1、 本本 科科 畢畢 業業 論論 文文 題 目 函數最值問題解法探討 院 別 數學與信息科學學院 專 業 信息與計算科學 指導教師 評閱教師 班 級 2008級4班 姓 名 學 號 2012年5月12日 目目 錄錄 摘 要 abstract 1 引 言 1 2 求函數最值的幾種解法探 討 1 2.1 判別式 法 1 2.2 配方 法 2 2.3 均值不等式 法 3 2.4 換元 法 3 2.5 三角函數 法 4 2.6 單調性法 4 2.7 導數 法 5 3 求解函數最值時應注意的一些問 題6 3.1 注意定義 域 6 3.2 注意值 域 6 3.3 注意參變數的約束條 件 7 3.4 注意對判

2、別式的運 用 7 3.5 注意均值不等式的運 用 8 4 函數最值在實際問題中的應 用 9 結束 語 12 參考文 獻 13 摘 要：函數最值問題是數學領域中的重要研究內容.它不僅僅只在教學中解決 一些數學問題，而且經常運用于解決實際問題.在工農業生產、經濟管理和經濟核算中， 常常遇到一些解決在滿足一定條件下怎樣使產出最多、效益最高但投入最小等之類的問 題.生活中也時常會見到求用料最省、效率最高、利潤最大等問題.而這些生活和經濟問 題一般都可以轉化為數學中的函數類問題來分析研究，進而轉化為求函數最大（小）值 的問題，即為函數的最值探討，這尤其對研究實際問題的人們來說尤為重要.而函數最 值問題的

3、解法包括一元函數和多元函數，同時也有初等與高等解法之分.本文主要通過 從初等解法方面對一元函數最值問題進行研究，探討各種不同的求解方法，闡述函數最 值問題研究的重要性，得到求解函數最值的幾種方法及求解時應注意的一些問題. 關鍵詞：函數；最值；高等解法；初等解法；微分 abstract: the most value problem is mathematical functions in the field of important research content. it not only in the teaching solving mathematical problems, and

4、often used in solving practical problems. in the industrial and agricultural production, economic management and economic accounting, often encountered some solutions to meet certain conditions in how to produce the greatest, benefit highest but investment issues like the minimum. life also often se

5、e for the most provinces, the highest efficiency and materials, such as maximum profit. and these life and economic problems generally can be transformed into the function in the mathematics problem for analysis and study, and then into the biggest (small) for function of the values of the problem i

6、s one of the most value function, this paper this especially for research of practical problems people is especially important. and the most value problem of solution function including a yuan function and multiple function, at the same time also have elementary and higher solution of the points. th

7、is paper mainly through elementary method to a from of most value of a circular function to research function, this paper discusses the solution of all kinds of different methods, including the most value function of importance, and get the most value solve the function of several methods and solvin

8、g some problems that should be paid attention to. key words: functions; the most value; higher solution; elementary method; differential 1 引言 函數是中學數學的主體內容，貫穿于整個中學階段，而函數最值問題是函數的重要 組成部分處理函數最值的過程就是實現未知向已知、新問題向舊問題以及復雜問題向 簡單問題的轉化，雖然解決問題的具體過程不盡相同，但就其思維方式來講，通常是將 待解決的問題通過一次又一次的轉化，直至劃歸為一類很容易解決或已解決的問題，從 而獲得原問

9、題的解答1 函數最值問題是一類特殊的數學問題，它在生產、科學研究和日常生活中有著廣泛 的應用，而且在中學數學教學中也占據著比較重要的位置，是近幾年數學競賽中的常見 題型也是歷年高考重點考查的知識點之一由于其綜合性強，解法靈活，故而解決這類 問題，要掌握各數學分支知識，并能綜合運用各種所學知識技巧，靈活選擇合適的解題 方法2 函數最值的定義： 一般地，函數的最值分為最小值和最大值:設函數在處的函數值是 yf x 0 x 0 f x 如果對于定義域內任意，不等式都成立，那么叫做函數x 0 f xf x 0 f x 的最小值，記作； yf x min0 yf x 如果對于定義域內任意，不等式都成立，

