 a2)這兩個值的隨機變量。四、(15 分)一個同學采用如下方法獲得標準正態分布的隨機數：每次產生12 個(0,1) 區間均勻分布的隨機數，求和后再減 6，作為標準正態分布的一個隨機數。你認為該同學 的做法是否合理 ?說明原因。五、(20 分)假設 X1,X2

8、, , Xn取自正態分布 N( , 2) 的簡單隨機樣本， 和 2未知，求1. 和 2 的極大似然估計；IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!4統計之都COS Capital Of Statistics1n2. 在上述分布下，求用 Sn21 1 (Xi X)2估計 2的均方誤差，比較 Sn2 1和上一問中 n 1i 1的 2 的極大似然估計的均方誤差誰大誰小。六、(20分)以下是 13 名大學生剛入校時某項體能測試成績和入校進行了三個月體育訓練后 的測試成績，數據如下表所示入校時42573849633648584751832731訓練后406

9、54837684050604958623344在水平為 0.01 之下，回答訓練前后測試數據的均值是否存在顯著性差異。1. 觀察兩組數據，討論所選檢驗方法的假定條件；2.用 1中所選用的假定條件， 在 0.01 的顯著性水平下， 判斷訓練前后測試數據的均值是 否存在顯著性差異。七、(20 分)設從均值為 ，方差為 2 0的總體中，分別抽取樣本量為 n1和n2 的兩個獨立 樣本， X1和 X2分別是兩個樣本的樣本均值。確定常數 a和b使得 Y aX1 bX2為 的無 偏估計且 Var (Y )達到最小。八、(15分)設總體 X 的分布密度為 1x e , x 0, 0 p(x, ) 0, x 0

10、(X1, ,Xn)為總體 X 的樣本，求參數 的置信度為 1 的置信區間IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!5統計之都COS Capital Of Statistics2005 年人大概率統計初試題一、( 20 分)證明幾何分布是離散隨機變量中唯一具有無記憶分布的分布。二、(20 分)記 U1， U2是相互獨立的 0,1 區間均勻分布的隨機數，令11 ( 2ln U1 )2 cos(2 U2)12 ( 2lnU1)2 sin(2 U2)證明： 1與 2是相互獨立的 N (0,1) 隨機變量。三、(20 分)設 1, 2, , n是相互獨立隨

11、機變量， i 的方差 Var( i) i2 ，試找非負實數a1,a2, ,an (其中a1 a2an 1)，使 a1 1 a2 2an n的方差最小。四、(15分)設 k,k 1是一列相互獨立的隨機變量序列， k服從區間 k, k 上的均勻分布， 用林德貝格條件證明 k,k 1 服從中心極限定理。五、(20 分)令 X1,X2, , Xn是從分布族 p(x, )中抽取的獨立同分布隨機樣本， p(x, )如下 所示1, 0 x , 0p(x, )0, 其它求參數 的極大似然估計 ?MLE ，判斷 ?MLE 是否是 的無偏估計，如果是，求出它的方差； 如果不是，請構造一個無偏估計，并求出不偏估計的

12、方差，在均方差的標準下說明誰更 優。(提示：參數 的估計量 T(X1,X2, , Xn )的均方差定義為 E(T(X1,X2, , Xn) )2)六、(15 分)某超市為方便附近居民對某種商品的需求，調查了 100 家住戶，得出每戶平均 需要量 X 為15kg ，S2為 6.25kg 。假如居民對該類商品的月需要量服從正態分布，如果 該超市附近有 10000 戶居民。1. ( 8 分)試求一戶居民對該種商品的平均月需求量置信水平為 0.99 的區間估計；2. (7 分)本著節約庫存的考慮，至少需要準備多少該類商品才能以 0.99 的概率滿足附IN THE NAME OF

13、 STATISTICS, UNITE!6統計之都COS Capital Of Statistics近居民的需要？七、（20 分）設 X1, ,Xn 是取自正態總體N（ ,1）獨立同分布 樣本，對假設 檢驗問 題H0 : 0 H1 : 0：1 （10 分）試給出一個水平為 的檢驗和檢驗拒絕域； （要求：給出求解的全部過程）2. （10 分）假設 有先驗分布 N （1,2） ，求 在平方損失函數下的 Bayes 估計。（提示：的 Bayes估計定義為： ?B E（ | X）八、（20 分）一個社會工作者選取 10 對夫妻，考察他們對婚姻狀況的滿意程度，婚姻滿意度 描述的是每個人在婚姻中的快樂。結果

