1、2018 年重慶市六區高考數學二模試卷（理科）副標題題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0分）1.已知 i 是虛數單位，則復數的虛部是（）A. -1B. 1C. -iD. i2.已知集合，則（?RA）B=（）A. 0，1B. 0，1， 2C. -1 ， 0， 1D. -1 ， 33.已知，則 a， b， c 的大小關系為（）A. a b cB. b a cC. c a bD. a c b4. 一個幾何體的三視圖如圖， 其左視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為（）A.B.C.D. （ 4+）5.在 ABC 中，角 A， B， C 所對應的邊分別是a， b， c，若，

2、則角 A 等于（）A.B.C.D.6. 利用我國古代數學名著九章算法中的“更相減損術”的思路，設計的程序框圖如圖所示執行該程序框圖， 若輸入 a，b，i 的值分別為6，9，0，則輸出的 i =（）第1頁，共 21頁A. 2B. 3C. 4D.57. 已知實數x y滿足如果目標函數z=x+2y的最大值為6，則實數m=，（）A. 3B. 4C. 5D.68.為培養學生分組合作能力，現將某班分成A BC三個小組，甲、乙、丙三人分， ，到不同組， 某次數學建模考試中三人成績情況如下：在 B 組中的那位的成績與甲不一樣，在 A 組中的那位的成績比丙低，在B 組中的那位的成績比乙低若甲、乙、丙三人按數學建

3、模考試成績由高到低排序，則排序正確的是（）A. 甲、丙、乙B. 乙、甲、丙C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲9.已知圓，點 A（ 0， m）（ m 0）， A， B 兩點關于 x軸對稱若圓C 上存在點 M，使得，則當 m 取得最大值時，點 M 的坐標是（）A.B.C.D.10.將函數的圖象向左平移個單位，再向上平移 1 個單位，得到 g（ x）圖象若 g（ x1）+g（ x2）=6 ，且 x1，x2- 2，2，則 x1-x2 的最大值為 （）A. B. 2C. 3D. 411.已知雙曲線的左、右焦點分別為F 1、F 2，以 F2 為圓心的圓與雙曲線 C 在第一象限交于點 P，直線 PF 1 恰與

4、圓 F 2 相切于點 P，與雙曲線左支交于點 Q，且，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.第2頁，共 21頁12.已知函數，在其定義域內任取兩個不等實數x1， x2，不等式恒成立，則實數a 的取值范圍為（）A. 2， +）B. （ -， 2C.D.二、填空題（本大題共4 小題，共 20.0 分）13.已知向量滿足，則 與 的夾角為 _14.在二項式的展開式中，只有第4 項的系數最大，則展開式中x3 項的系數為 _ （用數字作答）15.已知拋物線 C： y2=2 px（p 0）的焦點為 F ，過點 F 的直線與拋物線C 相交于點 M（點 M 位于第一象限） ，與它的準線相交于點N，且點 N 的

5、縱坐標為4，|FM |：|MN |=1：3，則實數 p=_16.在三棱錐 S-ABC 中， SA平面 ABC，則該三棱錐的外接球表面積為 _三、解答題（本大題共7 小題，共 84.0 分）17. 已知等比數列 n 的各項均為正數， a4=81，且 a2， a3 的等差中項為 18（ 1）求數列 an 的通項公式；（ 2）若，數列 cn 的前 n 項和為 Tn，證明：18.據調査顯示，某高校5 萬男生的身高服從正態分布N（ 168， 9），現從該校男生中隨機抽取40 名進行身高測量，將測量結果分成6 組： 157， 162）， 162 ， 167），167 ， 172）， 172 ，177），

6、177 ， 182）， 182 ， 187 ，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（ 1）求這 40 名男生中身高在172cm（含 172cm）以上的人數；（ 2）從這 40 名男生中身高在172cm 以上（含172cm）的人中任意抽取2 人，該 2人中身高排名（從高到低）在全校前65 名的人數記為，求 的數學期望2（附：參考數據：若 服從正態分布 N（ ，），則 P（ -）+=0.6826，P（ -2 +2）=0.9544， P（ -3 +3）=0.9974第3頁，共 21頁19. 如圖，在四棱錐P-ABCDPAD為等邊三角形，ADCDAD BCAD=2 BC=2，中， ，且CD=，E為 AD

