1、第五章 微分中值定理及其應(yīng)用,第一節(jié) 微分中值定理 第二節(jié) LHospital法則 第三節(jié) Taylor公式與插值多項(xiàng)式 第四節(jié) 函數(shù)的Taylor公式及其應(yīng)用 第五節(jié) 應(yīng)用舉例 第六節(jié) 方程的近似求解,第一節(jié) 微分中值定理,二、羅爾定理,三、拉格朗日中值定理,四、柯西中值定理,五、應(yīng)用及小結(jié),羅爾,拉格朗日,柯西,一、函數(shù)極值與Fermart引理,引子,幾何解釋,即:如果記C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ,那么就有,通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù) 的駐點(diǎn)（或稱為穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn),一、函數(shù)極值與Fermart引理,例如,二、Rolle（羅爾）定理(定理5.1.2,證,注意（1）：羅爾定理的條件是充分的，并且任缺一，

2、則不能保證結(jié)論成立,注意（2）：羅爾定理的條件是非必要的，缺條件時(shí)，甚至三條都不滿足時(shí), 結(jié)論也可能成立。請自己舉例,例,證,由介值定理,即為方程的小于1的一個(gè)正實(shí)根,矛盾,返回,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日中值定理(定理5.1.3,分析,弦AB方程為,曲線AB方程為,容易看出,證明:作輔助函數(shù),拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理又稱有限增量定理,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式,微分中值定理,注意:拉氏公式“精確”表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,四、小結(jié),Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,羅爾定理、

3、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系,注意定理成立的條件,注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟,思考題,試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可,思考題解答,不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件,且,不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微的條件,以上兩個(gè)都可說明問題,返回,拉格朗日Lagrange, Joseph Louis（1736-1813,法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家及天文學(xué)家。拉格朗日于1736年1月25日在意大利西北部的都靈出生。少年時(shí)讀了哈雷介紹牛頓有關(guān)微積分之短文，因而對分析學(xué)產(chǎn)生興趣。他亦常與歐拉有書信往來，于探討數(shù)學(xué)難題等周問題之過程中，當(dāng)時(shí)只有18歲的他就以純分析的方法發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法， 奠定變分

4、法之理論基礎(chǔ)。后入都靈大學(xué)。1755年，19歲的他就已當(dāng)上都靈皇家炮兵學(xué)校的數(shù)學(xué)教授。不久便成為柏林科學(xué)院通訊院院士。兩年后，他參與創(chuàng)立都靈科學(xué)協(xié)會(huì)之工作，并于協(xié)會(huì)出版的科技會(huì)刊上發(fā)表大量有關(guān)變分法、概率論、微分方程、弦振動(dòng)及最小作用原理等論文。這些著作使他成為當(dāng)時(shí)歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家,到了1764年，他憑萬有引力解釋月球天平動(dòng)問題獲得法國巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)金。1766年，又因成功地以微分方程理論和近似解法研究科學(xué)院所提出的一個(gè)復(fù)雜的六體問題木星的四個(gè)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問題 而再度獲獎(jiǎng)。同年，德國普魯士王腓特烈邀請他到柏林科學(xué)院工作時(shí)說：歐洲最大的王之宮廷內(nèi)應(yīng)有歐洲最大的數(shù)學(xué)家，于是他應(yīng)邀到柏林科學(xué)院工作

5、，并在那里居住達(dá)20年。其間他寫了繼牛頓后又一重要經(jīng)典力學(xué)著作分析力學(xué)1788。書內(nèi)以變分原理及分析的方法，把完整和諧的力 學(xué)體系建立起來，使力學(xué)分析化。他于序言中更宣稱：力學(xué)已成分析的一個(gè)分支,1786年普魯士王腓特烈逝世后，他應(yīng)法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎。其間出任法國米制委 員會(huì)主任，并先后于巴黎高等師范學(xué)院及巴黎綜合工科學(xué)校任數(shù)學(xué)教授。最后于1813年4月10日在當(dāng) 地逝世。拉格朗日不但于方程論方面貢獻(xiàn)重大，且還推動(dòng)了代數(shù)學(xué)之發(fā)展。他在生前提交給柏林科學(xué)院的兩 篇著名論文：關(guān)于解數(shù)值方程1767及關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究1771中，考察了二、三及四次方程的一種普遍性解法，即把

