1、問題 38 復雜的排列組合問題、考情分析高考對這部分的要求還是比較高的. 考查兩個計數原理、排列、組合在解決實際問題上的應用. 值得提醒地是：計數模型不一定是排列或組合. 畫一畫 , 數一數 , 算一算 , 是基本的計數方法 , 不可廢棄 .二、經驗分享1. 排列應用問題的分類與解法(1) 對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特 殊元素優先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接 法(2) 對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題 的常用方法 .2. 組合問

2、題常有以下兩類題型變化(1) “含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足； “不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取(2) “至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關 鍵詞的含義，謹防重復與漏解用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思 維，用間接法處理3. 排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略(1) 相鄰問題捆綁法在特定條件下，將幾個相關元素視為一個元素來考慮，待整個問題排好之后，再考 慮它們“內部”的排列(2) 相間問題插空法先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間

3、或兩端的空當中，它與捆綁法有 同等作用(3) 特殊元素 (位置 )優先安排法優先考慮問題中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置(4) 多元問題分類法將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數較易求出，然后根據分類加法計數 原理求出排列總數、知識拓展1. 分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，重點在于抓住題目中的關鍵詞或關鍵元素、關鍵位 置首先根據題目特點恰當選擇一個分類標準；其次分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于 某一類2. 利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都

4、完成了，才算完成這件事分步必須滿足兩 個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成.3. 解排列、組合問題的基本原則：特殊優先，先分組再分解，先取后排；較復雜問題可采用間接法，轉化 為求它的對立事件.4. 解決排列組合綜合性問題的一般過程如下：1. 認真審題弄清要做什么事2. 怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進行，確定分多少步及多少類.3. 確定每一步或每一類是排列問題（有序）還是組合（無序）問題，元素總數是多少及取出多少個元素.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略解排列（或）組合問題，應按元素的性質進行分類

5、，分類標準明確，不重不漏；按事情的發生的連續過程分步，做到分步層次清楚.四、題型分析（一）“相鄰”與“不相鄰”問題【例1】甲、乙、丙、丁四名同學排成一排，分別計算滿足下列條件的排法種數：（1）甲不在排頭、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；（3）甲一定在乙的右端（可以不相鄰）.【解析】（1）直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排頭也不排在排尾兩種情況.若甲排在排尾共有 A：A= 6種排法.若甲既不在排頭也不在排尾共有AAA = 8種排法，由分類計數原理知滿足條件的排法共有Aa3 + a2a2a2=14（種）.也可間接計算：A!- 2啟+ a!= 14（種）.

6、（2） 可考慮直接排法：甲有 3種排法；若甲排在第二位，則乙有3種排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一種 排法，由分步計數原理知滿足條件的所有排法共有3X 3X 1= 9（種）.（3） 可先排丙、丁有A2種排法，則甲、乙只有一種排法，由分步計數原理滿足條件的排列共有A41= 12（種），A或看作定序問題A2= 12（種）.【點評】對于相鄰問題，可以先將要求相鄰的元素作為一個元素與其他元素進行排列，同時要考慮相鄰元素的內部是否需要排列，這種方法稱為“捆綁法”；對于不相鄰的元素，可先排其他元素，然后將這些要求不相鄰的元素插入空當，這種方法稱為“插空法”；對于“在”或者“不在”的排列問題的計算方法主要有

7、：位置優先法、元素優先法、間接計算法.【小試牛刀】【廣東省汕頭市2019屆高三上學期期末】把分別寫有1, 2, 3，4，5的五張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，且若分得的卡片超過一張， 則必須是連號，那么不同的分法種數為 用數字作答【答案】36【解析】先將卡分為符合條件的3份，由題意，3人分5張卡，且每人至少一張，至多三張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，相當于將1、2、3、4、5這4個數用2個板子隔開，在 4個空位插2個板子，共有種情況，再對應到3個人，有種情況，則共有于種情況故答案為：36（二）涂色問題【例2】如圖，用4種不同的顏色對圖中 5個區域涂色（4種顏色全部使用）,