14、由下表給出：女性男性統計量均值 標準差均值 標準差婚姻滿意度25.6 8.632.0 9.81. （8 分）如果需要分析在婚姻滿意狀況中，男性的差異和女性的差異是否存在不同，請討論可以選擇怎樣的假定和方法進行分析，你對如上的數據匯總方式是否滿意？2. （6 分）根據你的假定和選擇的方法回答，是否可以認為在婚姻滿意狀況中男性的差 異與女性的差異不同？3. （6 分）構造男性和女性對婚姻狀況滿意度之間的 90%置信區間。IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!7統計之都COS Capital Of Statistics2004 年人大概率統計初試題

15、、（15 分）袋中有 m n枚同型號硬幣， m枚是正品， n 枚是次品，次品的兩面都是國徽。從袋中任取一枚，將它拋擲 r 次，每次都出現國徽，求這枚硬幣是正品的概率。、（20 分）設一個家庭有 n 個小孩的概率為pn, n 1Pnp1 , n 01p這里 0 p 1， 01 p ，若認為生一個小孩為男孩或女孩是等可能的，求證一個家p庭有 k （k 1） 個男孩的概率為2 pkk1(2 p)三、（20分）設二維隨機變量 （ , ） 的聯合概率密度函數為8xy, 0 x y 1 f (x,y) 0, 其它求條件數學期望 E（ | x） 和條件方差 Var（ | x） 。四、（20分）（伯恩斯坦定理

16、）已知隨機變量序列 n,n 1 的方差有界：Var（ i） C （i 1,2, ）， 并且當 i j 時， i 和 j 的相關系數 rij 0，證明對 n,n 1 成立大數定律。五、（20分）假定鋼鐵制造廠 A生產的鋼材的強度服從 N（ 1, 12 ） ，從中獲得容量為 16 的樣本， 測定其強度，得到 X 1190 ，Sx2 902（樣本無偏方差）。鋼鐵制造廠 B生產的同種鋼材 的強度服從 N（ 2, 22 ） ，從中抽取容量為 13的樣本，測定其強度，得Y 1190 ，Sy2 1002。1. （6 分）求 1 / 2 的置信水平為 0.95 的置信區間；2. （ 7 分）由上述置信區間是否

17、可以假定 1 2 ？請指出這樣做的理由。IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!8統計之都COS Capital Of Statistics3. (7 分)在 1 2 條件下求 1 2 的置信水平為 0.95 的置信區間。六、(20分)設 (a,b) ，T(X)是 的無偏估計，令T(x), a T(x) bS(x) a, T(x) ab, T(x) b證明： E(S(X) )2 E(T(X) )2 。七、(20 分)有一種專門用于動物治療的新安眠藥，據說在一定劑量下，能比某舊安眠藥平 均增加睡眠時間 3 小時。根據以往資料，用舊安眠藥平均睡眠時

18、間為 20.8 小時。為了檢 驗新安眠藥是否達到療效，收集到一組( 8 個)用新安眠藥的睡眠時間分別為： 26.7 ， 22.0，24.1，21.0，27.2 ，25.0 ，24.3 ，24.5 。1. (10 分)假定睡眠時間為正態分布，試在顯著型水平 0.05 下，判斷新安眠藥是否 達到療效。2. (10 分)如果沒有正態假定，用符號檢驗給出檢驗，并和 1 中的結果進行比較。八、(15 分)設總體密度函數為2p(x; ) 2 ( x) (0 x )從中獲得樣本 X1,X2, , X n ，試給出下列檢驗問題H0:0 H1 :0的廣義似然比檢驗法則。IN THE NA