10、那么叫做函數x 0 f xf x 0 f x 的最大值，記作. yf x max0 yf x 函數的最值一般有兩種特殊情況： （1）如果函數在上單調增加(減少)， 則是在上的最小值 0 ()f x , a b( )f a( )f x , a b (最大值)，是在上的最大值(最小值).( )f b( )f x , a b （2）如果連續函數在區間內有且僅有一個極大(小)值，而沒有極小(大)值， 0 ()f x( , )a b 則此極大(小)值就是函數在區間上的最大(小)值. , a b 2 求函數最值的幾種解法探討 2.1 判別式法 對于某些特殊形式的函數的最值問題，經過適當變形后，使函數出現在

11、一個有( )f x 實根的一元二次方程的系數中，然后利用一元二次方程有實根的充要條件來求出0 的最值3.( )f x 例例. . 求函數的最值. 2 (0)yaxbxc a=+ 解：解：因為，所以， 2 (0)yaxbxc a=+ 2 ()0axbxcy+-= 而，所以有xr 22 4 ()0440ba cybacayd=-+ 2 44ayacb- 2 min 2 max 4 0y 4 4 0 4 acb a a acb ay a - - 2 min 4 y 4 acb a - 當時，.0a 0d= 成立.因此，在利用求出的的取值范圍：或且中，不能0dyaybyb()ya ab 隨意斷定或 ，

12、還必須求出與、對應的的值，并將其 minmax ,ya yb= minmax ,yb ya=abx 代入原來的函數中進行驗算，只有當、的對應值存在,并滿足所求得的不等式時，xy0d 才能確定為原來函數的最值. 2.2 配方法 如果給定函數是二次函數或變形后可轉化為二次函數的問題，一般可用此法求解. 例例. . 求在區間內的最值. 2 ( )23 4 xx f xa 1,0 解：解：配方得, 22 24 ( )23 43(2) 33 xxx f x a 因為,所以，從而當即，取得最大值；當 1,0 x 1 21 2 x 2 2 3 x 2 2 log 3 x ( )f x 4 3 即時取得最小值

13、1.21 x 0 x ( )f x 2.3 均值不等式法 設是n個正數，則有，其中等號成立的條件是 12n aaa， ， 12 12 + n n n aaa a aa n . 12 = n aaa 運用均值不等式求最值，必須具備三個必要條件，即一正二定三等，缺一不可.“正” 是指各項均為正數，這是前提條件；“定”是指各項的和或積為定值；“等”是等號成 立的條件4. 例例. . 設，求的最大值.0 q psin(1+cos) 22 qq 解：解：由，有.0 0 2 q 又因為sin(1+cos) 22 qq 2 =2sincos 22 qq 222 = 2 2sincoscos 222 qqq

14、3 222 2sin+cos+cos 222 2 3 qqq 4 3 = 9 其中當時，上式等號成立，即時成立，故 22 2sin=cos 22 qq =2cot2arcq 的最大值為.sin(1+cos ) 2 q q 4 3 9 2.4 換元法 用換元法求函數最值，就是根據函數表達式的特點，把某一部分看做一個整體或用 一個新變元來代替，達到化繁難為簡易，化陌生為熟悉，從而使原問題得解. 例例. . 求函數的最值. 2 =2+ 4y xx- 解：解：因為，即給定函數的定義域為：. 2 4022xx- - 2,2- 于是令 ，.2sinxq=, 2 2 p p q- 則給定函數可變形為: 2

