1、主題主題 1雙曲線的定義與名詞介紹雙曲線的定義與名詞介紹 例題 1雙曲線的定義 如右圖，在方格紙中有兩組同心圓，圓心分別 為 f1 與 f2，若 p 點在以 f1，f2 為焦點的雙曲 在線，試問 a，b，c，d，e 五點中，哪些點 亦在此雙曲線上？ 解 2， 3 而 ， ， ， 故 p，c，d 三點位于同一雙曲線上 1 pf 2 pf 12 1pfpf 12 2afaf 12 3bfbf 12 1cfcf 12 1dfdf 12 0efef 121212 1pfpfcfcfdfdf 下一題 例題 2（焦點到中心距離)2（半貫軸長)2（半共軛軸長)2 下一題 已知一雙曲線的貫軸長為 6，兩焦點的

2、距離為 10，試求此雙曲線的共 軛軸長。 解由題意知 2a6，2c10，所以 a3，c5 因此 b 故共軛軸長 2b8 2222 534ca 上一題 主題主題 2雙曲線的標準式雙曲線的標準式 (1) 已知一雙曲線的兩焦點為（2 , 0）與（2 , 0），貫軸長為 2，試求 此雙曲線的標準式。 解 例題 3雙曲線的標準式（中心在原點） (1) 如右圖所示 因為焦點為（2 , 0），（2 , 0） 所以中心為原點，貫軸在 x 軸上 且方程式形如 又 c2，貫軸長 2a2，所以 a1 而 b2c2a222123 得雙曲線方程式為 22 22 1 xy ab 22 1 13 xy (2) 如右圖所示

3、因為焦點為（0 , 2），（0 , 2） 所以中心為原點，貫軸在 y 軸上 且方程式形如 又 c2，貫軸長 2a2，所以 a1 而 b2c2a2 22 123 得雙曲線方程式為 22 22 1 xy ba 22 1 31 xy 下一題上一題 解 例題 3雙曲線的標準式（中心在原點） (2) 已知一雙曲線的兩焦點為（0 , 2）與（0 , 2），貫軸長為 2，試求 此雙曲線的標準式。 (1) 將方程式 4x216y264 改寫成 與標準式比較，得知此雙曲線的中心在原點 o（0 , 0） 如右圖所示，兩焦點在 x 軸上 且 a4，b2 c 所以貫軸長 2a8，共軛軸長 2b4 焦點為（ , 0）與

4、（ , 0） 頂點為（4 , 0）與（4 , 0） 22 22 1 42 xy 22 1642 5ab 2 52 5 例題 4雙曲線的各要素 (1) 已知一雙曲線的方程式為 4x216y264，試求其貫軸長、共軛軸 長、中心、焦點及頂點坐標。 解 (2) 將方程式 16x29y2144 改寫成 與標準式比較，得知此雙曲線的中心在原點 o（0 , 0） 如右圖所示，兩焦點在 y 軸上， 且 a4，b3，c 所以貫軸長 2a8，共軛軸長 2b6 焦點為（0 , 5）與（0 , 5） 頂點為（0 , 4）與（0 , 4） 22 1 916 xy 2222 435ab 下一題上一題 解 例題 4雙曲線

5、的各要素 (2) 已知一雙曲線的方程式為 16x29y2144，試求其貫軸長、共軛 軸長、中心、焦點及頂點坐標。 例題 5雙曲線的應用 核電廠的冷卻塔很多都是雙曲面型的。右圖是某冷卻塔 的截面圖，頸部 4 是雙曲線的貫軸長。出風口直徑 8，入風口直徑 28，已知 ， ， 互相 平行，且 與 的距離為 24，試求 與 的距離。 將此冷卻塔的截面圖坐標化 設雙曲線的中心為 o（0 , 0），貫軸在 x 軸上 2a4 a2 可假設此雙曲線的方程式為 ，即 又 28， 與 的距離為 24 故此雙曲線通過 d（14 , 24） ab efcdabcdef abcdabef 解 22 22 1 xy ab