19、ME OF STATISTICS, UNITE!9統計之都COS Capital Of Statistics2003 年人大概率統計初試題、(20 分)甲、乙兩人下棋，每局獲勝概率各為 0.5 ，約定誰先勝 5 局贏得全部 8000元獎 金。現已下 4局，甲3勝 1負，這時因故終止比賽。 若按最終獲勝概率的比例分配獎金， 甲、乙兩人各應分得多少獎金？、(20 分)若 ， 獨立，且均服從 N (0,1) ，試證U 2 2與V / 相互獨立。、(20分)設( , ) 服從二元正態分布， E( ) E( ) 0 ，Var ( ) Var( ) 1，相關系數為 r， 求 E(max( , ) 。四、(

20、15 分)將編號為 1,2, , n的球隨機放入編號為 1,2, , n的盒中，每盒只放一球。以 Sn 表 示球與盒的編號正好相同的個數，求證：1P(Sn ESn) 0 (n ) n五、(20 分)設 X1,X2, ,Xn 是相互獨立的連續性隨機變量，且 Xi 的 分布函數為 n2Fi(xi), i 1,2, , n 。試證明隨機變量 Y 2 in1ln(Fi(xi)服從 2(2n) 分布。六、(20分)設 X1,X2, , Xn為一組簡單隨機樣本。總體分布密度為 x 1, 0x| | 0，求極限2)求二次極限lim f(1 )x f(x)xp xp(1)p xplim lim f(1 )x

21、f (x)3)0x若 f ( x)單增，證明對任何 h 0， x (0, )，只要 x h (0, ) ，就有f (x) f (x h) hf (x) f (x h) f (x)4)證明：lim f (x) x px、(本題滿份 25 分)設直線 y ax (0 a 1)與拋物線 y x2 在第一象限所圍成的平面圖形的面積為s1，y ax， y x2 與直線 x 1所圍成的平面圖形的面積為 s2。1)試確定 a的值使得 s1+s2達到最小 ,并求出最小值；2)3)求該最小值所對應的平面圖形繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體的體積； 用定積分表示該最小值所對應的平面圖形繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體的側

22、面積(不 必求出它的值)。、(本題滿分 30 分)(1)設 p (0,1) ，將 f (x) cos( px) 在 , 展開為以 2 為周期的傅立葉級數；2)利用 1 的麥克勞林展開式，證明： p (0,1) 時，1x1 xp 1( 1)n011x xdx n 0(p1)IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!14統計之都COS Capital Of Statistics3)證明： p (0,1) 時，1 xp 1 x pdx sin p0 1 x四、(本題滿分 20 分)證明邊長分別為 a,b,c,d 的凸邊形中，當 a , b邊的夾角 滿

23、足2 2 2 2 abcd cos2(ab cd)并且 c,d 的夾角 滿足 + = 時，該四邊形的面積最大，并且最大面積為1S (ab cd )sin2五、(本題滿分 20 分)設 a,b c, ) ( x, y)|a x b, c y ， f(x,y) 定義在 a,b c, ) 上。1)敘述含參變量 x 的無窮限廣義積分I(x) c f(x, y)dy在a,b上一致收斂的柯西原理；2)敘述函數級數n(x) 在 a, b上一致收斂的柯西原理；n13)證明： I(x)f(x, y)dy在a,b 上一致收斂的充要條件是對任何發散到的數列cAAnn 1 (An c, n 1,2,.) ，函數項級數

24、A f ( x, y)dy 在a,b 上一致收斂，其中n 1 An 1A0 c 。六、(本題滿分 35 分)設 V 是空間二維單連通的有界區域，其邊界 是簡單光滑曲面，點 P0 (x0, y0, z0) V ，u u(x,y,z)在 V V 上具有連續偏導數 , 在V 內具有二階連續偏導數 , 且滿足IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!15統計之都COS Capital Of Statistics2222u 2u 2u2x22 2 0y2 z21)證明:1ltim0 4 t 2udS u0( x0, y0,z0) t其中 t 是含在 V 內的球面 (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 t2 (t 0) ；2)3)設 n n(x,y,z)為 t 上點 p(x,y,z)處的外法向量 , r p0p x x0,y y0,z z0，r r ，證明 :t 1r undS設 n n(x,y,z) 為 上點 p(x, y,z)處的外法向量 , r p0 p x x0,y y0,z z0 ，r r ，計算積分1cos(r , n) 1 u41 ucosr(r2,n) r1 undS