1、1-1.已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r = R(cos st sin 3 j)其中為常量.求：(1)質(zhì)點(diǎn)的軌道；(2)速度和速率。解：1)由 r = R(cos st sin sj)知x = R cos sty 二 R sin st222消去t可得軌道方程x y =Rd r2)vsRsin stiwRcos stjdtv =( -wRsi nwt)2 - (sRcoswt)2 2 = wR21-2.已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r = 4t i (3 2t) j，式中r的單位為m , t的單位為s.求：(1)質(zhì)點(diǎn)的軌道；(2)從t = 0到t=1秒的位移；(3) t=0和t = 1秒

2、兩時(shí)刻的速度。2解：1 )由 r = 4t i (3 2t) j 可知x =4t2y -3 2t消去t得軌道方程為：x = (y - 3)22) v = d- =8ti 2jdt11& = .vdt = 0 (8ti 2 j)dt =4i 2j3) v(0) =2 jv( 1 8i 2 j21-3.已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為r =t i 2tj，式中r的單位為m , t的單位為s.求: (1)任一時(shí)刻的速度和加速度；(2)任一時(shí)刻的切向加速度和法向加速度。dr解：1) v r = 2ti 2 jdtdva =2idt2)v 二(2t)2412 =2(t212dv 2tatdtt2 11

3、-4. 一升降機(jī)以加速度 a上升，在上升過程中有一螺釘從天花板上松落，升降機(jī)的天花板與底板相 距為d，求螺釘從天花板落到底板上所需的時(shí)間。解：以地面為參照系，坐標(biāo)如圖，升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為1 2二 votat（1）2=h vot -2gt2（2）二 y2（3）=ayiy2yi解之n圖1-41-5. 一質(zhì)量為m的小球在高度h處以初速度v0水平拋出，求:(1)(2)小球的運(yùn)動(dòng)方程；小球在落地之前的軌跡方程;落地也前瞬時(shí)小球的蘭dvdvdtdtdt(1)x = vt式（1)1 2式（y = h _ 2 gt2)r(t)二 vot i (h -如2) j(2)聯(lián)立式（1）、式（2)得(3)解:

4、2h gx二 h 2 odt2v=vi -gt j而落地所用時(shí)間t 二dr.voi dt-.2 g hjdvdt=-gj所以2hV =計(jì)2 +v：=血 +(-gt)2證明：設(shè)人從0點(diǎn)開始行走,h = 20cm，斜面的位置距原來的下碰撞時(shí)人射角等于圖1-8解：小球落地時(shí)速度為 v0二2gh建立直角坐標(biāo)系，以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原色 _g2t_ g .2ghdt v(?+(gt)212 一(vl+Zgh)?21-6.路燈距地面的高度為hi，一身高為h2的人在路燈下以勻速Vi沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)，并求其速度v2.t時(shí)刻人影中足的坐標(biāo)為，人影中頭的坐標(biāo)為 x2，由幾何關(guān)系可圖1-6

5、而Xf = v0tx2 -x1h2所以，人影中頭的運(yùn)動(dòng)方程為hfxfhitx2v0hi h2hi h2人影中頭的速度V2 = d 2*Vodt 0 h21-7. 一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為X =2 4t -2t2 (m)，在t從0秒到3秒的時(shí)間間隔內(nèi)，則 質(zhì)點(diǎn)走過的路程為多少?解：v4-4tdtLXr = % -x0 = (2 4 _2) _2 = 2m =x3 = x3 - x_j = (2 4 3 -2 32) -(2 4 - 2) - -8mx = :xi 十 x2 = 10m1-8. 一彈性球直落在一斜面上，下落高度 對(duì)水平的傾角v -30 ，問它第二次碰到斜面 落點(diǎn)多遠(yuǎn)(假設(shè)小球

6、碰斜面前后速度數(shù)值相等， 反射角)。點(diǎn)如圖vx0 = v0 cos60vy0 =v0s in 60x =v0cos600t 1 g cos600t21 0,2 g sin 60 t 2ay = v0 sin60t(1)第二次落地時(shí) y = 0所以1x = v0 cos60tg cos60012絕二 0.8mg1-9.地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時(shí)，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為3.4cm/s2，2設(shè)赤道上重力加速度為9.80m/s .解：赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足現(xiàn)在赤道上物體- 3.4 10,9.83.4 10,=171-10.已知

