1、第三章 測量數據處理第一節 測量誤差的處理一、系統誤差的發現和減小系統誤差的方法1，減小系統誤差的方法 ：（ 1）采用修正的方法（ 2）在實驗過程中盡可能減少或消除一切產生系統誤差的 因素（ 3）選擇使系統誤差抵消而不致帶入測得值的測量方法。2，試驗和測量中常用的幾種減小系統誤差的測量方法：（1）恒定系統誤差消除法：異號法交換法 替代法（2）可變系統誤差消除法： 對稱測量法消除線性系統誤差 替代方案采用按“標準被校被校標準”順序進行。 半周期偶數測量法消除周期性系統誤差 這種方法廣泛用于測角儀上。3，修正系統誤差的方法： （ 1）在測得值上加修正值（ 2）對測得值乘修正因子（ 3）畫修正曲線；

2、（ 4）制 定修正值表4，獲得修正值或修正因子的注意事項：（1）修正值或修正因子的獲得， 最常用的方法是將測得值與計量標準的標準值比較得到， 也就是通過校準得到。 修正曲線往往還需要采用實驗方法獲得。 （2） 修正值和修正因子都是有不確定度的。在獲得修正值或修正因子 時，需要評定這些值的不確定度。 （3） 使用已修正測得值時，該測得值的不確定度中應該考慮由于修正不完善 引入的不確定度分量。二、實驗標準偏差的估計方法1，幾種常用的實驗標準偏差的估計方法：（ 1） 貝塞爾公式法適合于測量次數較多的情況（36）計算步驟如下： 1）計算算術平均值 2）計算10個殘差 3）計算殘差平方和 4）計算實驗標

3、準偏差（2）極差法 一般在測量次數較小時采用該法。s（x）=（ xmax xmin）/c（3-8）（ 3）較差法 適用于頻率穩定度測量或天文觀測等領域。2，各種實驗標準偏差估計方法的比較貝塞爾公式法是一種基本的方法，但 n 很小時其估計的不確定度較大，例如 n=9時，由這種方法獲得的 標準偏差估計值的標準不確定度為 25%，而 n=3 時標準偏差估計值的標準不確定度達 50%，因此它適合于測 量次數較多的情況。極差法使用起來比較簡便， 但當數據的概率分布偏離正態分布較大時， 應當以貝塞爾公式法的結果為準。 在測量次數較少時常采用極差法。較差法更適用于隨機過程的方差分析，如適用于頻率穩定度測量或

4、天文觀測等領域。三、算術平均值及其實驗標準偏差的計算四、異常值的判別和剔除1，什么是異常值 ： 異常值又稱離群值， 指在對一個被測量重復觀測所獲的若干觀測結果中，出現了與其他 值 偏離較遠且不符合統計規律的個別值，他們可能屬于來自不同的總體，或屬于意外的、偶然的測量錯誤。也稱為存在著“粗大誤差”。 所以必須正確地判別和剔除異常值。 在測量過程中，記錯、讀錯、儀器突然跳動、突然震動等異常情況引起的已知原因的異常值，應該隨時 發現，隨時剔除，這就是物理判別法。有時，僅僅是懷疑某個值，對于不能確定哪個是異常值時，可采用統 計判別法進行判別。2, 判別異常值常用的統計方法：（1）拉依達準則： Xd-X

5、 3s（ 2）格拉布斯準則： Xd-x /s G（ a,n ）（3）狄克遜準則：（考前加強，出的可能性不大） 3，三種異常值判別準則的比較：（1）當 50的情況下， 3準則較簡便； 3 n50的情況下，格拉布斯準則效果較好，適用于單個異常 值；有多于一個異常值時狄克遜準則較好。（2）實際工作中，有較高要求的情況下，可選用多種準則同時進行，若結論相同，可以放心。當結論出現 矛盾，則應慎重，此時通常需選 a=0.01 。當出現既可能是異常值，又可能不是異常值的情況時，一般以不是 異常值處理較好。五、測量重復性和測量復現性的評定 六、加權算術平均值及其實驗標準偏差的計算方法 七、計量器具誤差的表示與