6、 22 2 1 4 xy b cdabcd 例題 5雙曲線的應用 核電廠的冷卻塔很多都是雙曲面型的。右圖是某冷卻塔 的截面圖，頸部 4 是雙曲線的貫軸長。出風口直徑 8，入風口直徑 28，已知 ， ， 互相 平行，且 與 的距離為 24，試求 與 的距離。 解代入 可得 b212，而 f 點的 x 坐標為 4， y 坐標即為 與 的距離， 代入雙曲線 可得 y6（負不合） 與 的距離為6 2 22 1 4 xy b abef 22 1 412 xy 22 4 1 412 y abef ab efcdabcdef abcdabef 下一題上一題 例題 6求漸近線 下一題 試求雙曲線 的兩條漸近線

7、方程式。 解 的兩條漸近線為 與 即 4x3y0 與 4x3y0 22 1 916 xy 22 1 916 xy 0 34 xy 0 34 xy 上一題 主題主題 3雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線 例題 7雙曲線與漸近線 試證：雙曲線 ： 上任一點 p 到兩直線 l1：bxay0 與 l2：bxay0 的距離乘積為定值 。 證 設 p（x0 , y0）為雙曲線 ： 上任一點 可得 b2x02a2y02a2b2 又 p（x0 , y0）到 l1 的距離為 p（x0 , y0）到 l2 的距離為 22 22 1 xy ab 22 22 a b ab 22 22 1 xy ab 00 22 bxay

8、ba 00 22 bxay ba 故 p 到 l1 與 l2 的距離乘積為 222222 000000 2222 2222 bxaybxayb xa ya b abab baba 下一題上一題 例題 7雙曲線與漸近線 試證：雙曲線 ： 上任一點 p 到兩直線 l1：bxay0 與 l2：bxay0 的距離乘積為定值 。 22 22 1 xy ab 22 22 a b ab 證 例題 8共軛雙曲線 下一題 試求雙曲線 的共軛雙曲線。 解 的共軛雙曲線為 22 1 916 xy 22 1 916 xy 22 1 916 xy 上一題 主題主題 4共軛雙曲線與等軸雙曲線共軛雙曲線與等軸雙曲線 例題

9、9等軸雙曲線 下一題 一等軸雙曲線的兩焦點為 f1（0 , ），f2（0 , ），求此雙曲 線方程式。 解此等軸雙曲線的中心為 的中點，即（0 , 0）， 且其貫軸在 y 軸上，而 2c ，得 c 又 c2a2b2，且 ab，故 a2b24 故此等軸雙曲線的方程式為 2 22 2 12 ff 12 4 2ff 2 2 22 1 44 xy 上一題 主題主題 5雙曲線的平移與伸縮雙曲線的平移與伸縮 例題 10雙曲線的標準式（中心為（h , k） 下一題 已知一雙曲線的兩焦點為（7 , 1）與（3 , 1），貫軸長為 6，試求此 雙曲線方程式。 解如右圖所示，因為兩焦點為（7 , 1）與（3 ,

10、1） 所以中心（h , k）（2 , 1），貫軸平行 x 軸， 且 c5，又貫軸長 2a6a3 而 b ，代入標準式 得雙曲線的方程式為 22 4ca 22 22 1 xhyk ab （ ） （ ） 22 21 1 916 xy（ ） （ ） 上一題 解 (1) 如右圖，將雙曲線 ： 以原點為中心伸縮 2 倍 可得雙曲線 ： （a 與 b 皆成為原來 2 倍） 即 22 22 1 2 22 1 xy （） （） 22 1 164 xy 例題 11雙曲線的伸縮 (1) 已知雙曲線 ： ，將圖形 以原點為中心伸縮 2 倍，得 到一個新雙曲線 的圖形，試求雙曲線 的方程式。 22 1 41 xy 2

11、2 1 41 xy (2) ： 的兩條漸近線為 與 ： 的兩條漸近線為 與 皆可整理成 x2y0 與 x2y0 故 與 的漸近線相同 22 1 41 xy 0 21 xy 0 21 xy 22 1 164 xy 0 42 xy 0 42 xy 下一題上一題 例題 11雙曲線的伸縮 (2) 同(1) ，試比較 與 的漸近線是否相同。 解 主題主題 6雙曲線的性質雙曲線的性質 例題 12漸近線與雙曲線方程式的關系 下一題 試求中心為（2 , 1），一漸近線為 xy30，且過點（4 , 2）的 等軸雙曲線方程式。 解等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直 可假設另一條漸近線的方程式為 xym0 又中心（2