7、子彈的軌跡為拋物線，初速為V。，并且Vo與水平面的夾角為 二.試分別求出拋物線頂點(diǎn)及落地點(diǎn)的曲率半徑。解：在頂點(diǎn)處子彈的速度 V =V0 COST，頂點(diǎn)處切向加速度為0。2因此有：g二(v0 cos J22geos 日在落地點(diǎn)速度為v01-11.飛機(jī)以v0 =100m/s的速度沿水平直線飛行，在離地面高h(yuǎn) = 98m時(shí)，駕駛員要把物品投到駕駛員看目標(biāo)的視線和豎直線應(yīng)成什么角度？ 此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)下解：設(shè)此時(shí)飛機(jī)距目標(biāo)水平距離為x 有：x = v0th.gt2聯(lián)立方程解得： x : 447 m71 二 arctan : h77.50前方某一地面目標(biāo)上， 問：投放物品時(shí), 方地點(diǎn)多遠(yuǎn)？1-12.設(shè)將

8、兩物體 A和B分別以初速vA和vB拋擲出去.Va與水平面的夾角為:-；Vb與水平面的夾角為，試證明在任何時(shí)刻物體 B相對(duì)物體A的速度是常矢量。解：兩個(gè)物體在任意時(shí)刻的速度為vA =v0 cos i (v0 si n- gt) jvB = v0 c o s i (v0 s i n - g t jlvba = vB - vA =(v0cos： -v0cos： ) i (v0s in： -v0s in：) j與時(shí)間無關(guān)，故 B相對(duì)物體A的速度是常矢量。1-13. 一物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速為v0 =49.0m/s，而氣球以速度v=19.6m/s勻速上升，問氣球中的觀察者在第二秒

9、末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各多少？物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為Vy二v0 - gt故氣球中的觀察者測(cè)得物體的速度w -vy -V代入時(shí)間t可以得到第二秒末物體速度Av =9.8嘆第三秒末物體速度z = 0第四秒末物體速度山v = -9.8嘆1-14.質(zhì)點(diǎn)沿x在軸向運(yùn)動(dòng)，加速度 a - -kv, k為常數(shù).設(shè)從原點(diǎn)出發(fā)時(shí)速度為V0，求運(yùn)動(dòng)方程x 二 x(t).解： d - -kvV 1 -dvt二 0 一 kdtv = v0edtV0 V0dx山ve dtxdx =00v0e”dtV01-15.跳水運(yùn)動(dòng)員自10m跳臺(tái)自由下落，入水后因受水的阻礙而減速，設(shè)加速度a=kv2,k =0.4m

10、 .求運(yùn)動(dòng)員速度減為入水速度的10%時(shí)的入水深度。跳水運(yùn)動(dòng)員入水速度v0 =.：.：；2gh=14嘆,2 dV dV -kVv -V0dt dxx kdx1x In 10 = 5.76m k1-16. 一飛行火箭的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:U為燃?xì)庀鄬?duì)火箭的噴射速度。求:1X =ut u( -t)ln(1 -bt)，其中b是與燃料燃燒速率有關(guān)的量, b(1)火箭飛行速度與時(shí)間的關(guān)系；(2)火箭的加速度。dx解：（1） v=一 = _u ln（1bt）dtdv ubdt -btht,式中R、h、為正的常量。求：(1)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程;(2)質(zhì)點(diǎn)的速度大小；(3)質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。解：(1)軌道方程為 x2

11、 y2-R2這是條空間螺旋線。在Oxy平面上的投影為圓心在原點(diǎn)，半徑為R的圓，螺距為h（2） Vx空=-R . si ntdt1-17質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：X 二 Rcost,y=Rsin 4, z =解：取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸v =批 +vy +v；=灼 Jr2（3） ax - -R cos t ay思考題1-1.質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度為v，瞬時(shí)速率為V,平均速度為v，平均速率為V,則它們之間的下列四種關(guān)系中哪一種是正確的（1） v = V, v = V ； （2） v 式 V,iv 二 V ；（ 3） v = V，M= V ；（4） v= V, iv答：(3)1-2.質(zhì)點(diǎn)的xt關(guān)