8、要求每個區域涂一種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數有 .1423【分析】由于區域1,2,3與區域4相鄰，由條件宜采用分步處理，又相鄰區域不同色，因此應按區域1和區域 3是否同色分類求解.【解析】按區域1與3是否同色分類；3（1）區域1與3同色；先涂區域1與3有4種方法，再涂區域2,4,5（還有3種顏色）有A種方法.區域1與3涂同色，共有4A3= 24種方法.（2）區域1與3不同色：先涂區域1與3有A4種方法，第二步涂區域2有2種涂色方法，第三步涂區域4只有 一種方法，第四步涂區域5有3種方法.這時共有 A4x 2X 1X 3= 72種方法，故由分類加法計數原理，不同的涂色種數

9、為 24+ 72= 96.【點評】（1）解決涂色問題，一定要分清所給的顏色是否用完，并選擇恰當的涂色順序.（2）切實選擇好分類標準，分清哪些可以同色，哪些不同色.【小試牛刀】【安徽省淮南市2019屆高三第一次模擬】 如圖為我國數學家趙爽 約3世紀初在為周髀算經作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供5種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色,相鄰區域顏色不同，則 .區域涂色不相同的概率為1234B .一 C . D7777【答案】B【解析】提供5種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不同,根據題意，如圖，設 5個區域依次為二；：,分4步進行分析：越，對于區域

10、，有5種顏色可選；:，對于區域 與區域相鄰，有4種顏色可選；，對于區域，與| 區域相鄰，有3種顏色可選；證爲對于區域，若與顏色相同，區域有3種顏色可選，若 與 顏色不相同，區域有2種顏色可選，區域有2種顏色可選， 則區域：有wc :種選擇，則不同的涂色方案有J種，其中，區域涂色不相同的情況有：（帀，對于區域，有5種顏色可選；緡，對于區域 與區域相鄰，有4種顏色可選；爲，對于區域 與I區域相鄰，有2種顏色可選；纟卷，對于區域 ，若與 顏色相同，區域有2種顏色可選，若 與 顏色不相同，區域有1種顏色可選， 區域有1種顏色可選,則區域 ：有 me :種選擇，不同的涂色方案有種，120 21 I 區域

11、涂色不相同的概率為-.,故選B.4207（三）分配問題【例3】有6本不同的書按下列分配方式分配 ，問共有多少種不同的分配方式?（1）分成每組都是2本的三組；（2）分給甲、乙、丙三人，每人2本.【分析】（1）組合知識及分步計數原理求解；（2）均勻分組問題.【解析】（1）先分三步,則應是CC4C2種選法,但是這里面出現了重復,不妨記6本書為分別 A、B C D EF,若第一步取了（AB CD EF）,貝 U C2C4C2 種分法中還有（AB EF CD，（ CD AB EF）、（CD EF AB、（EFCD AB（EF AB CD共有Al種情況，而且這A3種情況僅是AB CD EF的順序不同，因此

12、，只算作一種情況C6C4C2故分配方式有A = 15（種）.（2）在問題（1）的基礎上再分配,故分配方式有 A a1= Cc4c2= 90（種）.【點評】不同元素的分配問題 ，往往是先分組再分配.在分組時 ，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.【小試牛刀】把 A.B.C.D四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且代B兩件玩具不能分給同一個人，則不同的分法有（ ）A. 36 種B . 30 種C. 24 種D. 18 種 【答案】B【解析】分兩步進行分析.先計算把 代B,C,D四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具

13、的分法數目：首先將4件玩具分成3組,其中1組有2件,剩余2組各1件,有C2 = 6種分組方法，再將這3組對3應三個小朋友，有A3 =6種方法，則有6 6 =36種情況；計算A,B兩件玩具分給同一個人的分法數目，若1 2A, B兩件玩具分給同一個人，則剩余的2件玩具分給其他2人，有C3 x A2 = 6種情況.綜上可得，A, B兩件 玩具不能分給同一個人的不同分法有36-6 =30種，故選B.（四）排數問題【例4】在某種信息傳輸過程中，用四個數字的一個排列（數字允許重復）表示以一個信息，不提排列表示不同信息.若所有數字只有0,1，則與信息0110之多由四個相對應位置上數字相同的信息個數為（）A.

