1、1,數列通項公式的十種求法:(1)公式法(構造公式法) 例1已知數列an滿足an中=2an + 3m2n, a1 = 2 ,求數列an的通項公式。解：an4=2an +3以兩邊除以2t得聲吟+23,則學一會=23 ,故數列礙是以萼=2=1為首項，以所以數列an的通項公式為an = n。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an+=an +2n+1轉化為an+-an =2n + 1,進而求 出(anan1)+(an4anq)+im+(a3a2)+(a2a1)+a1，即得數列an的通項公式。為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得an = i+(n1)9,21 222n2一 31c所以數列an的通項

2、公式為an =(-n-)2no評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an平= 2an+3 m 2n轉化為 為 _2=自，說明數列2n 1 2 “22n是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出a- =1 + (n-1)1 ,進而求出數列an的通項公式。(2)累加法 例2 已知數列an滿足an書=an +2n +1, a1 =1 ,求數列an的通項公式。解：由 and! =an +2n+1 得 an+an =2n+1 則an= (an -an/)(an- an n)w(a3-a2)(a2 a1)a1=2(n-1) 1 2(n-2) 1 | (2 2 1) (2 11)1 =2(n -1) (n -

3、2) |l 2 1 (n -1) 1= 2 (n 1)n . t) 12=(n -1)(n 1)12 二 n變式：已知數列an滿足an甲=an + 2m3n +1, ai = 3,求數列an的通項公式。(3)累乘法例3已知數列an滿足an平= 2(n+1)5nxan, a1 =3,求數列an的通項公式。解：因為an平=2(n+1)5n on, 4 =3,所以小=0,則亙底=2(n+1)5n ,故 anam 山 03 a2an an2a2 a1= 2(n-1 1)s 2(n-2 1)s白 川2(2 1) 522(1 1) 51 3= 2nin(n1)川 3 2 5(nd) 2),求an的通項公式

4、。(4)待定系數法例4已知數列an滿足an書=2an +3父5 a1 =6 ,求數列an的通項公式。解：設an用十xm5n* =2(an+xx5n)將an+ =2an +3父5n代入式，得 2an +3父5n+xm 5m = 2an十2父51,等式兩邊消去2an ,得3 s + x，書=51,兩邊除以5n ,得3 + 5x = 2x則x = 1代入式得an15n*=2(an5n)n 1由ai 5= 6 5= 1# 0及式得an5# 0 ,則n= 2 ,則數列 an 5 是以an - 5_1._n n 1n 1_ nai5=1為首項，以2為公比的等比數列，則 an5=2 一，故an =2 一十5

5、。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an書=2an + 3m 5n轉化為an卡- 5皿=2(an - 5n),從而可知數列an - 5n是等比數列，進而求出數列 an - 5n的通項公式，最后再求出數列an的通項公式。變式：已知數列an滿足an. =3an+5m 2n +4, a1 = 1 ,求數列an的通項公式。2已知數列an滿足an4 =2an +3n +4n+5, a1 =1 ,求數列an的通項公式。(5)對數變換法例5已知數列an滿足an書=2父3nm an , a1 = 7 ,求數列an的通項公式。n 5n 5解：因為an書=2父3父品，a1 = 7 ,所以an 0, an書0。在a

6、n書=2父3父an式兩邊取常用對數得 lg an+=5lg an +n lg3 +lg 2設 lgan 1 x(n 1) y = 5(lg anxn y) 將式代入(i式,得 5lg an + n lg 3 +lg 2 + x(n +1)+ y =5(lg an + xn + y),兩邊消去 5lg anlg34lg3 ig2164并整理，得(lg3 +x)n+x + y +lg 2 =5xn+5y ,則! x 二lg3 x =5xr，故x y lg2=5y y =代入(t,得 lg an i 號(n 1) 震 lg2 =5(lg an 號 n 墨 -lgp)由皿十%1厘 *六7十虬1十叫螞0

7、及, 41644164 曾/日. lg3 lg3 lg2 八得 lgan + n +、一+、一 00, 4164, lg3,lg3 lg2lgan 1 (n 1)則416_4- 5 5 , lg3 lg3 lg 2lg ann4164所以數列lg 4+螞3n+幽+螞馬是以lg7+lg3十監+監為首項，以5為公比的等 41644164lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2、力l,t比數列，則 lgan+*n+乂一+、一 = (lg7+*+*+*)5 ,因此 41644164lg3 lg3 lg2、；nlg3 lg 3 1g 2lg an (lg 7 )5n 4164464111n11二 (lg

8、 7 1g 34 lg 36 lg 24)5nlg 34lg 316 - lg 24111n 11= lg(7 34 316 24)5nlg(3 4 316 24)111n 11= lg(7 34 3而 24)5n，lg(34 3元 2%)5n 5nl 5n14= lg(7 5n 3 3 162丁)5nmn-5n 14= lg(75n 3 162丁)5n -4n-45n、cn 1 則 an =75 父3 16 父2 4。評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關系式an用=2 m 3n m a5轉化為lg3lg3lg2lg3lg31g 21gan+x-(n+1) + _g-+_g- =5(1g