6、方程化作低一次之方程輔助方程或預(yù)解式以求解。但這并不適用于五次方程。在他有關(guān)方程求解條件的研究中早已蘊(yùn)含了群論思想的萌芽，這使他成為伽羅瓦建立群論之先導(dǎo),返回,柯西 Augustin Louis Cauchy(1789-1857,法國數(shù)學(xué)家。（1789、8、211857、5、23）他出身于高級官員家庭，從小受過良好的教育。1816年取得教授職位，同年，被任命為法國科學(xué)院院士。此外，他還占有巴黎大學(xué)理學(xué)院和法蘭西學(xué)院的教授席位。 1830年，波旁王朝被推翻，柯西拒絕宣誓效忠新的國王，因此失去所有的職位。后被前國王召到布拉格，協(xié)助宮廷教育，1838年回到巴黎，繼任巴黎綜合工科學(xué)校教授，并恢復(fù)了在科

7、學(xué)院的活動(dòng)。1848年任巴黎大學(xué)教授。 柯西主要的貢獻(xiàn)在微積分、復(fù)變函數(shù)和微分方程三個(gè)領(lǐng)域,返回,羅爾 Rolle, Michel(1652-1791,羅爾在微積分初創(chuàng)階段作出了貢獻(xiàn)。1690年他在任意次方程的一個(gè)解法一文中，給出了著名的羅爾定理（但沒有證明），這個(gè)定理在微積分理論中占有重要的地位。他還提出了尋求代數(shù)方程實(shí)根上界的法則，但是這個(gè)法則卻被稱為馬克勞林法則。此外，他對笛卡兒的分析與萊布尼茲的無窮小研究進(jìn)行了評論。盡管他的批評不見得有理有據(jù)，但卻促使萊布尼茲對分析的理論基礎(chǔ)的關(guān)注。另外羅爾對含有兩個(gè)變量的不定方程的整數(shù)解問題，也進(jìn)行了研究,返回,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第

8、二節(jié) LHospital法則,微分中值定理,函數(shù)的性態(tài),導(dǎo)數(shù)的性態(tài),函數(shù)之商的極限,導(dǎo)數(shù)之商的極限,轉(zhuǎn)化,或 型,本節(jié)研究,洛必達(dá)法則,洛必達(dá) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,洛必達(dá)法則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 求,解,原式,注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 求,解,原式,思考: 如何求,n 為正整數(shù)) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 求,解,原式,例4. 求,解: (1) n 為正整數(shù)的情形,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 求,2) n 不為正整數(shù)的情形,從而,由(1,用夾逼準(zhǔn)則,存在正整數(shù) k

9、, 使當(dāng) x 1 時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3,例4,說明,1) 例3 , 例4 表明,時(shí),后者比前者趨于,更快,例如,而,用洛必達(dá)法則,2) 在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計(jì)算問題,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3) 若,例如,極限不存在,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、其他未定式,解決方法,通分,取倒數(shù),取對數(shù),例5. 求,解: 原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解: 原式,例6. 求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,通分,取倒數(shù),取對數(shù),例7. 求,解,利用 例5,例5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,通分,取倒數(shù),取對數(shù),例8.

10、求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例9. 求,分析: 為用洛必達(dá)法則 , 必須改求,法1 用洛必達(dá)法則,但對本題用此法計(jì)算很繁,法2,原式,例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),洛必達(dá)法則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 設(shè),是未定式極限 , 如果,不存在 , 是否,的極限也不存在 ,舉例說明,極限,說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,原式,分析,分析,3,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則,4. 求,解: 令,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,洛必達(dá)(1661 1704,法國數(shù)學(xué)家,他著有無窮小分析,1696,并在該書中提出了求未定式極,

11、限的方法,后人將其命名為“ 洛必達(dá)法,的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,線 ” 問題,在他去世后的1720 年出版了他的關(guān)于圓,錐曲線的書,則,他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求下列極限,解,備用題,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,則,原式,解,用洛必達(dá)法則,繼續(xù)用洛必達(dá)法則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解,原式,第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、最大值與最小值問題,一、函數(shù)的極值及其求法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5應(yīng)用舉例,三、函數(shù)作圖,一、函數(shù)的極值及其求法,回顧,在其中當(dāng),時(shí),1,則稱 為 的極大點(diǎn),稱