14、 9B.10C.11D. 12【分析】信息0110是四個數字，此類“至多”、“至少”類型的問題，可以直接利用分類討論求解，也可以轉化為反面的問題，利用間接法求解【解析一】(直接法)若0相同,只有1個；若1相同,共有c4=4個；若2相同,共有C：=6個，故共有14 6=11 個【解析二】(間接法)若3個數字相同,共有C： = 6個,若4個數字相同共4個,二不同排列個數為24 = 16個, 所以共有16 -(1 4) =11個【點評】該題中要求的是“至多”有兩個位置上數字相同，易出現的問題是分類混淆，漏掉各位數字信息均不同的情況，解決此類問題的關鍵是準確確定分類標準，分類計數時要做到不重不漏 【小

15、試牛刀】用數字 0,123,4,5 組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有()A. 144 個 B . 120 個 C . 96 個 D . 72 個【答案】B33【解析】據題意，萬位上只能排4、5若萬位上排4,則有2 A4個；若萬位上排 5,則有3 A4個.所以共有 2 A： 3 民=5 24 =120 個.選 B.(五) 摸球問題【例5】【浙江溫州市十校聯合體2014屆高三上學期期初聯考】將四個相同的紅球和四個相同的黑球排成一排,然后從左至右依次給它們賦以編號1,2，8.則紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法有 種【分析】注意到 4個相同的紅球沒有區別,4個相同的黑球也沒有

16、區別，先求出任意排放的排法 Cs = 70,編 號相等的結果必有四組，其中每組一黑球一白球的編號和為9,則有(1,8), (2,7), (3,6), (4,5)四種，紅黑互換編號就有8種，因為紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法和大于的排法一樣，則紅球的編號之和小于70 _6 _2黑球編號 之和的排法有-31種2【解析】依題意，任意排放的排法Cg =70,紅球編號與黑球編號相等的情況有(1,8) , (2,7), (3,6), (4,5)四70 6 2種,紅黑互換編號就是 8種,所以紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法有31種2【點評】要搞清組合與排列的區別與聯系：組合與順序無關，排列與順序有

17、關；排列可以分成先選取(組合)后排列兩個步驟進行.【小試牛刀】四個不同的小球放入編號為1,2,3的三個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有 種(用數字作答).【答案】42【解析】根據題意，分2步進行分析 、先在編號為1,2,3的三個盒子中，取出2個盒子，有C； =3種取法， 、將4個小球放進取出的2個盒子中,每個小球有2種放法,則4個小球一共有2X 2X 2X 2=2 4種, 其中有1個空盒，即4個小球都放進其中1個盒子的情況有2種；則將4個小球放進取出的2個盒子中，且不能有空盒，其放法數目為（24 - 2） =14種，故四個不同的小球放入編號為1,2,3的三個盒子中，則恰有一個空盒的放法為 3X

18、 14=42種；故答案為：42.（六）“至多”、“至少”問題【例6】某醫院有內科醫生 12名，外科醫生8名，現選派5名參加賑災醫療隊，其中（1 ）甲、乙兩人至少有一人參加 ，有多少種選法？（2）隊中至少有一名內科醫生和一名外科醫生，有幾種選法？【分析】“無序問題”用組合,注意分類處理.【解析】（1）分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有Cc?8 + C?8= 6 936（種）;（2）方法一（直接法）：至少有一名內科醫生和一名外科醫生的選法可分四類：一內四外；二內三外；三內 二外；四內一外，所以共有 C2C8+ C?2C8 + C?2C8 + C：2CU 14 656（種）.方法二（間接

19、法）：由總數中減去五名都是內科醫生和五名都是外科醫生的選法種數，得do（C；2 + C8） = 14656（種）.【點評】對于有條件的組合問題 ，可能遇到含某個（些）元素與不含某個（些）元素問題；也可能遇到“至多”或“至少”等組合問題的計算，此類問題要注意分類處理或間接計算，切記不要因為“先取再后取”產生順序造成計算錯誤選擇恰當分類標準，避免重復遺漏，出現“至少、至多”型問題，注意間接法的運用.【小試牛刀】西部某縣委將7位大學生志愿者（4男3女）分成兩組，分配到兩所小學支教，若要求女生不能單獨成組，且每組最多5人，則不同的分配方案共有（）A. 36種B . 68 種 C . 104種D. 11

20、0種【答案】C3 2 2 2 2【解析】分組的方案有 3、4和2、5兩類，第一類有（C；-1）A；=68種；第二類有（C2 -C32） A2 = 36種，所以共有N=68+36=104種不同的方案.（七）信息遷移題22,121,3 443,94 249等.顯然2位回文數【例7】回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數如 有 9 個：11,22,33,99.3 位回文數有 90 個：101,111,121,191,202,999.(*)則：（1） 4位回文數有 個；（2） 2n+1（n N*）位回文數有 個.（*）【分析】由（*）式,理解“特殊”背景一一回文數的含義，借助計數原理計算.結合（