6、評定1，最大允許誤差可以用 絕對誤差，相對誤差，引用誤差或它們的組合形式表示。2，計量器具的示值誤差是指 計量器具 （即測量儀器 ）的示值與相應測量標準提供的量值之差。在計量檢定時， 用 高一級計量標準所提供的量值 作為約定值， 稱為標準值；被檢儀器的指示值或標稱值統 稱為示值 。則示值誤差可以用下式表示：示值誤差 = 示值一標準值 根據被檢儀器的情況不同，示值誤差的評定方法有 比較法、分部法 和組合法 幾種。 3，測量儀器示值誤差符合性評定的基本要求評定示值誤差的 測量不確定度 （U95或 k=2 時的 U）與被評定測量儀器的 最大允許誤差的絕對值 （MPEV） 之 比小于或等于 1：3，即

7、滿足 U95 1/3MPEV ，時，示值誤差評定的 測量不確定度對符合性評定的影響 可忽略 不計 （也就是合格評定誤判概率很小 ） 合格丨丨 MPEV；不合格丨丨 MPEV。對于型式評價和仲裁鑒定，必要時U95與 MPEV 之比也可取小于或等于 1：5。4，考慮示值誤差的測量不確定度后的符合性評定當示值誤差的測量不確定度 （U95 或是 k=2 時的 U）與被評定測量儀器的最大允許誤差的絕對值（MPEV） 之比不滿足小于或等于 1： 3的要求時，必須要考慮示值誤差的測量不確定度對符合性評定的影響。（1）合格判據 當被評定的測量儀器的示值誤差的絕對值小于或等于其最大允許誤差的絕對值 MPEV 與

8、示值誤差的 擴展不確定度 U 95之差時可判為合格，即丨丨 MPEV- U95判為合格（2）不合格判據 當被評定的測量儀器的示值誤差的絕對值大于或等于其最大允許誤差的絕對值 MPEV 與示值誤差的 擴展不確定度 u95之和時可判不合格，即丨丨 MPEV+ U95 判為不合格（3）待定區 當被評定的測量儀器的 示值誤差既不符合合格判據又不符合不合格判據 時，為處于待定 區。這時不能下合格或不合格的結論，即MPEV- U 95 丨丨 MPEV+ U95判為待定區當測量儀器示值誤差的評定處于不能做出符合性判定時，可以通過 采用準確度更高的計量標準、改善環 境條件、增加測量次數和改善測量方法 等措施，

9、 以降低示值誤差評定的測量不確定度U95后再進行合格評定。對于只具有不對稱或單側允許誤差限的被評定測量儀器，仍可按照上述原則進行符合性評定。 5，計量器具其他一些計量特性的評定：（一）準確度等級 測量儀器的準確度等級應根據檢定規程的規定進行評定。有以下幾種情況： （1）按最大允許誤差評定準確度等級（2）按示值的標準值的測量不確定度評定準確度等級（3）測量儀器多個測量范圍成多個參數時準確度等級的評定 當被評定的測量儀器包含兩個或兩個以上的測量范圍，并對應不同的準確度等級時，應分別評定各個測 量范圍的準確度等級。對多參數的測量儀器，應分別評定各測量參數的準確度等級。（二）分辨力 對測量儀器分辨力的

10、評定，可以通過測量儀器的顯示裝置或讀數裝置能有效辨別的最小示值來確 定。 （ 1）帶數字顯示裝置的測量儀器的分辨力為：最低位數字顯示變化一個步進量時的示值差。（ 2）用標尺讀數裝置 （包括帶有光學機構的讀數裝置 ）的測量儀器的分辨力為： 標尺上任意兩個相鄰標 記之間最小分度值的一半。（三 ）靈敏度 對被評定測量一起， 在規定的某激勵值上通過一個小的激勵變化x，得到相應的響應變化 y，則比值 s= y/ x，即為該激勵值時的靈敏度。對線性測量儀器來說，靈敏度是一個常數。（四）鑒別閾 對被評定測量儀器，在一定的激勵和輸出響應下，通過緩慢單方向地逐步改變激勵輸入，觀察 其輸出響應。使測量儀器產生恰能