15、2sin24(2sin )yqq=-+- 2sin2cos2qq=+- 2sinsin()2 2 p qq=+- 2 2sincos()2 44 pp q= -+- 2 2cos()2 4 p q=- 2 2sin()2 24 pp q=- 2 2sin()2 4 p q=+- 而. 3 , 224444 2 pppppp p qq- -+ - 又因在是增函數，所以其最值在端點處取得.sin() 4 p q+, 4 2 p p - 2.5 三角函數法 如果給定函數，經變形后能化成：或（、是 sin()yaxbq=+cos()yaxbq=+ ab 常數）的形式，則由或 sin()1xq+cos(

16、)1xq+ 可知：當或時，（設） 2 2 xk p pq=+- 2xkpq=-max yab=+ 0a 當或時，（設） 2 2 xk p pq=- (21)xkpq=+- max yab=-+ 0a 例例. . 求函數的最大值.sin cossincosyxxxx=+ 解：解：因為 sin cossincosyxxxx=+ 1 sin2sinsin() 22 xxx p =+- 1 sin22sincos() 244 xx pp =+- 1 sin22cos() 24 xx p =+- 當時，；22() 24 xkxkkz pp pp=+=+ max (sin2 )1x= 當時，,() 4 x

17、kkz p p=+cos()cos()cos1 444 xkk ppp pp-=+-= 即，所以，當時，. max cos()1 4 x p -= 4 xk p p=+ max 1 2 2 y=+ 2.6 單調性法 當自變量的取值范圍為一區間時，有時也用單調性法來求函數的最值在確定函數 在指定區間上的最值時，首先要考慮函數在這個區間上的單調情況若函數在整個區間 上是單調的，則該函數在區間端點上取得最值若函數在整個區間上不是單調的，則把 該區間分成各個小區間，使得函數在每一個區間上是單調的，再求出各個小區間上的最 值，從而可以得到整個區間上的最值5 例例. . 設函數是奇函數，對任意、均有關系，

18、若( )f xxyr()( )( )f xyf xf yx 時，且求在上的最大值和最小值.0( )0f x (1)2f ( )f x3,3 解：解：先確定在上的單調性，設任意、且，則( )f x3,3 1 x 2 3,3x 12 xx . 21 0 xx 所以有 212121 ()()()()()0f xf xf xfxf xx 即. 21 ()()f xf x 所以，在上是減函數.( )f x3,3 因此，的最大值是;( )f x( 3)(3)(2 1)fff (1)(1)(1)6fff 的最小值是.( )f x(3)3 (1)6ff 2.7 導數法 設函數在上連續，在上可導，則在上的最大值

19、和最小( )f xab，()ab，( )f xab， 值為在內的各極值與，中的最大值與最小值( )f x()ab，( )f a( )f b 要求三次及三次以上的函數的最值，以及利用其他方法很難求的函數式的最值，通 常都用該方法導數法往往就是最簡便的方法，應該引起足夠重視 例例. . 求函數，的最大值和最小值 32 ( )362f xxxx=-+- 1 1x- ， 解：解：求導得. 2 ( )366fxxx =-+ 令，方程無解.( )0fx = 因為，所以函數在上時增函數. 22 ( )3663(1)30fxxxx =-+ =-+ ( )f x 1 1x- ， 故 當時，;1x =- min(

20、 ) ( 1)12fxf=-=- 當時，.1x = max( ) (1)2fxf= 綜上可知，函數最值問題內涵豐富，解法靈活.沒有通用的方法和固定模式，在解題 時要因題而異，而且上述介紹的幾種求解方法也并非彼此孤立，而是相互聯系、相互滲 透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法，函數的 最值解題方法是靈活多樣性的，除了以上講的，還有很多種方法，如：消元法、數形結 合法、復數法、幾何法、待定系數法、萬能公式法等等.因此，解題的關鍵在分析和思考， 因題而異地選擇恰當的解題方法，減少解題時間 3 求解函數最值時應注意的一些問題 3.1 注意定義域 遇到求最值問題的時候，我