21、*）,可從2位回文數,3位回文數,4位回文數探索求解方法，從特殊到一般發現規律.【解析】（1）4位回文數相當于填4個方格，首尾相同，且不為0,共9種填法；中間兩位一樣，有10種填法.共 計9X 10= 90（種）填法,即4位回文數有90個.（2）根據回文數的定義，此問題也可以轉化成填方格由計數原理，共有9X 10n種填空.【點評】（1） 一題兩問，以“回文數”為新背景，考查計數原理，體現了化歸思想，將確定回文數的問題轉化為“填方格”問題，進而利用分步乘法計數原理解決，將新信息轉化為所學的數學知識來解決.（2）從特殊情形入手，通過分析、歸納，發現問題中隱含的一些本質特征和規律,然后再推廣到一般情

22、形，必要時可以多列舉一些特殊情形，使規律方法更加明確.【小試牛刀】回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數，如2,11,242,6776,83238 等，設n位回文數個數為an （ n為正整數），如11是2位回文數，則下列說法正確的是（）A. a4 =100 B.a2n10a2n nN. c. a2n =10a2nj n N d.以上說法都不正確【答案】B.【解析】A a4=910=90,故A錯誤；根據對稱性可知，a2n .1 =10a2n,故B正確,C,錯誤,故選B.四、遷移運用1 .【江西省臨川第一中學等九校2019屆高三3月聯考】已知三棱錐的 6條棱代表6種不同的化工產品，有公共頂

23、點的兩條棱代表的化工產品放在同一倉庫是安全的，沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產品放在同 一倉庫是危險的?，F用編號為1, 2, 3的三個倉庫存放這 6種化工產品，每個倉庫放2種，那么安全存放的不同方法種數為（）A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】D【解析】設，種產品分別為畫出圖像如下圖所示，根據題意，安全的分組方法有ahrcrde a bt cdfef a.cfher d/ a c, bfr de ad 聲 f出匸&口戌召 打 （aCja efd f.bc ,共；種，每一種分組方法安排到 個倉庫，有種方法，故總的方法種數有種，故選D.2 .【東北三省三校2019屆高三第一次模擬】中國

24、有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種，現有十二生肖的吉祥物各 一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學哪個吉祥物都 喜歡，如果讓三位同學選取禮物都滿意，則選法有（）A. 30 種B. 50 種C. 60 種D. 90 種【答案】B【解析】若同學甲選牛，那么同學乙只能選狗和羊中的一種，丙同學可以從剩下的10中任意選，所以共有晏=20若同學甲選馬，那么同學乙能選牛、狗和羊中的一種，丙同學可以從剩下的10中任意選，所以共有算俳二30所以共有二種，故選B3【福建省龍巖市2019屆高

25、三下學期教學質量檢查】已知數列各項均為整數，共有 7項，且滿足入.二丨-二其中為常數且 J 若滿足上述條件的不同數列個數共有 15個，貝U的值為（）A. 1 B . 3 C . 5 D . 7【答案】B【解析 I： 一一）. :-匕:=1 或 -:;:=-1設有x個1，則有6x個-1.-. = （-） +（ - ）+ +（-）- - = x+ （6 - x） ? （- 1）垃+ 5.X = -7這樣的數列個數有 解得x=2或4,- 三或故選：B.4.【江西省重點中學盟校 2019屆高三第一次聯考】今有，個人組成的旅游團，包括4個大人，2個小孩，去廬山旅游，準備同時乘纜車觀光，現有三輛不同的纜車

26、可供選擇，每輛纜車最多可乘3人，為了安全起見，小孩乘纜車必須要大人陪同，則不同的乘車方式有() 種A.“ B .C .:D .【答案】C【解析】第一類：只用兩輛纜車，若兩個小孩坐在一塊，則有種乘車方式；c2c2若兩個小孩不坐在一塊，則有-種乘車方式；第二類：用三輛纜車，若兩個小孩坐在一塊，則有 - :種乘車方式；若兩個小孩不坐在一塊，則有C 2 212 Ac= 種乘車方式;3 3綜上不同的乘車方式有門丨丨 21.-： 種.故選C5. 【安徽省合肥一中等六校教育研究會2019屆高三第二次聯考】某地舉辦科技博覽會，有個場館，現將個志愿者名額分配給這個場館，要求每個場館至少有一個名額且各場館名額互不

