1、切比雪夫濾波器設計 巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶內還是阻帶內都是頻率的單調函數。因此, 當通帶的邊界處滿足指標要求時， 通帶內肯定會有裕量。所以，更有效的設計方法應該是將 精確度均勻的分布在整個通帶或阻帶內，或者同時分布在兩者之內。這樣就可用較低階數的 系統滿足要求。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數來達到。 H(j ) H(j )| (b 圖1切比雪夫I型濾波器的振幅特性 (a) N=3, 2dB通帶波紋的切比雪夫振幅特性 (b) N=4, 2dB通帶波紋的切比雪夫振幅特性 |H(j ) N為奇數 $(j )| N為偶數 圖2切比雪夫II型濾波器的振幅特14 (b 切比雪夫濾波

2、器的振幅特T生就具有這種等波紋特1生。 是等波紋的，在阻帶內是單調的稱為切比雪夫I型濾波 器；振幅特性在通帶內是單調的 它有兩種類型：振幅特性在通帶內 在 阻帶內是等波紋的稱為切比雪夫II型濾波器。采用何種形式的切比雪夫濾波器取決于實際 用途。圖1和圖2分別畫出了 N為奇數、偶數時的切比雪夫 1、切比雪夫I型濾波器的基本特點 I II型濾波器的頻率特性。 a2()H(j)2 1 N 現在介紹切比雪夫I型濾波器的設計，切比雪夫歸一化濾波器的幅度平方函數為 為小于1的正數，表示通帶內振幅波動的程度。越大，波動也越大。/ p為對 截止頻率P的歸一化頻率5 P為截止頻率，也是濾波器的通帶帶寬(注：切比

3、雪夫濾波 器的通帶帶寬并不一定是3dB帶寬)。Cn(X)是N階切比雪夫多項式定義為 其中COS 1(x)為反余弦函數; 定義如下所示 cos(Ncos x) 0 x 1 Cn (X1 )ch(Nch x) ch(x)為雙曲余弦函數；ch i(x)為反雙曲余弦函數；它們的 chx ch 1(x) arcch(x) ln(xx21) 上式可展開為多項式的形式如表1所示： 由表1可歸納出各階切比雪夫多項式的遞推公式 為 Cn 1 (x) 2xCn(X)Cn 1 (x) 圖3示出了 N=0, 4，5時切比雪夫多項式的特性。由 圖3可見： N Cn(X) 0 1 1 X 2 2x2 1 3 3 4x 3

4、x 4 8x4 8x2 1 表1切比雪夫多項式 2 當 xl 時，|CN(X) 1，且具有等波紋幅度特 性。 Cn(X)是雙曲余弦函數，隨著 調增 加。 再看函數 2廠 /、2 0 N(X),是小于1的實數， Cn(X)的值在 x1之內，將在 222 0至之間改變。而1 Cn(X)的函數值在 X1之內，將在 2 至1之間改變。然后將1 92 Cn(X)取倒數， 即可得切比雪夫 型濾波器幅度平方函 數。2 根據以上所述，在 1的區間 外， 1 H(j)在接近1處振蕩，其最 x而單 Cn(x) 圖3切比雪夫多項式曲線 大值為1，最小值為 增大, 25n( ) ? 1,貝y H(j )很快接近于零。

5、圖57畫出了切比雪夫 I型濾波器振幅特性曲 線從中可以看出：振幅特性H(j)的起伏為1:上因少所以在J 1 時，H(j) r，即切比雪夫I型濾波器的截止頻率并不對應 41r 3dB的衰減。 1切比雪夫多項式的零值在0 x1的間隔內。 2、切比雪夫I型濾波器設計方法 要確定切比雪夫濾波器的幅度平方函數，需要確定三個參數：何確定這三個參N。下面研究如 數，具體步驟如下： (1) 將實際頻率歸一化得 再根據已知的p s，幅度平方函數 |H(j )|2 1 2cn( 確定 代入 (2)確定和 定義通帶波紋 (即通帶衰減 (以分貝為單位)為: ioig 2l0ig 22 Cn( H(j ioig ioi

6、g 2cN(P) 22 SN心 22 Cn( p) 10 p10 22 Cn( s) 2ch2 Nch 1( s) 因為P 1CN(1)1,所以 1O10 其中 ch2 Nch 1(s) ch la) ch J) 1O10 1 1O10 1 這樣可以求出和N,其中ch 1(x) in x . x2 1 o 10% 1 10P7t1 3、綜上所述，設計切比雪夫低通濾波器的基本步驟如下: (1)計算歸一化頻率 (2) 根據通帶波紋(通帶衰減)Pdb，按照210齋1式計算； (3) 根據阻帶起始頻率s，阻帶衰減s和。按照N 式計算濾波器的階數N; (4)根據濾波器階數 N,查表得歸一化原型切比雪夫濾

7、波器系統函數 H (p)；根據 H(p) 1 的低頻特性求出待定系數 do，注：當N為偶數時，H (0):;當N為奇數時，H (0) 1 !2 (5)去掉歸一化影響根據截止頻率p 按照H (s) H ( p) p衛式計算切比雪夫濾波 P 器的系統函數H (s)； s 0.5rad /s，阻 4、舉例說明 已知通帶波紋為ldb，截止頻率p 0.3rad / s，阻帶截止頻率 帶衰減大于15db，試設計滿足上述性能指標的切比雪夫I型低通濾波器。 解：已知 pO.3，p1dB，s0.5，s 15dB (1) 計算歸一化頻率p P1， s s 1.6667。 p (2) 計算。 p 2 10 而 110.1 1 0.2589 (3) 計算濾波器的階數N; 1O10 1 |101P1 1015 1 10。川 28757 ch 1 (a) ch1(s) 1 需)2.8013 選定N=3。 H(P); (4) 根據濾波器階數N,查表得歸一化原型切比雪夫濾波器系統函數 H(P) p 0.9883 p 1