12、 為函數(shù)的極大值,2,則稱 為 的極小點(diǎn),稱 為函數(shù)的極小值,極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理 5.5.1 (極值判定定理,且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),自證,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放暫停,1）極值第一判別法,例1. 求函數(shù),的極值,解,1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求極值可疑點(diǎn),令,得,令,得,3) 列表判別,是極大點(diǎn),其極大值為,是極小點(diǎn),其極小值為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2）極值第二判別法,二階導(dǎo)數(shù) , 且,則 在點(diǎn) 取極大值,則 在點(diǎn) 取極小值,證: (1,存在,由第一判別法知,2) 類似可證,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

13、返回 結(jié)束,例2. 求函數(shù),的極值,解: 1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求駐點(diǎn),令,得駐點(diǎn),3) 判別,因,故 為極小值,又,故需用第一判別法判別,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3 .判別法的推廣,則,數(shù) , 且,1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn),是極大點(diǎn),2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn) , 且,不是極值點(diǎn),當(dāng) 充分接近 時(shí), 上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證,利用 在 點(diǎn)的泰勒公式,可得,例如 , 例2中,極值的判別法( 定理1 定理3 ) 都是充分的,說明,當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí), 不等于極值不存在,例如,為極大值,但不滿足定理1,定理3 的條件,機(jī)

14、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、最大值與最小值問題,則其最值只能,在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到,求函數(shù)最值的方法,1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn),2) 最大值,最小值,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特別,當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到,若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值,小,對應(yīng)用問題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的,可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn),小,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值,解: 顯然,且,故函數(shù)在,取最小值 0,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因此也可通過,例3. 求函數(shù),說明,求

15、最點(diǎn).(good,與,最值點(diǎn)相同,由于,令,自己練習(xí),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 設(shè),則在點(diǎn) a 處(,的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值,取得極小值,的導(dǎo)數(shù)不存在,B,提示: 利用極限的保號(hào)性,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 設(shè),A) 不可導(dǎo),B) 可導(dǎo), 且,C) 取得極大值,D) 取得極小值,D,提示: 利用極限的保號(hào)性,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 設(shè),是方程,的一個(gè)解,若,且,A) 取得極大值,B) 取得極小值,C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加,D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少,提示,A,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,試問,為何

16、值時(shí),還是極小,解,由題意應(yīng)有,又,取得極大值為,備用題 1,求出該極值,并指出它是極大,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,k 為某一常數(shù),例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20,AC AB,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5,為使貨,D 點(diǎn)應(yīng)如何選取,解: 設(shè),則,令,得,又,所以 為唯一的,極小點(diǎn),故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省,總運(yùn)費(fèi),物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn),問,Km,公路,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,清楚(視角 最大) ,觀察者的眼睛1.8 m,例5. 一張 1.4

17、m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于,解: 設(shè)觀察者與墻的距離為 x m,則,令,得駐點(diǎn),根據(jù)問題的實(shí)際意義, 觀察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又,因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚,問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,四、函數(shù)作圖,步驟,1. 確定函數(shù),的定義域,期性,2. 求,并求出,及,3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn),4. 求漸近線,5. 確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形,為 0 和不存在,的點(diǎn),并考察其對稱性及周,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 描繪,的圖形,解: 1) 定義域?yàn)?無對稱性及周期性,2,3,拐點(diǎn),4

18、,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 描繪方程,的圖形,解: 1,定義域?yàn)?2) 求關(guān)鍵點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3) 判別曲線形態(tài),極大,極小,4) 求漸近線,為鉛直漸近線,無定義,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,又因,即,5) 求特殊點(diǎn),為斜漸近線,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6）繪圖,極大,極小,斜漸近線,鉛直漸近線,特殊點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 描繪函數(shù),的圖形,解: 1) 定義域?yàn)?圖形對稱于 y 軸,2) 求關(guān)鍵點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3) 判別曲線形態(tài),極大,拐點(diǎn),極大,拐點(diǎn),為水平漸近線,5) 作圖,4) 求漸近線,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返