7、中點（ 1）求證：平面PAD 平面 ABCD ；（ 2）若線段 PC 上存在點 Q，使得二面角Q-BE-C 的大小為30，求的值20.已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上 .（ 1）求橢圓的方程；第4頁，共 21頁（ 2）已知不經過點的直線與橢圓交于兩點，關于原點對稱點為（與點不重合），直線與軸分別交于兩點，證明：21. 已知函數（ 1）若 y=f（ x）在（ 0， +）上單調遞減，求a 的取值范圍；（ 2）當 0 a 1 時，函數 y=f（ x） -x 有兩個極值點x1， x2（ x1 x2），證明： x1+x2 222. 在直角坐標系xOy 中，曲線 C1 的參數方程為（ 為參數），以坐標原點

8、2O 為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系， 曲線 C2 的極坐標方程為 -4 sin =3（ 1）求曲線 C1 的極坐標方程和 C2 的直角坐標方程；（ 2）直線與曲線 C1， C2 分別交于第一象限內的A，B 兩點，求 |AB |23. 已知函數 f（ x） =|tx-2|-|tx+1|（ tR）（ 1）當 t=1 時，解不等式 f（ x） 1；（ 2）設 a， b，c 為正實數，且 a+b+c=m，其中 m 為函數 f（ x）的最大值，求證：第5頁，共 21頁第6頁，共 21頁答案和解析1.【答案】 A【解析】解：=，復數的虛部是 -1故選：A直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案本

9、題考查復數代數形式的乘除運算，考 查復數的基本概念，是基 礎題2.【答案】 B【解析】解：解x2-2x-30得，x-1，或 x3；A=x|x-1，或x 3；?A=x|-1 x3 ；R（?RA）B=0，1，2 故選：B先解出集合 A ，然后進行補集、交集的運算即可考查描述法、列舉法表示集合的概念，以及交集、 補集的運算3.【答案】 D【解析】解：，00a=（ ） （）=1，b=log23=log49 c=log47log44=1，a，b，c 的大小關系 為 acb故選：D利用對數函數、指數函數的 單調性直接求解第7頁，共 21頁本題考查三個數的大小的比 較，考查對數函數、指數函數的 單調性等基礎

10、知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基 礎題4.【答案】 B【解析】解：由三視圖知：幾何體是半圓錐與四棱錐的組合體，且半圓錐的底面半徑 為1，由俯視圖知底面是半 圓和正方形，又正方形的 邊長為 2，側視圖等邊三角形的邊長為 2，半圓錐與四棱錐的高都為，積V= 22=幾何體的體1+2故選：B幾何體是半 圓錐與四棱錐的組合體，且半圓錐的底面半徑 為 1，根據俯視圖與側視圖的形狀可得 側視圖等邊三角形的 邊長，由此可得棱錐與圓錐的高，把數據代入 錐體的體積公式計算本題考查了由三視圖求幾何體的體 積，根據三視圖判斷幾何體的形狀及數據所對應的幾何量是解答此 類問題的關鍵5.【答案】 D【解析】

11、解：，（a-b）（a+b）=c（c+b），a2-c2-b2=bc，由余弦定理可得cosA=-，A 是三角形內角，A=故選：D第8頁，共 21頁先根據正弦定理可得a2-c2-b2=bc，再利用余弦定理求出 A 的余弦值，推出A 的值即可本題考查正弦余弦定理的 應用，基本知識的考查6.【答案】 B【解析】解：模擬執行程序框 圖，可得：a=6，b=9，i=0 ，i=1，不滿足 ab，不滿足 a=b，b=9-6=3，i=2滿足 ab，a=6-3=3，i=3滿足 a=b，輸出 a 的值為 3，i 的值為 3故選：B由循環結構的特點，先判斷，再執行，分別計算出當前的 a，b，i 的值，即可得到結論本題考查