12、, 1）為兩條漸近線的交點 2（1）m0 m1 可知等軸雙曲線的兩漸近線為 xy30 與 xy10 設雙曲線的方程式為（xy3）（xy1）k 此方程式過點（4 , 2） （4（2）3）（4（2）1）k k3 即等軸雙曲線的方程式為（xy3）（xy1）3 上一題 例題 13由雙曲線的一般型態求諸要素 已知雙曲線 的方程式為 4x2y28x4y40，試求其貫軸長、共 軛軸長、中心、焦點、頂點及漸近線方程式。 解將方程式 4x2y28x4y40，依 x，y 配方 得 4（x22x1）（y24y4）4 整理得 ，其中 a1，b2 所以方程式的圖形是一個貫軸平行于 x 軸的雙曲線 中心為（1 , 2），

13、貫軸長 2a2，共軛軸長 2b4， c 22 12 1 14 xy（ ） （ ） 22 5ab 兩頂點為（0 , 2）與（2 , 2） 兩焦點為（1 , 2）與（1 , 2） 漸近線方程式為 2xy0 與 2xy40 55 上一題 例題 13由雙曲線的一般型態求諸要素 已知雙曲線 的方程式為 4x2y28x4y40，試求其貫軸長、共 軛軸長、中心、焦點、頂點及漸近線方程式。 解 右圖是以 f1，f2 為圓心的兩組同心圓，各組 4 個同心圓的半徑分別為 1，2，3，4。已知有一 雙曲線以 f1，f2 為焦點，且通過 p 點，則此雙 曲線的貫軸長為。 主題主題 1雙曲線的定義及標準式雙曲線的定義及

14、標準式 范例 1雙曲線的定義 解由圖可知 3， 4 下一題 由雙曲線的定義可知貫軸長 341 2 pf 1 pf 2 pf 1 pf 故貫軸長為 1 若一雙曲線的貫軸長為 12，兩焦點間的距離為 13，則此雙曲線的共軛 軸長為。 解由題意知 2a12，2c13 上一題下一題 范例 2雙曲線的基本概念運算 a6，c b 13 2 2 222 513 6 22 ca 故共軛軸長 2b5 (1) 已知雙曲線的兩焦點為（5 , 0），（5 , 0），貫軸長為 6，則此 雙曲線方程式為。 范例 3求雙曲線方程式 (1) 兩焦點為（5 , 0），（5 , 0） 中心為（0 , 0），貫軸在 x 軸上，且

15、c5 又貫軸長 2a6 a3 解 b 22 4ca 故雙曲線方程式為 22 1 916 xy (2) 已知雙曲線的中心為（0 , 0），一焦點為（0 , 5），共軛軸長為 8，則此雙曲線方程式為。 范例 3求雙曲線方程式 上一題下一題 (2) 中心為（0 , 0），焦點為（0 , 5） c5 又共軛軸長 2b8 b4 解 a 22 3cb 故雙曲線方程式為 22 1 169 xy c 范例 4求雙曲線的各要素 已知一雙曲線方程式為 1，則： (1) 中心坐標為。 (2) 頂點坐標為。 1 解 22 94 xy 此為中心在原點的雙曲線，焦點在 x 軸上 22 94 xy 且 a 3，b 2，94

16、 9 413 (1) 中心坐標為（0 , 0） (2) 頂點坐標為（3 , 0），（3 , 0） 范例 4求雙曲線的各要素 已知一雙曲線方程式為 1，則： (3) 焦點坐標為。 (4) 貫軸長為。 (5) 共軛軸長為。 (6) 對稱軸方程式為。 (3) 焦點坐標為 f1（ , 0）， f2（ , 0） 解 22 94 xy (4) 貫軸長 2a6 (5) 共軛軸長 2b4 (6) 對稱軸方程式為 x0 及 y0 1313 c 此為中心在原點的雙曲線，焦點在 x 軸上 且 a 3，b 2，949 413 1 22 94 xy 已知一雙曲線方程式為 1，則： (7) 漸近線方程式為。 范例 4求雙