12、系如圖，圖中a, b , c三條線表示三 動(dòng)問它們屬于什么類型的運(yùn)動(dòng) ？哪一個(gè)速度大？哪一個(gè)速答：v - Vb - vc個(gè)速度不同的運(yùn) 度小？1-3.結(jié)合vt圖，說明平均加速度和瞬時(shí)加速度的幾何意義。答：平均加速度表示速度v在At時(shí)間內(nèi)的平均變化率，它只能粗略地反映運(yùn)動(dòng)速度的變化程度和方向，而瞬時(shí)加速度能精確反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的變化及方向。1-5.如圖所示,兩船A和B相距R，1-4.運(yùn)動(dòng)物體的加速度隨時(shí)間減小，而速度隨時(shí)間增加，是可能的嗎? 答：是可能的。加速度隨時(shí)間減小，說明速度隨時(shí)間的變化率減小。分別以速度vA和vB勻速直線行駛，它們會(huì)不會(huì)相碰？若不相碰，求兩船相靠最近的距離. 圖中和為 已

13、知。答：方法一 如圖，以A船為參考系，在該參考系中船 A是靜止的，而船 B的速度V =VB -VA.V 是船B相對(duì)于船A的速度，從船B作一條平行于V方向的直線BC,它不與船A相交，這表明兩船 不會(huì)相碰min由A作BC垂線AC,其長度rmin就是兩船相靠最近的距離Gm二RS“二作FD/AB,構(gòu)成直角三角形 DEF,故有.a vBsi 朋-vAsi n sin -一v在三角形BEF中,由余弦定理可得V = pv； + vB + 2vavb c o s（ + P）rmin -vB sin-vA sin 二RA vB 2v；vb cos（二方法二：兩船在任一時(shí)刻t的位置矢量分別為% =（VAtcos：

14、 ）i （vBtsin： ）jrB =（R-vBtcos ：）i （vBtsin ：） jr= r- -rA二Rf（v-cos：v； cos）ti（v-sin；VASin： ）tj任一時(shí)刻兩船的距離為r = . R _(vB cos ： vA cos ： )t2(vB sin 1 _ vA sin ： )t2dr(t) =odtVB COsB + VA cosa(vbCOS； WaCOS：)2 (vb s in： -VaS in :)2r minvb sin P -va sin aJvA +v； +2vAvB cos(a + B)1-6.若質(zhì)點(diǎn)限于在平面上運(yùn)動(dòng)，試指出符合下列條件的各應(yīng)是什么樣

15、的運(yùn)動(dòng)?(1)空 dt 答:d rdvd vdadac=0 ,0 ；( 2)0，0 ；( 3)0，0dtdtdtdtdt(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)(2) 質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng)(3) 質(zhì)點(diǎn)作拋體運(yùn)動(dòng)1-7. 一質(zhì)點(diǎn)作斜拋運(yùn)動(dòng)，用 1代表落地時(shí),(1)說明下面三個(gè)積分的意義：AtiVxdt,otiVydt,0tivdt .0Bdr.Ati答：ydt0表示物體落地時(shí)x方向的距離tiVydt0表示物體落地時(shí)y方向的距離tivdto表示物體在鮎時(shí)間內(nèi)走過的幾何路程(2)用A和B代表拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)位置，說明下面三個(gè)積分的意義:BBdr,dr,AABdr 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)的位移AB/ dr 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小

16、ABdr拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小想來生活，從來就不是陽春白雪的神話。光陰的陌上，總有風(fēng)自八方來，或許是憂凄，也許是歡喜無論怎樣，都是歲月最真的饋贈(zèng)。待到老去的那一日，偶爾有回憶念及了過往，依舊還會(huì)有初初的心動(dòng)，流轉(zhuǎn)了眉眼。而那一路迤邐而來的美好，一步一步寫就兩個(gè)梅花小楷一一日常。暖陽小窗，無事此靜坐。杯盞光陰，又在指間如風(fēng)輕過，回首，依稀還是那年秋，低低一低眉，卻已是春光葳蕤。光陰荏苒，而流年從來也不曾缺少錯(cuò)亂和猶疑。是否在這樣一個(gè)萬物復(fù)蘇的季節(jié)里，一切的紛擾是非，終究會(huì)給出一個(gè)水落石出的答案。輕倚初春的門楣，且把盞清風(fēng)，問心明月，讓來者可來，去者可去，宿命里的擁有，一一欣喜悅納。而我也只需以花香繞肩的美，步履從容的，走過生命里的山山水水。若說，那一程走舊的時(shí)光，已然溫暖了我的眉眼。那么，在明日那個(gè)花滿枝椏的清