27、相同的分配方法共有()種A. 222 B . 3 C . 2花 D . 284【答案】A【解析】每個場館至少有一個名額的分法為二：二迢種，至少有兩個場館的名額相同的分配方法有(1 ,1,22),( 2,2,20 ),( 3,3,18 ),(4,4,16 ),( 5,5,14 ),(6,6,12 ),( 7,7,10 ),( 8,8,8 ),( 9,9,6 ),(10,10,4 ),(11,11,2 ),再對場館分配，共有I 丨種，所以每個場館至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有 故選A.6. 【河南省焦作市2019屆高三上學期期中】 已知一個三位數的百位數字為x，十位數字為y，個位數

28、字為z，若此三位數與37 (x+y+z)的大小相同，則這樣的三位數有()A. 14 個 B . 15 個 C . 16 個 D . 17 個【答案】B【解析】由題意可得 100x+10y+z = 37 (x+y+z),即7x= 3y+4z,故4 ( x - z) = 3 (y- z),當x= y = z時，這樣的三位數有 9個，當 -，!時，y- z = 7,O 17 8X =故 x=-4ty =x = 9 聲=2故滿足條件的三位數有 15個，故選：B.7. 【湖南省長沙市雅禮中學、河南省實驗中學2018屆高三聯考】鄭州綠博園花展期間，安排6位志愿者到4個展區提供服務，要求甲、乙兩個展區各安排

29、一個人，剩下兩個展區各安排兩個人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有()A. 168 種 B. 156 種 C. 172 種 D. 180 種【答案】B【解析】分類：(1)小李和小王去甲、乙，共Ab： - 種(2)小王，小李一人去甲、乙，共；芥八汗縊種，(3)小王，小李均沒有去甲、乙，共種，總共淞-2種，選B.8. 【四川省資陽市 2018屆高三4月模擬】從0, 1, 2, 3這4個數字中選3個數字組成沒有重復數字的三位數，則該三位數能被 3整除的概率為15 c5A. - B.C.D3129【答案】C【解析】從0,1,2,3中選三個組成三位數共有3 3 2 =18個，該三位數被3整除

30、的有兩種情況：三位數由31,2,3組成和由0,1,2組成，分別有 A =6和2 2=4個數，被3整除的數共有64=10個，由古典概型105概率公式得P，故選C.1899. 【貴州省凱里市第一中學 2018屆高三模擬】2017年11月30日至12月2日,來自北京、上海、西安、鄭州、青島及凱里等七所聯盟學校（“全國理工聯盟”）及凱里當地高中學校教師代表齊聚凱里某校舉行聯盟教研活動，在數學同課異構活動中,7名數學教師各上一節公開課，教師甲不能上第三節課，教師乙不能上第六節課，則7名教師上課的不同排法有（ ）種A.5040 B.4800 C.3720 D.4920【答案】D【解析】由題意可得：A-A；

31、 =5040 -120 =4920故選D10. 2018屆湖南?。ㄩL郡中學、衡陽八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次聯考】甲、乙、丙、丁、戊五位同學相約去學校圖書室借A、B、C、D四類課外書（每類課外書均有若干本），已知每人均只借閱一本，每類課外書均有人借閱，且甲只借閱A類課外書，則不同的借閱方案種類為（）A. 48 B. 54 C. 60 D. 72【答案】C【解析】分兩類：乙、丙、丁、戊四位同學A、B、C、D四類課外書各借1本，共兀=24種方法；乙、丙、丁、戊四位同學B、C、D三類課外書各借1本，共有C2 A3 =36中方法，故方法總數為 60種.故選C.11. 某鐵路貨運站對 6列貨運列車進行編組調度，決定將這6列列車編成兩組，每組3列,且甲與乙兩列列車 不在同一小組，如果甲所在小組3列列車先開出，那么這6列列車先后不同的發車順序共有 種.【答案】216【解析】先進行分組，從其余4列火車中任取2列與甲一組，不同的分法為C2= 6種.由分步計數原理得不同的發車順序為C2a3A3= 216種.12. 兩所學校分別有2名、3名學生獲獎，這5名學生要排成一排合影，則同校學生排在一起的概率是1【答案】丄55232【