1、精品文檔如何做幾何證明題【知識(shí)精讀】1.幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。2.掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起

2、來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。3.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。【分類解析】1、證明線段相等或角相等很兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。多其它問題最后都可化歸為此類問題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例

3、1.已知：如圖1所示，dabc中，c=90，ac=bc，ad=db，ae=cf。求證：dedf精品文檔精品文檔aedcf圖1b分析：由dabc是等腰直角三角形可知，a=b=45，由d是ab中點(diǎn)，可考慮連結(jié)cd，易得cd=ad，dcf=45。從而不難發(fā)現(xiàn)ddcfddae證明：連結(jié)cdqac=bca=bqacb=90，ad=dbcd=bd=ad，dcb=b=aqae=cf，a=dcb，ad=cddadedcdfde=df說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)cd，因?yàn)閏d既是斜邊上的中

4、線，又是底邊上的中線。本題亦可延長(zhǎng)ed到g，使dgde，連結(jié)bg，證defg是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。例2.已知：如圖2所示，abcd，adbc，aecf。求證：ef精品文檔精品文檔beadcf圖2qb=d證明：連結(jié)ac在dabc和dcda中，qab=cd，bc=ad，ac=cadabcdcda(sss)b=dqab=cd，ae=cfbe=df在dbce和ddaf中，be=dfbc=dadbceddaf(sas)e=f說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：（1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；（2）添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角

5、形。2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。例3.如圖3所示，設(shè)bp、cq是dabc的內(nèi)角平分線，ah、ak分別為a到bp、cq的垂線。求證：khbc精品文檔精品文檔aqkbmphnc圖3分析：由已知，bh平分abc，又bhah，延長(zhǎng)ah交bc于n，則babn，ahhn。同理，延長(zhǎng)ak交bc于m，則cacm，akkm。從而由三角形的中位線定理，知khbc。證明：延長(zhǎng)ah交b

6、c于n，延長(zhǎng)ak交bc于mbh平分abcabh=nbh又bhahahb=nhb=90bhbhdabhdnbh(asa)ba=bn，ah=hn同理，cacm，akkmkh是damn的中位線kh/mn即kh/bc說明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對(duì)稱）而成一個(gè)等腰三角形。例4.已知：如圖4所示，abac，a=90，ae=bf，bd=dc。精品文檔精品文檔求證：fdedafe12bd3c圖4證明一：連結(jié)adqab=ac，bd=dc1+2=90，dae=dabqbac=90，bd=dcbd=adb=dab=

7、dae在dade和dbdf中，qae=bf，b=dae，ad=bddadedbdf3=13+2=90fded說明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。證明二：如圖5所示，延長(zhǎng)ed到m，使dmed，連結(jié)fe，fm，bmbafedcm圖5精品文檔精品文檔qbd=dcbdm=cde，dm=dedbdmdcdece=bm，c=cbmbm/acqa=90abm=90=aqab=ac，bf=aeaf=ce=bmdaefdbfmfe=fmqdm=defded說明：證明兩直線垂直的方法如下：（1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證二

8、。（2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。（3）證明二直線的夾角等于90。3、證明一線段和的問題（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）例5.已知：如圖6所示在dabc中，b=60，bac、bca的角平分線ad、ce相交于o。求證：acaecd精品文檔精品文檔beoda152f346c圖6分析：在ac上截取afae。易知daeodafo，1=2。由b=60，知5+6=60，1=60，2+3=120。1=2=3=4=60，得：dfocddoc，fc=dc證明：在ac上截取afaeqbad=cad，ao=aodaeodafo(sas)4=

9、2又b=605+6=601=602+3=1201=2=3=4=60dfocddoc(aas)fc=dc即ac=ae+cd（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）例6.已知：如圖7所示，正方形abcd中，f在dc上，e在bc上，eaf=45。求證：efbedf精品文檔精品文檔ad312fgbe圖7c分析：此題若仿照例1，將會(huì)遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)cb至g，使bgdf。證明：延長(zhǎng)cb至g，使bgdf在正方形abcd中，abg=d=90，ab=addabgdadf(sas)ag=af，1=3又eaf=452+3

10、=452+1=45即gaefaege=efef=be+df4、中考題：如圖8所示，已知dabc為等邊三角形，延長(zhǎng)bc到d，延長(zhǎng)ba到e，并且使aebd，連結(jié)ce、de。求證：ecedefabc圖8d證明：作df/ac交be于f精品文檔精品文檔qdabc是正三角形dbfd是正三角形又aebdae=fd=bfba=af=ef即efacqac/fdeac=efddeacddfe(sas)ec=ed題型展示：證明幾何不等式：例題：已知：如圖9所示，1=2，abac。求證：bddca12bd圖9ce證明一：延長(zhǎng)ac到e，使aeab，連結(jié)de在dade和dadb中，qae=ab，2=1，ad=addade

11、dadbbd=de，e=bqdcebdceededc，bddc證明二：如圖10所示，在ab上截取afac，連結(jié)df精品文檔精品文檔fa1234bd圖10c則易證dadfdadc3=4，df=dcqbfd3，4bbfdbbddfbddc說明：在有角平分線條件時(shí)，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1.已知：如圖11所示，dabc中，c=90，d是ab上一點(diǎn)，decd于d，交bc于e，且有ac=ad=ce。求證：de=12cdceadb圖112.已知：如圖12所示，在dabc中，a=2b，cd是c的平分線。求證：bcacad精品文檔精品文檔adbc圖123.已知：如圖1

12、3所示，過dabc的頂點(diǎn)a，在a內(nèi)任引一射線，過b、c作此射線的垂線bp和cq。設(shè)m為bc的中點(diǎn)。求證：mpmqaqbmcp圖134.dabc中，bac=90，adbc于d，求證：ad1(ab+ac+bc)4精品文檔精品文檔【試題答案】1.證明：取cd的中點(diǎn)f，連結(jié)afc41f3eadbqac=adafcdafc=cde=90又1+4=90，1+3=904=3qac=cedacfdced(asa)cf=edde=1cd22.分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡(jiǎn)單，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的手法?！敖亻L(zhǎng)”即將長(zhǎng)的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長(zhǎng)出另一條短線段之長(zhǎng)，證明其和等于長(zhǎng)的線段。eadbc精品文檔精品文檔qbcd=ecd證明：延長(zhǎng)ca至e，使cecb，連結(jié)ed在dcbd和dced中，cb=cecd=cddcbddcedb=eqbac=2bbac=2e又bac=ade+eade=e，ad=aebc=ce=a