11、察覺有響應變化時的激勵變化，就是該測量儀器的鑒別閾。（五）穩定性 （1）方法一： 通過測量標準觀測被評定測量儀器計量特性的變化，當變化達到某規定值時，其 變化量與所經過的時間間隔之比即為被評定測量儀器的穩定性。（ 2）方法二： 通過測量標準定期觀測被評定測量儀器計量特性隨時間的變化，用所記錄的被評定測量儀器 計量特性在觀測期間的變化幅度除以其變化所經過的時間間隔，即為被評定測量儀器的穩定性。（ 3）方法三： 頻率源的頻率穩定性用阿倫方差的正平方根值評定，稱頻率穩定度。當穩定性不是對時間而 言時，應根據檢定規程、技術規范或儀器說明書等有關技術文件規定的方法評定。（六）漂移 根據技術規范要求，用測

12、量標準在一定時間內觀測被評定測量儀器計量特性隨時間的慢變化，記 錄前后的變化值或畫出觀測值隨時間變化的漂移曲線。當測量儀器計量特性隨時間呈線性變化時，漂移曲線為直線，該直線的斜率即漂移率。在測得隨時間變 化的一系列觀測值后，可以用最小二乘法擬合得到最佳直線，并根據直線的斜率計算出漂移率。（七）響應特性 在確定條件下，激勵與對應響應之間的關系稱為測量儀器的響應特性。 評定方法是： 在確定條件下，對被評定測量儀器的測量范圍內不同測量點輸入信號，并測量輸出信號。當輸入信號和輸出信號不隨時間變化時，記下被評定測量儀器的不同激勵輸入時的輸出值，列成表格、畫出 曲線或得出輸入輸出量的函數關系式，即為測量儀

13、器靜態測量情況下的響應特性。第二節 測量不確定度的評定與表示一、統計技術應用1（一）期望 ：期望是概率分布曲線與橫坐標軸所構成面積的重心所在的橫坐標，所以期望是決定概率分布 曲線位置的量。（二）方差： 方差就是隨機誤差平方的期望值。方差說明了隨機誤差的大小和測量值的分散程度。2， 標準偏差是表明測量值分散性的參數，小表明測量值比較集中， 大表明測量值比較分散。用期望與標準偏差表征概率分布期望和方差是表征概率分布的兩個特征參數。 由于方差不便使用，通常用期望和標準偏差來表征一個概率分布。 影響概率分布曲線的 位置； 對于單峰、對稱的概率分布來說，期望值在分布曲線峰頂對應的橫坐標處。 影響概率分布

14、曲線的 形狀， 表明測量值的分散性。（ 小表明測量值比較集中， 大表明測量值比較分散。 ） 期望與標準偏差都是以無窮多次測量的理想情況定義的，無法由測量得到 和 2 ，因此都是概念性的術語。3，實驗標準偏差 ：用有限次測量的數據得到的標準偏差的估計值稱為實驗標準偏差 ，用符號 s 表示。 在給出標準偏差的估計值時，自由度越大，表明估計值的可信度越高 。(n 1)越大， 1/n1值越小，則其 s(x)值也越小 4，正態分布曲線：正態分布圖，具有如下特征： 單峰：概率分布曲線在均值處具有一個極大值； 對稱分布：正態分布以 x= 為其對稱軸，分布曲線在均值的兩側是對稱的； 當 x 時，概率分布曲線以

15、 x 軸為漸近線； 概率分布曲線在離均值等距離 (即 x= )處兩邊各有一個拐點； 分布曲線與 x 軸所圍面積為 1，即各樣本值出現概率的總和為 1； 為位置參數，為形狀參數。由于， 能完全表達正態分布的形態， 所以常用簡略符號 xn(,)表示正態分布。 當 =0, =1 時表 示為 xn (0 ， 1)，稱為標準正態分布。5，相關系數與協方差的關系(1)相關系數是一個純數字，相關系數的值在1到 +1之間，它表示兩個量的相關程度，通常比協方差更直觀。(2)協方差估計值 s(x,y)與相關系數估計值 r(x， y)的關系3-52)3-53)式中， s(x) 和 s(y) 分別為 x 和 y 的實

