1、倍長中線與截長補短法 初中數學輔助線專題 （輔助線口訣） 輔助線一般作法 倍長中線與截長補短法 初中幾何常見輔助線作法口訣初中幾何常見輔助線作法口訣 人說幾何很困難，難點就在輔助線。人說幾何很困難，難點就在輔助線。 輔助線，如何添？把握定理和概念。輔助線，如何添？把握定理和概念。 還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。 倍長中線與截長補短法 三角形三角形 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看，對稱以后關系現。也可將圖對折看，對稱以后關系現。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三

2、線合一試試看。角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。 三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中兩中點，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線。三角形中有中線，延長中線等中線。 倍長中線與截長補短法 解題還要多心眼，經常總結方法顯。解題還要多心眼，經常總結方法顯。 切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。 分析綜合方法選，困難再多也會減。分析綜合方法選，困難再多也會減。 虛心勤學加苦練，成績上升成直線。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。 倍

3、長中線與截長補短法 1 1、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍 此線段，構造全等三角形。此線段，構造全等三角形。 例如：如圖例如：如圖4-14-1：ADAD為為ABCABC的中線，且的中線，且1=21=2， 3=43=4，求證：，求證：BE+CFEFBE+CFEF 一、一、 倍長法倍長法 倍長中線與截長補短法 證明：廷長證明：廷長ED至至M，使，使DM=DE，連接，連接 CM，MF。在。在BDE和和CDM中，中， BD=CD （中點定義）（中點定義） 1=5 （對頂角相等）（對頂角相等） ED=MD （輔助線作法）（輔助線作法） BDE CDM （SA

4、S） 又又1=2，3=4 （已知）（已知） 1+2+3+4=180（平角的定義）（平角的定義） 3+2=90 即：即：EDF=90 FDM=EDF =90 在在EDF和和MDF中中 ED= MD （輔助線作（輔助線作 法）法） EDF=FDM （已證）（已證） DF=DF （公共邊）（公共邊） EDF MDF （SAS） EF=MF （全等三角形對應邊相等）（全等三角形對應邊相等） 在在CMF中，中，CF+CMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）（三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CFEF 倍長中線與截長補短法 在三角形中線時，常廷長加倍中線，構造全等三角形。在三角形中線時，常廷長加倍中線，構造全

5、等三角形。 例如：如圖例如：如圖5-1：AD為為 ABC的中線，求證：的中線，求證： AB+AC2AD 分析：要證分析：要證AB+AC2AD， 由圖想到：由圖想到： AB+BDAD, AC+CDAD， 所以有所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD， 左邊比要證結論多左邊比要證結論多BD+CD， 故不能直接證出此題，故不能直接證出此題， 而由而由2AD想到要構造想到要構造2AD， 即加倍中線，即加倍中線， 把所要證的線段轉移到同一個三角形中去把所要證的線段轉移到同一個三角形中去 倍長中線與截長補短法 證明：延長證明：延長AD至至E，使，使DE=AD，連接，連接BE，CE AD為為A

6、BC的中線的中線 （已知）（已知） BD=CD （中線定義）（中線定義） 在在ACD和和EBD中中 BD=CD （已證）（已證） 1=2 （對頂角相等）（對頂角相等） AD=ED （輔助線作法）（輔助線作法） ACD EBD （SAS） BE=CA（全等三角形對應邊相等）（全等三角形對應邊相等） 在在ABE中有：中有：AB+BEAE（三角形兩邊之和大（三角形兩邊之和大 于第三邊）于第三邊） AB+AC2AD。 （常延長中線加倍，構造全等三角形）（常延長中線加倍，構造全等三角形） 倍長中線與截長補短法 練習 已知ABC，AD是BC 邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊 各向外作等腰直角三

7、角形，如圖5-2， 求證 EF=2AD。 倍長中線與截長補短法 二、截長補短法作輔助線 要證明兩條線段之和等于第三條線段， 可以采取“截長補短”法。 截長法即在較長線段上截取一段等于兩 較短線段中的一條，再證剩下的一段等于 另一段較短線段。 所謂補短，即把兩短線段補成一條，再 證它與長線段相等。 倍長中線與截長補短法 讓我們來大顯身手吧！ 例如：已知如圖6-1： 在ABC中， ABAC，1=2， P為AD上任一點 求證：AB-ACPB-PC。 倍長中線與截長補短法 要證：AB-ACPB-PC，想 到利用三角形三邊關系定 理證明。 因為欲證的線段之差，故用 兩邊之差小于第三邊，從 而想到構造第三邊AB-AC 故可在AB上截取AN等于AC， 得AB-AC=BN 再連接PN，則PC=PN，又 在PNB中，PB-PNPB-PC。 思路導航 倍長中線與截長補短法 證明：（截長法）在證明：（截長法）在AB上截取上截取AN=AC連接連接PN 在在APN和和APC中中 AN=AC（輔助線作法）（輔助線作法） 1=2 （已知）（已知） AP=AP （公共邊）（公共邊） APN APC （SAS） PC=PN （全等三角形對應邊相等）（全等三角形對應邊相等） 在在BPN中，有中，有 PB-PNBN （三角形兩邊之差小于第（三角形兩邊之差小于第 三邊）三邊） BP-P