21、們切記在求解的過程當中，要注意觀察定義域的變化情 況， 在最初解題之時，應當先把函數的定義域確定；在解題過程中，當函數變形時注意定義 域是否發生改變，如果又引入新變量也要確定這個變量的取值范圍，以免在后面的求解 過程中出現錯誤；在解題結束時，必須檢驗所求得的使函數取得最值的自變量是否包含 在定義域的范圍內 例例. . 求函數的最值. 1 2 x y x - = - 錯解：錯解：將兩邊同時平方并去分母得. 1 2 x y x - = - 2222 (41)410y xyxy-+-= 因為，所以，化簡得.xr 2222 (41)4(41)0yyyd=- 2 41y 所以，故，. 11 22 y-

22、min 1 2 y=- max 1 2 y= 分析：分析：這個答案致錯原因是兩邊平方及去分母，使函數的定義域擴大了. 正解：正解：將兩邊平方并去分母，得. 1 2 x y x - = - 2222 (41)410y xyxy-+-= 因為，所以，化簡得.xr 2222 (41)4(41)0yyyd=- 2 41y 所以，注意到原函數的定義域是，則有，于是必有 11 22 y-1x 10 x-20 x-0y 原函數最小值.最大值由前面分析可知即為. min 0y= 1 2 3.5 注意均值不等式的運用 注意當且僅當這些正數相等時，它們的積(和)才能取大(小)值. 1 例例. . 求函數的最小值.

23、 2 3 (0)yxx x =+ 錯解：錯解：因為，所以，于是0 x 2 0 x 1 0 x 2 0 x 222 3 3121 2 3yxxx xxxx x =+=+a a 3 3 2= 所以的最小值是.y 3 3 2 分析：分析：上面解法錯誤，是沒有注意到當且僅當時，函數才能取得最小值， 2 12 x xx =y 但顯然不等于，所以不能取. 1 x 2 x y 3 3 2 對均值不等式中等號成立的條件生搬硬套 2 例例. . 已知，且，求的最小值，并求的最小值時的，, ,x y zr+ 123 1 xyz +=xyzxyzx ，的值.yz 錯解：錯解：因為，所以，, ,x y zr+ 123

24、 r xyz + + 3 3 3 1231 2 36 1330 xyzx y zxyz =+=a a 從而，當且僅當時，上式取等號，又 3 3 1 3 6 xyz 3 3 3 6xyz 162xyz xyz= ，所以當且僅當時，有最小值 162. 123 1 xyz +=6xyz=xyz 分析：分析：上面解法錯誤，是對均值不等式中等號成立的條件沒有理解而直接套用的結 果，事實上，當時，不等于 162.正確的解法是：在，6xyz= 3 6216xyz =162xyz 即中，等號當且僅當，即，時成立，3 1231 2 3 3 xyzx y z +a a 1231 3xyz +=3x =6y =9z

25、 = 所以當，時，有最小值 162.3x =6y =9z =xyz 連續進行幾次不等式變形，并且各次不等式中的等號不能同時成立而造成的錯誤 3 例例. . 已知，且，求的最小值., x yr+ 14 1 xy +=xy+ 錯解：錯解：因為，所以，則，所以, x yr+ 2 1 41 14 0 2x yxy a 即當時取最小值，求得，符合題意.所以最小值為 9. 4 1 1 x x -= - 3x =6y = 4 函數最值在實際問題中的應用 例例 1.1. 某工廠要建造一個長方形無蓋儲水池，其容積為 4800，深為，如果池 3 m 3 3m 底每平方米的造價為 150 元，池壁每平方米的造價為

26、120 元,怎樣設計水池能使總造價最 低？最低總造價是多少？ 分析：分析：從題中分析可以得出，水池高度已知，進而問題轉化為求池壁的長和寬的問 題，從而確定取什么值使總造價最低.即涉及到兩個變量，因為池壁的長和寬不可能為負 數，由此我們可以想到利用均值不等式來求解. 解：解：設底面的長為,寬為，水池的總造價為元.xmymz 根據題意有：，由容積為 4800 4800 150120(2 32 3 )240000 720() 3 zxyxy=+ =+ ，可得，因此，.由均值不等式與不等式的性質，可得： 3 m34800 xy =1600 xy = 240000 720()240000 720 2xy