16、驗標準偏差。二、GUM法評定測量不確定度的步驟和方法1， GUM 法評定測量不確定度的步驟：(1) 明確被測量， 必要時給出被測量的定義及測量過程的簡單描述；(2)分析不確定度來源并寫出測量模型；(3) 評定測量模型中各輸入量的標準不確定度u(xi)，計算靈敏系數 ci 從而給出與各輸入量對應的輸出量 y 的不確定度分量 ui(yi)= 丨 ci 丨 u(xi)；(4)計算合成標準不確定度 uc(y) ，計算時應考慮各輸入量之間是否存在值 得考慮的相關性， 對于非線性數學模型則應考慮是否存在值得考慮的高階項；(5) 列出不確定度分量的匯總表，表中應給出每一個不確定度分量的詳細信息；(6)對被測

17、量的概率分布進行估計，并根據概率分布和所要求的置信水平 p 確定包含因子 kp；(7) 在無法確定被測量 y 的概率分布時，或該測量領域有規定時，也可以直接取 包含因子 k=2 ； (8)由合成標準不確定度 uc(y)和包含因子 k或kp的乘積，分別得到擴展不確定度U 或Up； (9)給出測量不確定度的最后陳述，其中應給出關于擴展不確定度的足夠信息。利用這些信息，至少應該使用戶 能從所給的擴展不確定度進而評定其測量結果的合成標準不確定度。簡化步驟： 分析不確定度來源和建立測量模型評定標準不確定度分量ui計算合成標準不確定度 uc確定擴展不確定度 U 或 Up報告測量結果 2，通常測量不確定度來

18、源從以下方面考慮：( 1)被測量的定義不完整 ( 2)復現被測量的測量方法不理想( 3)取樣的代表性不夠，即被測樣本不能代表所定義的被測量(4)對測量過程受環境影響的認識不恰如其分或對環境的測量與控制不完善( 5)對模擬式儀器的讀數存在人為偏移(6)測量儀器的計量性能的局限性( 7)測量標準或標準物質提供的量值的不準確(8)引用的數據或其他參量值的不準確(9)測量方法和測量程序的近似和假設( 10)在相同條件下被測量在重復觀測中的變化通常，在分析測量結果的不確定度來源時，可以從 測量儀器、測量環境、測量方法、被測量 等方面全面 考慮，應盡可能做到不遺漏、不重復。特別應考慮對測量結果影響較大的不

19、確定度來源。3，規范化常規測量時 a 類標準不確定度評定在規范化的常規測量中，測量 m 個同類被測量，得到 m 組數據，每組測量 n 次，第 j 組的平均值為 xj， 則合并樣本標準偏差 sp的 a 類標準不確定度自由度為 v=m（n 1）。若對每個被測件的測量次數 nj 不同，即各組的自由度vj 不等，各組的實驗標準偏差為 sj，則式中， vj= nj 1。對于常規的計量檢定或校準，當無法滿足n 10時，為使得到的實驗標準差更可靠，如果有可能，建議采用合并樣本標準差 sp 作為由重復性引入的標準不確定度分量。4， 標準不確定度的 B 類評定是借助于一切可利用的有關信息進行科學判斷，得到估計的

20、標準偏差。 根據有關信息或經驗，判斷被測量的可能值區間（ a， a）； 假設測得值在區間內的概率分布； 根據概率分布和要求的包含概論 p估計包含因子 k，則 B 類評定的標準不確定度 u為:u=a/k （3-62）式中 a 為被測量可能值區間的半寬度； k 為包含因子。5，區間半寬度 a 值是根據有關信息確定的，一般情況下，可利用的信息包括： 以前的觀測數據； 對有關技術資料和測量儀器特性的了解和經驗； 生產部門提供的技術說明文件 （制造廠的技術說明書 ）； 校準證書、檢定證書、測試報告或其他提供的數據、準確度等級等； 手冊或某些資料給出的參考數據及其不確定度； 規定測量方法的校準規范、檢定規