17、曲線的各要素 上一題下一題 解(7) 漸近線方程式為 4x29y20 (2x3y)(2x3y)0 2x3y0 或 2x3y0 故漸近線方程式為 2x3y0 與 2x3y0 22 94 xy 22 0 94 xy 范例 5雙曲線的平移 將雙曲線： 1 平移（3 , 1）后，所得的雙曲線 的方程式 為。 上一題下一題 雙曲線： 1 平移（3 , 1）后 解 主題主題 2雙曲線的平移與伸縮雙曲線的平移與伸縮 22 94 xy 22 94 xy 所得雙曲線 之方程式為 22 31 1 94 xy（ ） （ ） 范例 6雙曲線的標準式 已知雙曲線：4x2y216x6y30 ，則： (1) 頂點坐標為。

18、解4x2y216x6y30 4 (x2)2 (y3)24 ： (1) 中心點 o（2 , 3），a1 頂點（2 1 , 3），即（3 , 3）與（1 , 3） 22 23 1 14 xy（ ） （ ） 范例 6雙曲線的標準式 已知雙曲線：4x2y216x6y30 ，則： (2) 漸近線方程式為。 (3) 雙曲線上任一點到兩漸近線距離的乘積為。 上一題下一題 解 (3) 所求為 22 22 1 44 1 45 a b ab (2xy1)(2xy7)0 2xy10 或 2xy70 即漸近線方程式為 2xy1 與 2xy7 (2) 漸近線為 0 4 (x2)2 (y3)20 22 23 14 xy（

19、 ） （ ） 2（x2）（y3）2（x2）（y3）0 已知雙曲線： 1 將圖形以原點為中心伸縮 2 倍，得到 一個新雙曲線，則： (1) 雙曲線 的方程式為。 范例 7雙曲線的伸縮 解(1) 將雙曲線： 1 以原點為中心伸縮 2 倍后 可得雙曲線： 1， 即 22 49 xy 22 49 xy 22 22 2429 xy 22 1 1636 xy 已知雙曲線： 1 將圖形以原點為中心伸縮 2 倍，得到 一個新雙曲線，則： (2) 的漸近線方程式為。 范例 7雙曲線的伸縮 解(2) 令 22 49 xy 22 0 1636 xy 36x216y20 9x24y20 (3x2y)(3x2y)0 3

20、x2y0 或 3x2y0 故漸近線方程式為 3x2y0 與 3x2y0 上一題下一題 共軛軸長為 試求以橢圓： 1 的焦點為頂點，以長軸之頂點為 兩焦點之雙曲線 方程式為。 范例 8求雙曲線方程式 解橢圓中心（1 , 1）且為上下型 c 3，a225 a5 則雙曲線兩焦點的距離為 10 且貫軸長6 故雙曲線 方程式為 22 11 1625 xy（ ） （ ） 22 11 1 169 xy（ ） （ ） 25 16 22 1068 上一題下一題 (1) 二次曲線： 1（t 為實數） 表一橢圓，則 t 的范圍為。 表一雙曲線，則 t 的范圍為。 范例 9橢圓與雙曲線標準式的判別 解(1) t4 (

21、t1)(t4)0 1t4 22 14 xy tt 1 0 4 0 t t (2) 設 k 為實數，若方程式 1 為雙曲線，則此雙曲線 的焦點坐標為。 范例 9橢圓與雙曲線標準式的判別 解(2) 10k5k10k0，5k0 此為左右型雙曲線，其中心點為（0 , 1） 22 1 105 xy kk （ ） ： 22 1 1 105 xy kk （ ） c2（10k）（k5）5 c 5 焦點為（0 , 1）（ , 1） 55 故雙曲線的焦點坐標為（ , 1）與（ , 1） 55 上一題下一題 若雙曲線與 1 有共同的漸近線，且通過點 m（5 , 8）， 則此雙曲線方程式為。 范例 10雙曲線的漸近線

22、 解有共同漸近線 令新雙曲線為 下一題 m（5 , 8）代入 k 故雙曲線方程式為 22 2516 xy 22 2516 xy k 22 58 2516 2222 31 25167548 xyxy 22 1 7548 xy 143 上一題 一雙曲線的兩焦點為 f1（10 , 0）與 f2（10 , 0），其一漸近線的 斜率為 ，試求此雙曲線的方程式為。 范例 11利用雙曲線漸近線斜率解題 解由焦點可知為左右型，且 2c10（10）20 c10，中心在（0 , 0） 下一題 可設雙曲線方程式為 又漸近線斜率為 令 a3r，b4r（r0） 則 (3r)2 (4r)2102 r 2（負不合）a6，b8 22 22 1 xy ab 4 3 b a 故雙曲線方程式為