1、第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)2二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖像與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)3二分法對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)持續(xù)且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過(guò)持續(xù)地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法二、必明2個(gè)易誤區(qū)1函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)即方程f(x)0的實(shí)根，易誤為函數(shù)點(diǎn)2由函數(shù)yf(x)在閉

2、區(qū)間a，b上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)f(b)0，如圖所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點(diǎn)的充分不必要條件三、必會(huì)3個(gè)方法1函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存有性定理：利用定理不但要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)持續(xù)的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；(3)利用圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)2三個(gè)等價(jià)關(guān)系(三者相互轉(zhuǎn)化)3用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟第一步：確定區(qū)間a

3、，b，驗(yàn)證f(a)f(b)0，給定精確度；第二步：求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c.第三步：計(jì)算f(c)；若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；若f(a)f(c)0，則令bc(此時(shí)零點(diǎn)x0(a，c)；若f(c)f(b)0，則令ac(此時(shí)零點(diǎn)x0(c，b)第四步：判斷是否達(dá)到精確度：即若|ab|，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)，否則重復(fù)第二、三、四步考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定1(2014保定調(diào)研)函數(shù)f(x)log3xx2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)解析：選B 法一：函數(shù)f(x)log3xx2的定義域?yàn)?0，)，并且在(0，)上遞增、連續(xù)，又f(1)10，所以

4、函數(shù)f(x)log3xx2有唯一的零點(diǎn)且零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)法二：作出函數(shù)ylog3x與yx2的圖像(圖略)，不難看出其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，故選B.2(2013朝陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2)解析：選C 由條件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a3.3.函數(shù)f(x)x23x18在區(qū)間1,8上_(填“存有”或“不存有”)零點(diǎn)解析：法一：f(1)123118200，f(1)f(8)0，又f(x)x23x18，x1,8的圖像是連續(xù)的，故f(x)

5、x23x18，x1,8存有零點(diǎn)法二：令f(x)0，得x23x180，x1,8，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18，x1,8存有零點(diǎn)答案：存有類題通法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存有零點(diǎn)，要根據(jù)具體題目靈活處理當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出實(shí)行判斷；當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存有性定理判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存有性定理也無(wú)法判斷時(shí)可畫出圖像判斷考點(diǎn)二判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)典例 (1)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )A4 B3 C2 D1(2)函數(shù)f(x)xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )A0 B1 C2 D3解析(1)由f(f(x)10可得f(f

6、(x)1，又由f(2)f1.可得f(x)2或f(x).若f(x)2，則x3或x；若f(x)，則x或x，綜上可得函數(shù)yf(f(x)1有4個(gè)零點(diǎn)(2)令f(x)xx0，得xx，求零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖像有1個(gè)交點(diǎn)，故選B.答案(1)A(2)B類題通法函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其步驟是：(1)令f(x)0；(2)構(gòu)造y1f1(x)，y2f2(x)；(3)作出y1，y2圖像；(4)由圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用典例若函數(shù)f(x)xln xa有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析令g(x)xln x，h(x)a，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)

7、化成函數(shù)g(x)與h(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)g(x)ln x1，令g(x)0，即ln x1，可解得0x0，即ln x1，可解得x，所以，當(dāng)0x時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，由此可知當(dāng)x時(shí)，g(x)min.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)和h(x)的簡(jiǎn)圖如圖所示，據(jù)圖可得a0時(shí)，由f(x)ln x0，得x1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)2xa有一個(gè)零點(diǎn)，令f(x)0得a2x，因?yàn)?2x201，所以0a1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是00，f(x)exx2在R上是增函數(shù)而f(2)e240，f(1)e130，f(0)10，f(2)e20，f(0)f(1)1時(shí)，由f(x)1log2x0

8、，解得x，又因?yàn)閤1，所以此時(shí)方程無(wú)解綜上函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.2設(shè)f(x)x3bxc是1,1上的增函數(shù)，且ff0，則方程f(x)0在1,1內(nèi)()A可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根 B可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根C有唯一的實(shí)數(shù)根 D沒(méi)有實(shí)數(shù)根解析：選C由f(x)在1,1上是增函數(shù)，且ff0，知f(x)在上有唯一零點(diǎn)，所以方程f(x)0在1,1上有唯一實(shí)數(shù)根3用二分法求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗(yàn)證f(2)f(4)0，給定精確度0.01，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x13，計(jì)算得f(2)f(x1)0，則此時(shí)零點(diǎn)x0_(填區(qū)間)解析：由f(2)f(3)0時(shí)，g(x)2x20有唯一解x1；當(dāng)x0時(shí)，g(x)x2x

9、1，令g(x)0，得x2(舍去)或x，即g(x)0有唯一解綜上可知，g(x)f(x)x有2個(gè)零點(diǎn)5(2013開封一模)下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是()解析：選CA中函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，因此不能用二分法求零點(diǎn)；B中函數(shù)的圖像不連續(xù)；D中函數(shù)在x軸下方?jīng)]有圖像，故選C.6(2014荊門調(diào)研)已知函數(shù)yf(x)的圖像是連續(xù)不間斷的曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)值：x123456y124.4357414.556.7123.6則函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,6上的零點(diǎn)至少有()A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)解析：選B依題意，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，所以y2x沒(méi)有零點(diǎn)，同樣y2x

10、也沒(méi)有零點(diǎn)；f(x)xx1，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，故f(x)沒(méi)有零點(diǎn)；令f(x)xx10得x1，故選D.8(2013石家莊高三模擬考試)x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如2.92，4.15，已知f(x)xx(xR)，g(x)log4(x1)，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：選B作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖像如圖所示，發(fā)現(xiàn)有2個(gè)不同的交點(diǎn)9用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)0可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_解析：因?yàn)閒(x)x33x1是R上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)0，則f(x)在x(0,0.5)上存在零點(diǎn)，