1、1993年量子力學考研試題一. 設n是粒子數算符r?=召+召的本征函數，相應之本征值為n-o，算符召和a滿足對易關系aa-a? =1。證明：召n （其中n-i） 和？ n也是N?的本征函數其相應的本征值分別為n-1和n T。解：用粒子數算符N作用到?n）上，即N?n = a+aa n） =（a?+ -1 冷 n） = aa+a n a?n = a? n） - ?n） = （n T $n）上式表明a n是h?的本征態，相應的本征值為 n - 1。同樣，用粒子數算符N?作用到a? |n）上，即N? n ? a? n = a ? ? 1 n 二? ? 0?n ； ? n ；= n - ? n=（ n

2、+1）? n上式表明? n也是N?的本征態，相應的本征值為（n+ 1）。x 00- x- ax a二. （類似2000年第二題）質量為m的粒子在一維勢阱IV x 二Vo,lo,一一Vo中運動Vo 0，若已知該粒子在此勢阱中有一個能量E = - y的狀態，試確定此勢阱的寬度a。Vo解：對于E寸0的情況，三個區域中的波函數分別為*(x)= 02 x 二 Asin kx嚴 3(x)= Bexp(- ax)其中，2m(E Vo) k；a =h在x二a處，利用波函數及其一階導數連續的條件得到As in ka = Bexp - ： aAkcoska = -B： exp - ： a于是有tanka 二此即能

3、量滿足的超越方程1當EJ。時，由于mVo 1 mV。h廿 123,最后，得到勢阱的寬度J4 、mV00時處于三. （類似習題選講5.7）設作一維自由運得粒子t =x,0 二 A sin2 kx coskx態上，求t = o和t 0時粒子動量與動能的平均值。解：由于動量算符與動能算符對易，它們有共同本征函數12e x pkx而t二0時的波函數x,0 二 Asin2 kx coskx 二1 2 1A exp ikx -exp-ikxexp ikx exp - iA.2expikx 2exp - ikx - exp i2kx 2 - exp - i2kx : 4A 2二2 k x 2 _k x 一

4、2k x 2 0 x 一 _2k x?4歸一化常數為W p = 0 14動量的取值幾率為14W p 2k ； W p k14 ；14 ；動量的平均值為動能的平均值為p 八 pW p 二 0p14k22 T 0p2W p 二2m p7m因為，動量算符合動能算符皆與哈密頓算符對易， 故它們都是守恒量，而守恒量的取值幾率和平均值不隨時間改變，t 0時的結果與t = 0時完全一樣。四. (見習題選講6.3)對于類氫離子的任何一個本征態- nlm(r)，利用維里定理、費曼海爾曼定理計算解：已知類氫離子的能量本征值為2 2Eni mE(1)Z e2n2ao式中，ao-2盲為玻爾半徑。由維里定理知H厶匕口.

5、 丿總冃匕里所以，得到2El = Z r Ze n2a0n 二 1,2,3,類氫離子的哈密頓算符為1(1 1)Ze22s r汀2lr將i視為參數，利用費曼-海爾曼定理，得到H?i（4）（5）（6）（7）（8）（9）粒子構成的體系，分別是粒子1和哈密頓量H?=C?g， 其中，C為常數，?與由于，n = n r l 1所以，：En ：En Z2e23：i ： n n a0將其代入（6）式，有T =1 z2r2 l 1/2 n3 a021五. （類似 佃96年第四題）設兩個自旋為 丁粒子2的自旋算符。已知0時，粒子1的自旋沿Z軸的負方向，粒 子2的自旋沿Z軸的正方向，求t 0時測量粒子1的自旋處于Z

6、軸 負方向的幾率。解：體系的哈密頓算符為R = c? ?二 C ? - 當 - ？2選擇耦合表象，由于s=0,1,故四個基底為滬卅；|2Tit）； I3Ti0； 14H0O在此基底之下，哈密頓算符是對角矩陣，即可以直接寫出它的解為E1E2=1-1=-時2，3C14, 00： 2+已知t = 0時，體系處于因為哈密頓算符不顯含時間，故t 0時刻的波函數為3iCt4/1 /2 |s1z ： -,t 二=(-屮(t )+2丿1片1r/i牡f 3i|exp丄C+ exp二C竹14丿 r i 、J訃3 丿10-exp聲丿00+ 一 +粒子1處于z軸負方向的幾率為六.粒子在一維勢場V x中運動，非簡并能級為E： n = 1,2,3，,如受到微擾 W T ?x的作用，求能量到二級修正，并與精確解比較。解：已知F?o滿足的本征方程為H?o n) = E0 n)由x, H?o1 二J?可知PmnE01 nE0mXmn第k個能級的