1、 精品文檔識別“費馬點” 思路快突破例 1 探究問題：（1）閱讀理解：如圖（a），在已知 abc 所在平面上存在一點 p，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點 p 為 abc 的費馬點，此時 papbpc 的值為 abc 的費馬距離.如圖（b），若四邊形 abcd 的四個頂點在同一圓上，則有 abcdbcdaacbd.此為托勒密定理.（2）知識遷移：請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（c），已知點 p 為等邊 abc 外接圓的上任意一點.求證：pbpcpa.bc根據（2）的結論，我們有如下探尋 abc（其中a、b、c 均小于 120）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖（d），在 ab

2、c 的外部以 bc 為邊長作等邊 bcd 及其外接圓；第二步：在上任取一點 p，連結 pa、pb、pc、pd.易知 papbpcpa（pbpc）bcpa；第三步：請你根據（1）中定義，在圖（d）中找出 abc 的費馬點 p，并請指出線段長度即為 abc 的費馬距離.的（3）知識應用：2010 年 4 月，我國西南地區出現了罕見的持續干旱現象，許多村莊出現了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水.已知三村莊 a、b、c 構成了如圖（e）所示的 abc（其中a、b、 c 均小于 120），現選取一點 p 打水井，使從水井p 到三村莊 a、b、c 所鋪設的輸水管總長度

3、最小，求輸水管總長度的最小值.精品文檔 精品文檔（1）平面內一點 p 到abc 三頂點的之和為 pa+pb+pc ，當點 p 為費馬點時， 距離之和最小 .特殊三角形中：(2)三內角皆小于 120 的三角形，分別以 ab，bc，ca，為邊，向三角形外側做正三角形 abc ，acb ，bca ，然后連接 aa ，bb ，cc ，則三線交于一點 p，則點 p 就是所求的111111費馬點 .(3)若三角形有一內角大于或等于 120 度，則此鈍角的頂點就是所求 .(4)當 abc 為等邊三角形時，此時外心與費馬點重合 .可見，永州卷這道考題對于費馬點只是以課題學習為問題載體，考得比較直截了當；巧合的

4、是例 2 如圖，四邊形 abcd 是正方形， abe 是等邊三角形，m 為對角線 bd（不含 b 點）上任意一點，將 bm 繞點 b 逆時針旋轉 60得到 bn，連接 en、am、cm. 求證： ambenb； 當 m 點在何處時，amcm 的值最小；當 m 點在何處時，ambmcm 的值最小，并說明理由； 當 ambmcm 的最小值為3 1時，求正方形的邊長.adnembc精品文檔 精品文檔思路探求：略； 要使 amcm 的值最小，根據“兩點之間線段最短”，需設法將 amcm 轉化為一條線段，連接 ac 即可獲取；要使 ambmcm 的值最小，由例 3 積累的知識經驗：點 m 應該是 abc

5、 的費馬點.由例 3中（2）的求解示范，只要連接 ce 即可獲得 ce 為 ambmcm 的值最小.這樣獲到 m 點至少幫助我們在思路獲取上提高了效率.理由說明供助于第（1）問的全等獲得 bm=bn，將三條線段轉化到ce 上去，問題化為兩點之間線段最短.根據題意，添加輔助線，構造直角三角形，過e 點作 efbc 交 cb 的延長線于 f. 設正方形( )x33x2的邊長為 x，則 bf解得即可.x，ef .在 rt efc 中，由勾股定理得（ ）2（xx）2 3 +1 ，2222簡答：略；當 m 點落在 bd 的中點時，amcm 的值最小.如圖，連接 ce，當 m 點位于 bd 與 ce 的交點處時，ambmcm 的值最小.理由如下：連接 mn.由知， ambenb，namen.mmbn60，mbnb，fbcbmn 是等邊三角形.bmmn.ambmcmenmncm.根據“兩點之間線段最短”，得 enmncmec 最短當 m 點位于 bd 與 ce 的交點處時，ambmcm 的值最小，即等于 ec 的長.過 e 點作 efbc 交 cb 的延長線于 f，ebf906030.x3設正方形的邊長為 x，則 bfx，ef .22( )23x在 rt efc 中，ef2fc2ec2，（ ）2（xx）2 3 +1 .22精品文檔 精品文檔解得，