1、一類方陣高次冪的計算方法 摘 要 本文是在總結方陣高次冪多種實用計算方法的基礎上,根據其中一種方法,對一類特殊矩陣的高次冪計算進行了研究,并得到了相應的計算公式.關鍵詞 方陣高次冪; 標準形; 定理; 最小多項式; 矩陣計算中圖分類號 o151.21calculation method for a class of the square matrix high power abstract: on the basis of summarizing a variety of practical calculation method of the matrix high power, a clas

2、s of special matrix of high power calculation is studied according to one of the methods, and corresponding calculation formulas are obtained.keywords: matrix high power; standard form; theorem; minimal polynomial; matrix calculation1 引言方陣求高次冪的問題是高等代數中的常見問題之一,也是學習矩陣函數的基礎之一1,在高等代數題解、矩陣穩定性討論及預測、控制等方面有

3、廣泛的應用.它的求法原理貫穿于代數教學過程的始終,可以用到矩陣各方面的知識2.目前,已有許多學者對方陣高次冪的求法進行了研究.計算方陣高次冪的常用方法有標準形法、定理法、最小多項式法、數學歸納法、二項式展開法等.在矩陣高次冪計算中,針對不同類型,選擇適當的計算方法,可以降低計算難度.2 預備知識 2.1 幾個定義及定理定義13 次數最低的首項系數為1的以為根的多項式稱為的最小多項式.定理11 每個階復矩陣都與一個階矩陣相似.即存在階可逆陣,使得.定理22 若已知矩陣可對角化,即存在可逆陣,使,其中為對角陣,則其對角線上元素為矩陣的特征值.定理33(定理) 設是數域上一個矩陣,是的特征多項式,則

4、.2.2 已有方陣高次冪的計算方法方法12 矩陣對角化法由定理2可知,則.從而把求的方冪的問題就轉化為求過渡矩陣和對角陣的冪的問題.該方法只適用于可對角化的矩陣,故要先判斷階方陣是否有個線性無關的特征向量.方法21 標準形法由定理1易得,從而有.該方法對于高階矩陣比較困難.因為該方法不僅要解出矩陣的特征值,還要解出相應的特征向量,這對高階矩陣是較困難的.方法34 哈密頓凱萊()定理法設是數域上階方陣,其特征多項式為,為求,令,做帶余除法:.由定理3知:,并且的次數小于的次數,進而可得.方法4 最小多項式法由于矩陣的最小多項式整除以為根的任一多項式,且是唯一的.由定理知,的最小多項式是的特征多項

5、式的因式.利用多項式理論,我們可以得到次數比的次數低的余式,從而達到降次的目的1.與用標準形計算方陣高次冪的方法相比,利用定理與最小多項式降次求冪的方法計算量小(求出特征值不必再求出對應的特征向量).另外,利用最小多項式降次的方法又比利用定理降次的方法所需參數的個數少,所以更方便.方法55 數學歸納法適合類型為,它是有規律可循的.先計算,找出規律,再歸納出,并利用數學歸納法證明結論.方法62 乘法結合律法當階矩陣的秩時,矩陣可以寫成維列向量和維行向量的乘積,即.然后利用矩陣乘法的結合律有:,其中是矩陣,即是一個數.所以有.該方法只適用于矩陣的秩為1的情況.方法76 二項式展開法若是主對角線上元

6、素相同的某些特殊階矩陣時(如三角陣等),則考慮先將分解為,其中為冪零陣(即對有),或為秩的矩陣,并且,其中常數等于列向量與行向量內積的值.根據數量陣與任何矩陣乘法可交換,利用二項式定理展開得.3 主要結論及證明命題1 形如,令,于是,且,.則.證明 ,令,則,且,.于是.又 ,得.所以.命題2 形如,令,于是,且,.則.證明 ,令,則,且,.于是.又 ,得.所以 .4 初步應用例1 設矩陣,計算.解法1 由于.故矩陣的特征多項式,所以的最小多項式為的因式.顯然,于是的最小多項式為.所以令,從而得 .所以 .解法2 由于,令,則,且,.從而 .待添加的隱藏文字內容1又 ,得.所以 .解法3 令,

7、則,且,.由命題1得 .例2 設矩陣,計算.解 令,則,且,.由命題1得 .例3 設矩陣,計算.解 據題意知,.令,則,且,.由命題2得 .致謝 本篇論文是在周建仁老師的悉心指導下完成的,在此謹向周老師表示由衷的感謝.參 考 文 獻1余躍玉.階方陣高次冪的計算方法j.四川文理學院學報,2011,21(2):22-24.2李志慧,李永明.高等代數中的典型問題與方法m.北京:科學出版社,2008.3北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數m.北京:高等教育出版社,2003.4陳 軍,韓靜媛,矩陣高次冪的簡單求法j.承德民族師專學報,2007,27(2):2-3.5劉愛蘭.矩陣高次冪的計算方法j.上海電力學院學報,2007,23(1):93-96.6全生寅.矩陣高次冪的實用計算方法(i)j.青海大學學報(自然科學版),2001,19(4):76-80.7王 文,魏春強,方陣的次冪計算j.高師理科學報,2011,