1、（1）實數與向量的運算法則：設、為實數，則有：1）結合律：。2）分配律：，。（2）向量的數量積運算法則：1）。2）。3）。（3）平面向量的基本定理。是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這一平面內的任何一向量，有且僅有一對實數，滿足。（4）與的數量積的計算公式及幾何意義：，數量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積。（5）平面向量的運算法則。1）設，則+。2）設，則-。 3）設點A，B，則。4）設，則。5）設，則。（6）兩向量的夾角公式：（，）。（7）平面兩點間的距離公式：（A，B）。（8）向量的平行與垂直：設，且0，則有：1）|。2） （0） 0。（9）線段的定比分公式：設，是線段的分點，是實數

2、，且，則（）。（10）三角形的重心公式：ABC三個頂點的坐標分別為、，則ABC的重心的坐標為。（11）平移公式： 。（12）關于向量平移的結論。1）點按向量平移后得到點。2）函數的圖像按向量平移后得到圖像:。3）圖像按向量平移后得到圖像:，則為。4）曲線:按向量平移后得到圖像:。設a=（x，y），b=(x，y)。1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。 向量的加法OB+OA=OC。a+b=(x+x，y+y)。a+0=0+a=a。向量加法的運算律：交換律：a+b=b+a；結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。12、向量的減法如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a

3、+b=0. 0的反向量為0AB-AC=CB. 即“共同起點，指向被 向量的減法減”a=(x,y)b=(x,y) 則a-b=(x-x,y-y).如圖：c=a-b 以b的結束為起點，a的結束為終點。3、向量的數乘實數和向量a的乘積是一個向量，記作a，且a=a。當0時，a與a同方向當1時，表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上伸長為原來的倍當0）或反方向（0）上縮短為原來的倍。數與向量的乘法滿足下面的運算律結合律：(a)b=(ab)=(ab)。向量對于數的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.數對于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.數乘向量的消去律： 如果實數0且a=b，

4、那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。24、向量的數量積定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a,b并規定0a,b定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量（沒有方向），記作ab。若a、b不共線，則ab=|a|b|cosa，b（依定義有：cosa，b=ab / |a|b|）；若a、b共線，則ab=ab。向量的數量積的坐標表示：ab=xx+yy。向量的數量積的運算律ab=ba（交換律）(a)b=(ab)(關于數乘法的結合律)（a+b)c=ac+bc（分配律）向量的數量積的性質aa=|a|的平方。ab =ab=0。|ab|a|b|。（該公

5、式證明如下：|ab|=|a|b|cos| 因為0|cos|1，所以|ab|a|b|）向量的數量積與實數運算的主要不同點1向量的數量積不滿足結合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。2向量的數量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。3|ab|與|a|b|不等價4由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。5、向量的向量積定義：兩個向量a和b的向量積 向量的幾何表示（外積、叉積）是一個向量，記作ab（這里“”并不是乘號，只是一種表示方法，與“”不同，也可記做“”）。若a、b不共線，則ab的模是：ab=|a|b|sina，b；ab的方向是：垂直于a和b，

6、且a、b和ab按這個次序構成右手系。若a、b垂直，則ab=0。向量的向量積性質：ab是以a和b為邊的平行四邊形面積。aa=0。a垂直b=ab=0向量的向量積運算律ab=-ba（a）b=（ab）=a（b）a（b+c）=ab+ac.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。6、三向量的混合積定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積ab，再和向量c作數量積(ab)c， 向量的混合積所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(ab)c混合積具有下列性質：1三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等于以a、b、c為棱的平行六

7、面體的體積V，并且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=V（當a、b、c構成右手系時=1；當a、b、c構成左手系時=-1）2上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=03(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)4(ab)c=a(bc) 7.例題正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相連，L是EH中點，求證LBGK？設AE=a向量, AG=a, AD=c, AB=c, CH=b,CK=b有 aa=bb=cc=0, a2=a2, b2=b2 ,c2=c2,ab=ab,ac=-ac,ac=ac, bc=bc. bc=-bc*FH=-a+c+c+b LB=FH/2-b