1、 實用文案專題:空間角一、基礎梳理1.兩條異面直線所成的角p(0, （1）異面直線所成的角的范圍：。2（2）異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直。兩條異面直線 a,b 垂直，記作a b。（3）求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上（或空間）找一點，過該點作另一（或兩條）直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。平移技巧有：平行四邊形對邊平移、三角形中位線平移、補形平移技巧等。1：三棱柱-oab o a b ，平面obb o 平面 oab，1111 1ob1o ob = 60 ,aob = 90o

2、b = oo = 2,oo ，且111oa = 3 ，求異面直線 a b ao 所成角的余弦。與11boa2直線和平面所成的角（簡稱“線面角”）（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角。一直線垂直于平面，所成的角是直角；一直線平行于平面或在平面內，所成角為0角。直線和平面所成角范圍：0，。2（2）最小角定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角。p標準文檔aqj1ac 實用文案ab（3）公式：已知平面a的斜線 與a內一直線 相交成角，aac b且 與a相交成j 角， 在a上的射影 與 相交成j 角，12cosj co

3、sj cosq則有=。12由（3）中的公式同樣可以得到：平面的斜線和它在平面內的射影所成角，是這條斜線和這個平面內的任一條直線所成角中最小的角。c考點二：直線和平面所成的角- abc例 2. 如圖，在三棱柱 abc中，四 邊形 a abb 是菱形，四邊形 bcc b 是矩形，ba c b ab ,c b = 2, = 4,abb = 600 ，cab 求 ac 與平面 bcc b 所成角的正切。ab3：（1）在1200- -、的二面角 p a q 的兩個面 p 與 內分別有兩點 a b ，已知點 a和點 b 到q棱的距離分別為2cm,4cm，且線段直線 ab 和棱a 所成角的正弦值；直線 ab

4、 和平面q 所成角的正弦值。ab =10cm。求：（2）（08 全國11）已知三棱柱-abc a b c 的側棱與底面邊長都相等， a 在底面 abc 內1111的射影為abc的中心，則ab 與底面 abc 所成角的正弦值等于（）1標準文檔 實用文案1323323abcd3（3）如圖，在矩形 abcd 中， ab= 3 3, bc = 3，沿對角線 bd dbcd折起，使點 移將c到c 點，且c 點在平面 abd 上的射影o 恰在 ab 上。求直線 ab 與平面 bc d 所成角的大小。3 3( )c cbaoa3bcddbbb（4） ab 為平面 的斜線，則平面 內過 a點的直線l 與ab所

5、成的最小角為_，a最大角為_。平面內過 點的直線l 與ab所成角 的范圍為_。qbablabba與平面 內不過 點的直線所成的角的范圍為_。直線a3060al 與平面 所成的角為 0 ，直線l 與l 所成角為 0 ，則l 與平面 所成角的取值范圍1212是_。設直線l 平面 ，過平面 外一點 與l 都成aa,aa300角的直線有且只有()（）條（）條（）條（）條a過正方體的頂點 作截面，使正方體的 12 條棱所在直線與截面所成的角皆相等。試寫出滿足條件的一個截面_（注：只須任意寫出一個），并證明。標準文檔 實用文案3二面角（1）二面角的概念：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫

6、做半平面；從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面。若棱為l ，兩個面分別為a,b的二面角記為ab-l -。al（2）二面角的平面角：過二面角的棱上的一點o 分別在兩個半平面內aob作棱的兩條垂線oa,ob，則aob叫做二面角oaab-l -b的平面角。說明：二面角的平面角范圍是 0, p，因此二面b角有銳二面角、直二面角與鈍二面角之分。二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直。（3）二面角的求法：（4）（一）直接法：作二面角的平面角的作法：定義法；棱的垂面法；三垂線定理或逆定理法；（注意一些常見模型的二面

7、角的平面角的作法）（二）間接法：面積射影定理的方法。（4）面積射影定理：dabcbcaaa 。設dabc的面積為 ，它在平s面積射影定理：已知的邊在平面 內，頂點a面 內的射影面積為a dq(0 q 90 ) yx = yx sin asin bo，則 點（）dabca.必在c.必在dabcb.必在dabc的某一邊上外部（不含邊界）內部（不含邊界） d.以上都不對aa（10）如果直角三角形的斜邊與平面 平行，兩條直角邊所在直線與平面 所成的角分別為標準文檔 實用文案q q和 ，則（）12asinsin1qqbsin q sin q 1+22221212csinsin1dsinq sin q+2

8、222212a b a i b l a a b b ，= ， ， ，（11）如圖，a，b la b ab a，b與 所成的角分別到 的距離分別是 和 ，ab a，bm na bqja是 和 ，在內的射影分別是 和 ，若 ，babb則（）lq j m n ， q j m n ， abq j m n ， q j m ncd（12）與正方形各面成相等的角且過正方體三個頂點的截面的個數是_。2.已知直三棱柱 abc - a b c , ab = ac, f bbbf = bc = 2a, fb = a為上一點，。11111d bce ada、d上不同于（1）若 為的中點， 為的任意一點，證明： ef

9、fc；1（2）若 a b = 3aaa b b1，求 fc 與平面所成角的正弦值。dbc1111eafbc11a1abcac = 2,bc = 3 pabcp3.已知直角三角形的兩直角邊， 為斜邊上的一點，現沿將dacpaaabcp 內的射影在cpab = 7折起，使 點到 點，且 在面上。當時，求二面角p - ac - b的大小。a(a)ap2bcb3cc1標準文檔ab11e 實用文案4如圖正三棱柱abc a b c 中，底面邊長為a ，側棱1112長為a ，若經過對角線 ab 且與對角線bc 平行的平211面交上底面于db 。（1）試確定 點的位置，并證明你d1的結論；（2）求平面ab d

10、 與側面 ab 所成的角及平面11ab d 與底面所成的角；（3）求 到平面 ab d 的距離。a111335如圖, 在直四棱柱 abcda b c d 中，abad2，dc2，a a ，addc，1 1 111acbd, 垂足為 e。（i）求證：bda c；1（ii）求二面角 a bdc 的大小；11（iii）求異面直線 ad 與 bc 所成角的大小。1標準文檔 實用文案abef abcdabefabcd6. 如 圖 ， 平 面平 面， 四 邊 形與都 是 直 角 梯 形 ，11bad = fab = 90o， bcad ， beaf 。22（）證明：c，d，f，e四點共面；ab = bc

11、= bea- ed- b的大小。（）設，求二面角fedabc7（08 江西 20）如圖，正三棱錐o - abc 的三條側棱oa，o b，oc兩兩垂直，且長度均為2。e，fab，acefef 的一個平面與側棱oa，o b，oc的中點，過分別是的中點，h 是3或其延長線分別相交于 a，b，c ，已知oa =。1 2111（1）證明： b c 平面oah ；11（2）求二面角o - a b - c的大小。111ocaf1cah1ebb1標準文檔 實用文案8如圖，已知平行六面體-abcd a b c d 的底面為正方形，o 、o 分別為上、下底面的中11111心，且a 在底面 abcd上的射影是o 。1（1）求證：平面o dc 平面 abcd；1, f（2）若點 e 分別在棱aa bc 上，且 ae,= 2ea ，問點 f 在何處時， ef ad ？11（3）若= 60-a ab10 ，求二面角c aa b 的大小（用反三角函數表示）。1c1o1edcoafb9如圖，正四棱柱-abcd a b c d ，側棱長為 3，底面邊長為 2， e 是棱 bc 的中點。1111（1）求