12、算法和程序框 圖，主要考查循環結構的理解和運用，以及 賦值語句的運用，屬于基礎題7.【答案】 B【解析】實數 x，y滿足對應解：作出的平面區域如圖：設 z=x+2y 得y=-x+ ，平移直線y=-x+圖線，由 象可知當直y=- x+經過點 A 時，直線 y=-x+的截距最大，此時 z 最大為 6，由，解得A22時A也在直線 x+y-m=0上，（， ），同m=4，第9頁，共 21頁故選：B作出不等式 組對應的平面區域，利用目 標函數 z=x+2y 的最大值為 6，利用數形結合即可得到 結論本題主要考查線性規劃的應用，利用 z 的幾何意 義，通過數形結合是解決本題的關鍵8.【答案】 C【解析】解：

13、由“在 B 組中的那位的成 績與甲不一 樣，在 B 組中的那位的成 績比乙低 ”可得 B 組是丙，且丙的成績比乙低，又在 A 組中的那位的成 績比丙低，A 中是甲，甲、乙、丙三人按數學建模考試成績由高到低排序是：乙、丙、甲，故選：C由 “在 B 組中的那位的成 績與甲不一 樣，在 B 組中的那位的成 績比乙低 ”可得B 組是丙，且丙的成績比乙低，又在 A 組中的那位的成 績比丙低，A 中是甲，即可求解本題考查了推理與 證明，屬于基礎題9.【答案】 C【解析】圓圓2，表示以 （，）解：，即C：（x-1）+=1C 1為圓心、半徑等于 1 的圓圓心 C 到 O（0，0）的距離為 2，圓值為值為1，

14、C 上的點到點 O 的距離的最大3，最小再由，可得AMB=90 ，以 AB 為直徑的圓和圓 C 有交點，可得MO=AB=m ，第10 頁，共 21頁故有 1m3，實數 m 的取值范圍是 1，3，故m 的最大值為 3，此時，MO=3 ，2M 為直線 CO：y= x 和圓 C：（x-1）+ =1 的交點，且該交點離原點 O 較遠由結求得，故點M 的坐標為（ ， 合 x 1），故選：C根據圓心 C 到原點 O 的距離，可得圓 C 上的點到點 O 的距離最大、最小值，再由 AMB=90 ，可得 PO=AB=m 的取值范圍本題主要考查了兩個向量垂直的性 質，求實數值的取值范圍以及圓的性質與應用問題 ，是

15、中檔題 10.【答案】 C【解析】解：函數的圖象向左平移個單位，y=f （x+）=2sin2（x+）-=2sin （2x+），再向上平移 1 個單位，得 y=2sin（2x+）+1 圖象，g（x ）=2sin（2x+）+1；若 g（x1）+g（x2）=6，則 2x1+ = +2k1，x1= +k1，2x2+=+2k2，x2=+k2，其中 k1，k2Z；又 x1，x2- 2，2，則 x1-x2 的最大值為（ +）-（ -2）=3故選：C根據函數 圖象平移法 則求出 g（x）的解析式，第11 頁，共 21頁再由 g（x1）+g（x2）=6 和 x1，x2- 2，2求得 x1-x2 的最大值 本題考

16、查了三角函數 圖象平移和 圖象與性質的應用問題，是基礎題11.【答案】 B【解析】【分析】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，主要是離心率的求法，注意運用定義法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題由題意可得 PF1PF2，可設 |QF1|=t，可得 |PQ|=2t，由雙曲線的定義可得 |PF2|=3t-2a，又連接 QF2，可得|QF2|=t+2a，運用直角三角形的勾股定理，化簡整理計算可得有 c= a，雙曲線的離心率可得【解答】解：由題意可得 PF1PF2，可設|QF1|=t，可得|PQ|=2t，由雙曲線的定義可得 |PF1|-|PF2|=2a，即有 |PF2|=3t-2a，又連接 QF2，可

17、得|QF2|-|QF1|=2a，即有 |QF2|=t+2a，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，為222即3t， ，（ ）+ 3t-2a =4c（）又 |PQ|2+|PF2|2=|QF2|2，2（22即有 4t） （），+ 3t-2a = t+2a由 可得，3t=4a，第12 頁，共 21頁代入 ，可得16a2+4a2=4c2，即有 c=a，即 e= =故選 B12.【答案】 C【解析】解：對任意兩個不等的正 實數 x1，x2，都有不等式恒成立，則當 x0 時，f（x）3 恒成立，f（x）=+x3 在（0，+）上恒成立，則 a（3x-x2）=，max故選：C求出函數的 導數，分離參數