21、程或測試標準中給出的數據； 其他有用信息。6，B 類評定時如何建設可能值的概率分布和確定 k 值。 概率分布的假設a. 若被測量受許多相互獨立的隨機影響量的影響，這些影響量變化的概率分布各不相同，但各個變量的影 響均很小時，被測量的隨機變化服從 正態分布 。b. 如果有證書或報告給出的擴展不確定度是U90、 U95或 U99，除非另有說明，可以按 正態分布 來評定 B 類標準不確定度。c. 一些情況下，只能估計被測量的可能值區間的上限和下限，測量值落在區間外的概率幾乎為零。若測量 值落在該區間內的任意值的可能性相同，則可假設為 均勻分布 。d. 若落在該區間中心的可能性最大，則假設為三角分布

22、。e. 若落在該區間中心的可能性最小，而落在該區間上限和下限處的可能性最大，則假設為反正弦分布 。f. 對被測量的可能值落在區間內的情況缺乏了解時，一般假設為均勻分布 。實際工作中， 可依據同行專家的研究和經驗來假設概率分布。例如： 無線電計量中失配引起的不確定度為反正弦分布；幾何量計量中度盤偏心引起的測角不確定度為反正弦分布；測量儀器最大允許誤差、分辨力、 數據修約、度盤或齒輪回差、平衡指示器調零不準等導致的不確定度按均勻分布考慮；兩個獨立量值之和或 之差的概率分布為三角分布；按級使用量塊時，中心長度偏差導致的概率分布為兩點分布 。 k 值的確定a. 已知擴展不確定度是合成標準不確定度的若干

23、倍時，則該倍數（包含因子 ）就是 k 值。b. 假設概率分布后，根據要求的置信概率查表得到置信因子k 值。 常用的概率分布與置信因子的關系見表312和表 313。7，輸入量間相關時的處理方法：（1）在以下情況時可取協方差為零或忽略不計 在不同實驗室用不同測量設備、在不同時間測得的量值。 xi與 xj 中任意一個量可作為常數處理。 獨立測量的不同量的測量結果。（2）用同時觀測兩個量的方法確定協方差估計值對兩個輸入量 xi 及 xj 進行同時重復觀測，設 xik，xjk 分別是輸入量 xi 及 xj 的觀測值。 k 為測量次數 （k=1，2，n）。分別為第 i個輸入量和第 j個輸入量的 k次測量的

24、算術平均值； xi與 xj的協方差估計值可由式 （374）計算3）用同時觀測兩個量的方法確定相關系數的估計值；3-74)3-75a)(4) 用經驗公式估計相關系數 如果兩個輸入量 xi，xj相關，xi變化 i會使 xj相應變化變化 j，則 xi和xj的相關系數可用經驗公式 (376)估計3-75b)式中， u(xi)和 u(xj)分別 xi和 xj的標準不確定度。( 5)當兩個量均因與同一個量有關而相關時，協方差的估計方法設 xi f(q),xj=g(q) ，q是為使 xi與 xj相關的變量 q的估計值， f,g 分別表示兩個量與 q的測量函數。則 xi 與 xj 的協方差按式( 3 76a)

25、計算376a)如果多個變量使 xi 與 xj 相關，當時，則協方差按式( 3 76b)計算376b)(6)采用適當方法去除相關性將引起相關的量作為獨立的附加輸入量進入數學模型采取有效措施變換輸入量8，合成標準不確定度的有效自由度的計算：合成標準不確定度 uc(y)的自由度稱為有效自由度，用符號veff 表示。在以下情況時需要計算有效自由度 veff( 1)當需要評定 Up 時為求得 kp 而必須計算 uc(y)的自由度 veff； (2)當用戶為了解所評定的不確定度的可靠程度而提出要求時。有效自由度的計算公式：分布時，合成標準不確定度的有效自由度通常可按式 (3當各分量間相互獨立且輸出量解決正

26、態分布或 77)計算得到3-77)當測量模型為時，有效自由度可用相對標準不確定度的形式計算，式3(3-78)veff 不一定是一個整數。如果不是整數，可以采用將v eff數字舍位到最接veff=12.65 ，則取 veff=12 。Up 的評定方法78p 時，擴展不確定度用符號 up 表示 (380)實際計算中，得到的有效自由度 近的一個較低的整數。例如計算得到 9，明確規定包含概率時擴展不確定度 當要求擴展不確定度所確定的區間具有接近于規定的包含概率 Up=kp uc kp 是包含概率為 p 時的包含因子。 (1)接近正態分布時 kp 的確定 根據中心極限定理，當不確定度分量很多，且每個分量