9、an+gn+g-+x-),從而可知數列416441641g an +lg3n+幽+與2是等比數列 進而求出數列1g an+幽n +柜+_lg2的通項 n 4164n 4164公式，最后再求出數列an的通項公式。(6)數學歸納法例6已知數列an滿足an =an +8(12+1)2 , a1 =-,求數列an的通項公式。(2n 1)2(2n 3)29解:由 an 1 =an8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2及 a1 =89-可編輯修改-8(1 1)88 224a2 = a1 22 = _ =(2 1 1) (2 1 3)9 9 25258(2 1)248 348a3 = a2 22 =(2

10、2 1) (2 2 3)25 25 49 49a4-a3.8(3 1)_2 _ 2(2 3 1) (2 3 - 3)488 480“， r- “，49 49 8181_2,(2n 1)2 -1 八 由此可猜測an =(-，往下用數學歸納法證明這個結論。(2n 1)2(2 1 1)2 -1 8(1)當 n=1 時，a1 =-2(2 1 1)(2 例7已知數列an滿足an書= (1+4an + j1+24%),a=1 ,求數列 的通項公式。 16 1 o解：令 bn = 1 24an ,則 an =/2-1)121-故 an+=24(b；*-1),代入 an+=(1+4an+j1+24an)得12

11、112豆優 1-1)=亦1 4248； -1) bn即 4b：1 =(bn 3)2因為 bn =，1+24斗 0,故 bn卡= j1+24an+ 0一13則 2bn+=bn+3,即 bn+ =-bn +, 1)一1 -8,所以等式成立。(2)假設當n=k時等式成立，即ak = (2k+1)j ,則當n = k+1時,(2k 1)2ak 1 = ak8(k 1)(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2 一18(k 1)= z2 - -z2-z2(2k 1)(2k 1) (2k 3)(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2

12、2(k 1) 12由此可知，當n = k+1時等式也成立。一 * .根據(1), (2)可知，等式對任何 nw n都成立。評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求出數列的前 項公式，最后再用數學歸納法加以證明。(7)換元法 1 2 -(2k 3)2 8(k 1)=z 2 -2(2k 1) (2k 3)222(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 1)2二22(2k 1)2(2k 3)2-2(2k 3) -1一(2 k 3)22n項，進而猜出數列的通2(k 1) 12 -1一,1可化為04_3=(bn _3),所以bn 3是以1bl 3 = j1+24al 3= j1+24/1 3 = 2

13、為首項,以g為公比的等比數列,因此bn -3 =n= g)nn,則 bn=(2)n/+3,即 j1+24an=g)n/+3,得an2 1c 1 c 1=3(4)+(2)+30評注：本題解題的關鍵是通過將 j1 + 24an的換元為bn ,使得所給遞推關系式轉化,1 ,3 bn書=2bn+萬形式，從而可知數列bn-3為等比數列，進而求出數列bn3的通項公式,最后再求出數列an的通項公式。(8)不動點法求數列an的通項公式。21a. -24例8已知數列an滿足an+ = 一n4an 1加入21x-24解：令x =,4x 1得 4x2 -20 x 24=2, x2 = 3 是函數 f (x)=21x

14、-24 3的4x 1兩個不動點。因為21an -24 an 1 -2 4an 121an -24 -2(4an 1)an1 -321an-24 q一34an 113an -26 =-an2 。所 以數列21an -24-3(4an 1)9an -279 an - 3a -2a是以an -3a1 -2 4 -2a1 - 3 4-313 . ac2=2為首項，以13為公比的等比數列，故 一9an -3n -1則an一 十3。-1評注:本題解題的關鍵是先求出函數f(x)21x -2421x 24的不動點，即方程x =的兩4x 14x 1個根x1 =2, x2 = 3 ,進而可推出an 1 -2an

15、1 一3一1n,從而可知數列 ”9 an -3an -2亙，卜為等比數問一 3 j列，再求出數列 an二2的通項公式，最后求出數列 an的通項公式。i an -3 | 7a -2例9已知數列an滿足an書=n， a1 = 2 ,求數列an的通項公式。 2an 37x -2一。3x -1斛：令x =，得2x 4x +2=0,則x = 1是函數f (x)=的不動點。2x 34x 7因為 an卡1 =7an -2 1 =5an二5,所以 2an 32an 32/1、n /1、n 1小飛叩十（2）十3。評注：本題解題的關鍵是通過將 j + 24an的換元為bn ,使得所給遞推關系式轉化,1 ,3 bn

16、書=bn+萬形式，從而可知數列bn-3為等比數列，進而求出數列bn-3的通項公式, 最后再求出數列an的通項公式。課后習題：1 .數列 亞,j5,2應布| 11,的一個通項公式是（）a、an= j3n_3b、an= j3n -1c、an= j3n + 1 d、an= j3n + 32 .已知等差數列右0的通項公式為an=3-2n ,則它的公差為（）a、2b、3c、 一2d、一33 .在等比數列an中，a1 = -16,a4 = 8,則 a7 =（）a、-4b、4c、-2d、24 .若等比數列4 的前項和為sn ,且s10 =10 , s20 =30,則s30 =5 .已知數列 qn通項公式an=n2-10n+3,則該數列的最小的一個數是 1na1.6 .在數列an中，4=一且%+=an（nun ），則數列一的前99項和等2n 1 - an