18、a，結合二次函數的性 質，求出 a 的范圍即可本題考查了函數的 單調性問題，考查導數的應用以及二次函數的性 質，是一道中檔題13.【答案】 60【解析】解：；=；與的夾角為 60故答案為：60根據及即可求出的值 進， 而可得出第13 頁，共 21頁與的夾角考查向量數量 積的運算及 計算公式，向量夾角的概念及向量 夾角的范圍14.【答案】 20【解析】解：根據題意，二項式r（x3 n-r）的展開式的通 項為 Tr+1=Cn） （r=Cnrx3n-5r，第（r+1）項的系數為 Cnr，若只有第 4 項的系數最大，即 Cn3 為最大的系數，則 n=6，則其展開式的通 項為 Tr+1=C6rx18-5

19、r，令 18-5r=3，解可得 r=3，則有 T4=C63x 3，即展開式中 x3 項的系數為 20；故答案為：20根據題項式定理可得二項式的展開式的通項，求出每一項意，由二的系數，分析可得 n 的值，即可得其展開式的通 項為 Tr+1=C6rx18-5r，令18-5r=3，解可得 r=3，將r=3 代入通項可得 T4=C63x3，即可得答案本題考查二項式定理的 應用，關鍵是求出 n 的值15.【答案】【解析】解：過 M 作準線的垂線，垂足為 Q，則 FM=MQ ，MN=3MQ ，cosNMQ=，tanNMQ=2，直線 MN 的方程為：y=-2x+p把 x=-代入 y=-2x+p 得：yN =

20、2p=4，第14 頁，共 21頁p=故答案為：根據比例關系得出直 線 MN 的方程，根據 N 點縱坐標求出 p 的值本題考查了拋物線的定義與性質，直線方程，屬于中檔題【答案】 1416.【解析】解：SA平面 ABC ，由余弦定理可得=,=，可得 ABC 的邊長可得外接 圓的半徑：2r=，可得 r=設球心到圓心距離為 x，球的半徑為 R，圓心構成直角三角形：可得 x22222根據球心與（）+r =R+r = 2-x解得：x=1R2=，積為2外接球表面S=4R=14故答案為：14根據 ABC 的邊長可得外接 圓的半徑 r，設球心到圓心距離為 x，構造直角三角形，即可求出三棱錐 S-ABC 的外接球

21、的半徑，從而求解表面 積本題考查三棱錐 S-ABC 的外接球的表面 積，考查學生的計算能力，確定三棱錐 S-ABC 的外接球的半徑是關 鍵17.【答案】 （ 1）解：設等比數列 n 的公比為q 0， a4=81 ，且 a2， a3 的等差中項為18 =81 ，a2+a3=36=a1（ q+q2）聯立解得a1=q=3 an=3n （ 2）證明： bn=log 3an=n，第15 頁，共 21頁cn=數列 cnn+ 的前 n 項和為 T =，即【解析】（1）設等比數列 n 的公比為 q0，由a4=81，且a2，a3 的等差中 項為 18可得=81，a2+a3=36=a1（q+q2）聯立解得 a1，

22、q即可得出2）bn=log3an=n，cn=項（利用裂 求和方法即可證明本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題18【.答案】解：（ 1）在抽取的 40 名男生中，身高在 172cm 以上的頻率為1（-0.02+0.04+0.07 ）5=0.35 ，這 40 名男生中身高在172cm（含 172cm）以上的人數為40 0.35=14（ 2）設學生身高為X，則 X N（ 168，9），P（ X 177）= （1-0.9974 ）=0.0013 ，身高在 177cm（含 178cm）以上的人數為50000 0.0013=65 ，由頻率分別直方圖可知

23、40 名男生中，身高在177cm（含 178cm）以上的人數為401-（ 0.02+0.04+0.07+0.04 ） 5=6 的可能取值為 0， 1，2，其中 P（ =0） =， P（ =1） =， P（ =2） =的分布列為：012P的數學期望為E（ ） =0 +1 +2 = 【解析】（1）求出后三組的頻率，從而得出身高在 172cm（含172cm）以上的人數；第16 頁，共 21頁（2）根據正態分布計算全校前 65 名的身高，再利用超幾何分 別得出分布列和數學期望本題考查離散型隨機 變量的數學期望的求法，考 查離散型隨機 變量的分布列、數學期望的性 質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數