27、對不確定度的影響都不大時，其合成分布接近正 態分布，此時若以算術平均值作為測量結果y，通常可假設概率分布為 t分布，可以取 kp值為 t 值。即kp=tp(veff)(3 81)根據合成標準不確定度 uc(y)的有效自由度 veff和需要的置信水平 p，查表得到的 t 值即置信水平為 p的包 含因子 kp 。擴展不確定度 Up=kp uc(y)提供了一個具有包含概率 (置信水平 )為 p 的區間 y士 Up。獲得 kp 的計算步驟為：求得測量結果的估計值 y 及其合成標準不確定度 uc(y) 。按式 (382) 計算 uc(y) 的有效自由度 veff3-82)式中， ci為靈敏系數， u (

28、xi)為輸入量 xi的標準不確定度， vi為 u (xi)的自由度。當 u (xi)為 A 類標準不確定度時是由 n次觀測得到的 s(x)或 s(x)，其自由度為 vi=n1； 當 u (xi)為 B 類標準不確定度時，用式 (3 83)估計自由度 vi3-83)式中， u(x i)/ u(xi)是標準不確定度 u(x i)的相對不確定度，是所評定的 u(xi)的不可靠程度。 在實際工作中， B 類標準不確定度通常根據區間 a,a的信息來評定。若可假設被測量值落在區間外的概 率極小，則可認為 u(xi)的評定是很可靠的，即 u(xi)/ u(xi)趨于 0，此時，可假設 u(xi)的自由 度

29、vi。 根據要求的置信水平 p和計算得到的有效自由度 veff，查 t分布的 t 值表得到 tp(veff)值。 取 kp=t p(veff) ，并計算 Up=k p uc。三、蒙特卡洛法評定測量不確定度的步驟和方法1，蒙特卡洛法簡稱 MCM ，是用概率分布傳播的方法來評定測量不確定度。蒙特卡洛法評定測量不確定度 的方法： ( 1)建立測量模型；( 2)對每個輸入量設定概率密度函數(PDF)；( 3)選定蒙特卡洛試驗數；( 4)輸入量概率分布的抽樣及模型值計算；(5)輸出量分布函數的離散表示；(6)輸出量的估計值及其標準不確定度和包含區間；( 7)報告評定結果；四、GUM 法與蒙特卡洛法的比較

30、1， GUM 法與蒙特卡洛法 (1)GUM法：通過不確定傳播率計算合成標準不確定度，從而得到被測量估計值的測量不確定度的方法成為 GUM 法，即不確定度指南的方法。 GUM 法的使用詳見 JJF 1059.12012測量不確定度表示與評定。GUM 法主要適用條件：1. 可以假設輸入量的概率分布呈對稱分布；2. 可以假設輸入量的概率分布近似為正態分布或t 分布；3. 測量模型為線性模型、可以轉換為線性的模型或可用線性模型近似的模型。( 2)蒙特卡洛法：適用 GUM法的條件 MCM也都適用，除此之外， MCM對以下情況尤為有利： 1，測量模型明顯呈非線性。2，輸入量的概率分布明顯非對稱。 3，輸出

31、量的概率分布較大程度地偏離正態分布或t 分布，尤其是明顯非對稱分布。第三節 測量結果的處理和報告一、最終報告時測量不確定度的有效位數1，在報告測量結果時，不確定度以 U 或 uc(y)都只能是 1-2 位有效數字。也就是說，報告的測量不確定度最 多為 2 位有效數字。建議：當第一位有效數字是 1或 2 時，應保留 2位有效數字。除此之外，對測量要求不高的情況可以保 留 1 位有效數字。測量要求較高時，一般取二位有效數字。“近似值修約誤差限的絕對值不超過末位的單位量值的一半”。二、報告測量結果的最佳估計值的有效位數的確定1，測量結果(即被測量的最佳估計值)的末位一般應修約到與其測量不確定度的末位對齊。即同樣