27、xy+ 即 .240000 720 2 16000z +297600= 當，即時，等號成立.所以，將水池的地面設計成邊長為 40的正方xy=40 xy=m 體時總造價最低，最低總造價是 297600 元. 例例 2.2. 某工廠 2003 年的純收入為 500 萬元，因設備老化等原因，工廠的生產能力將 逐年下降.如果不對技術進行改造,從今年起預計每年將比上一年減少純收入 20 萬元, 所 以今年年初該工廠為了進行技術改造，一次性投入資金 600 萬元，預計在未扣除技術改 造資金的情況下，第年（第一年從今年算起）的利潤為萬元（為正整數）.n 1 500(1) 2n +n 設從第一年起的前年，如果

28、該工廠不進行技術改造的累計純收入為萬元，進行技術n n a 改造后的累計純收入為萬元（須扣除技術改造資金） ，則從今年起該工廠至少經過多少 n b 年，進行技術改造后的累計純收入超過不進行技術改造的累計純收入？ 分析：分析：首先根據題意寫出、的表達式，可知它們都為數學上一個簡單的數列求和 n a n b 問題.繼而對它們作差就建立起一個函數關系式，即轉化為數學上的函數最值問題,再利 用合適的方法進行求解即可. 解：解：依題設有(50020)(50040)+(50020 ) n an=-+-+- 2 49010nn=- . 2 111 500(1)(1)(1) 600 222 n n b =+-

29、 500 500100 2n n=- 則 2 500 (500100)(49010) 2 nn n bannn-=- 2 500 1010100 2n nn=+- . 50 10 (1)10 2n n n=+- 因為函數在上位增函數，所以 50 (1)10 2x yx x=+-(0,)+ 當時，；13n 5050 (1)1012100 28 n n n+- 所以，僅當時，.即至少要經過 4 年，該企業進行技術改造后的累計純4n nn ba 利潤超過不進行技術改造的累計純利潤. 例例 3.3. 某公司為資助尚有 26.8 萬元無息貸款尚未償還的化妝品商店，借出 20 萬元將 該店鋪改造成經營狀況

30、良好的某體育用品專賣店，并約好用該店賺取的利潤逐步對債務 進行償還(全部債務均不算利息)已知該體育用品的進價為 40 元/件；該店月銷量(百q 件)與售價(元/件)之間的關系可用右圖(圖一)p 的一條折線表示；員工的月工資為 600 元/人，該 店還需交納的其他費用為 13200 元/月 (1)若售價為 52 元/件時，該店正好收支平p 衡，求該店的員工有多少； (2)若該店只招聘了 40 名員工，則該店最快 可在幾年后把所有債務還清，此時每件體育用品 的價格定為多少元？ 分析：分析：由題中給出的圖可以看出，我們可以 把它看做是在閉區間上的一個分段函數問題，從而轉化為數學問題，利用函數圖象所表

31、 示的幾何意義，借助于幾何圖形的直觀性來求分段函數最值問題 解：解：(1)設該店的月利潤為元，有職工名.則sm(40) 10060013200sq pm=- p q 1 60 24 405881 圖一 又由圖可知： 2140 (4058) 82 (5881) pp q pp - + = -+ 所以， ( 2140)(40) 10060013200 (4058) (80)(40) 10060013200 (5881) ppmp s ppmp - +- = -+- 由此知，當 時，即，解得52p =0s =( 2140)(40) 100600132000ppm-+-= ，即此時該店有 50 名職工.50m = (2)若該店只安排 40 名職工，則月利潤 ( 2140)(40) 100