24、與方程思想，是中檔題19.【答案】 （ 1）證明：連接PE，PAD是邊長為2 的等邊三角形， E 是 AD 的中點，PEAD ， PE=，DE BC， DE=BC，AD CD，四邊形 BCDE 是矩形， BE=CD =，222PEBEPE+BE =PB， ，又 ADBE =E，PE平面 ABCD ，又 PE? 平面 PAD，平面 PAD 平面 ABCD （ 2）解：以 E 為原點，以 EA，EB，EP 為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則 P（0， 0，）， C（ -1， 0）， B（ 0，0），=（0， 0），=（ -1， 0， 0），=（ 1， -，），設=（ 0 1），則=（ -1，

25、 -，），設平面 QBE 的法向量為=（ x，y，z），則，即，令 z=1 得 =（，0， 1），又 PE平面 ABCD ， =（ 0，0， 1）為平面 ABCD 的一個法向量，二面角 Q-BE-C 的大小為 30 ，cos=，解得 =或 =- （舍） = 【解析】（1）根據勾股定理證明 PEBE，根據等邊三角形可得 PEAD ，故PE平面 ABCD ，于是平面 PAD 平面 ABCD ；標設=，求出平面 QBE 和平面 BCE 的法向量，根據法向量（2）建立坐 系，的夾角余弦值的絕對值為求出即可第17 頁，共 21頁本題考查了面面垂直的判定，二面角的 計算與空間向量的應用，屬于中檔題20.【

26、答案】 解：（ 1）由題意可得，解得 a=2， b=1 ， c=，橢圓 C 的方程為+y2=1，證明： （ 2）設 P（x1 ，y1）， Q（ x2，y2），P 關于原點的對稱點為R（與點 A不重合），R（ -x1， -y1），聯立方程組可得，消 y 可得 x2+tx+t2-1=0 ，=3t22） 0，解得 -2t 2，-4（ t -12x1+x2=- t， x1x2=t -1，A（ 1， - ），kAQ=AR=，k+kAR=+=+kAQ=，x1y2+x2y1+ （ x1-x2）+（ y2-y1） +=x1（ x2+t）+x2 （ x1 +t） +（ x1 -x2） +（x2+t- x1 -t

27、） +2 2= x1x2+t（ x1+x2） + = （ t -1） - t + =0 ，kAQ+kAR=0，kAQ=-kAR，ANM=AMN ， |AM |=|AN |【解析】第18 頁，共 21頁（1）由題意可得，解得即可；（2）設 P（x1，y1），Q（x2，y2），根據P 關于原點的 對稱點為 R（與點A 不重合），可得 R（-x1，-y1），根據根與系數的關系，可得x 1+x2=- t，x1x2=t2-1，分別求出 kAQ=，求出kAQ +kAR =0，即可得到kAR =ANM= AMN ，問題得以解決本題考查橢圓 的方程與性 質，考查直線與橢圓的位置關系，考 查斜率的 計算，考查學

28、生分析解決 問題的能力，屬于難題21.【答案】 解：（ 1） f（ x）=ln x-ax+2（ x 0），由題意得f （ x） 0在（ 0， +）恒成立，得 a， x（ 0， +），令 g（ x）=， x（ 0，+）， g（ x） =0，解得： x ，令 g（ x） 0，解得： x ，故 g（ x）在（ 0， ）遞增，在（ ，+）遞減，故 ag（ ） =e，故 ae；（ 2）函數 y=f（x） -x=xlnx- x2+1 有 2 個極值點 x1， x2（ x1 x2），即 f（ x） -1=ln x-ax+1 有 2 個不同的零點，且均為正，令 F （x） =f（ x） -1=ln x-ax+1，由 F （ x） = -a=（ x 0），可知：y=F（ x）在（ 0， ）遞增，在（，+）遞減，且 0 x1 ，構造-x1 ，構造函數m（x） =F（ -x） -F（ x） =ln （ -x） -a（ -x） -（ lnx-ax），（ 0 x ），則 m（ x） = - +2a= 0，第19 頁，共 21頁故 m（ x）在區間（ 0， ）遞減，又由于 0x1 ，則 m（ x1） m（ ） =0，即有 m（ x1） 0 在（ 0， ）上