1 高三單元滾動檢測卷 數學 考生注意： 1 本試卷分第 卷 (填空題 )和第 卷 (解答題 )兩部分，共 4頁 2 答卷前，考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上 3 本次考試時間 120分鐘，滿分 160分 4 請在密封線內作答，保持試卷清潔完整 單元檢測十二 推理與證明 、 算法 、 復數 第 卷 一、填空題 (本大題共 14 小題 ， 每小題 5 分 ， 共 70 分 請把答案填在題中橫線上 ) 1 (2015桂林模擬 )已知數列 前 n 項和為 則 1， 試歸納猜想出 _ 2 如圖所示 ， 閱讀流程圖 ， 如果輸出的函數值在區間 1,3上 ， 則輸入的實數 x 的取值范圍是_ 3 設 a 是實數 ， 且 i 1 實數 ， 則 a _. 4 四個小動物換座位 ， 開始是鼠 ， 猴 ， 兔 ， 貓分別坐 1,2,3,4 號位子上 (如圖 )， 第一次前后排動物互換座位 ， 第二次左右列動物互換座位 ， ， 這樣交替進行下去 ， 那么第 2 009 次互換座位后 ， 小兔的座位對應的編號是 _. 2 5 如圖所示 ， 橢圓中心在坐標原點 ， F 為左焦點 ， 當 F B A B 時 ， 其離心率為 5 12 ， 此類橢圓被稱為 “ 黃金橢圓 ” ， 類比 “ 黃金橢圓 ” ， 可推算出 “ 黃金雙曲線 ” 的離心率 e_. 6 (2015蘇州模擬 )設 x， y， z (0， )， a x 1y， b y 1z， c z 1x， 則 a， b， c 三數滿足的條件是 _ 至少有一個不大于 2； 都小于 2； 至少有一個不小于 2； 都大于 2. 7 設復數 z 7 4i ， 其中 i 為虛數單位 ， 6， 56 ， 則 |z|的取值范圍是 _ 8 (2015淮安質檢 )已知數列 各項均為正數 ， 觀察流程圖 ， 若 k 5， k 10 時 ， 分別有S 511和 S 1021， 則數列 通項公式為 _ 3 9 觀察下列事實 ： |x| |y| 1 的不同整數解 (x， y)的個數為 4， |x| |y| 2 的不同整數解 (x， y)的個數為 8， |x| |y| 3 的不同整數解 (x， y)的個數為 12 則 |x| |y| 20 的不同整數解 (x，y)的個數為 _ 10 如圖所示的是由火柴棒拼成的一列圖形 ， 第 n 個圖形由 n 個正方形組成 ， 通過觀察可以發現第 4 個圖形中 ， 火柴棒有 _根 ； 第 n 個圖形中 ， 火柴棒有 _根 11 在復平面內復數 11 i， 11 ， N， 若點 P 為線段 中點 ， 則點 _ 12 (2015鎮江檢測 )執行如圖所示的流程圖 ， 若輸出的結果是 8， 則輸入的數是 _ 數字 1 出現在第 1 行 ； 數字 2,3 出現在第 2 行 ； 數字 6,5,4(從左至右 )出現在第 3 行 ； 數字 7,8,9,10 出現在第 4 行 ； 依此類推 ，則第 63 行從左至右的第 2 個數應是 _ 4 14 執行下面的流程圖 ， 若輸入的 的值為 則輸出的 n 的值為 _ 第 卷 二、解答題 (本大題共 6 小題 ， 共 90 分 解答時應寫出文字說明 、 證明過程或演算步驟 ) 15 (14 分 )已知復數 z (m 1) (48m 3)i(m R)的共扼復數 z 對應的點在第一象限 ， 求實數 m 的集合 5 16.(14 分 )有一種密英文的明文 (真實文 )按字母分解 ， 其中英文的 a， b， c， ， z 的 26 個字母 (不分大小寫 )， 依次對應 1,2,3， ， 26 這 26 個自然數 ， 見如下表格 ： a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 給出如下變換公式 ： X x 12 x N， 1 x 26， 整除 13x N， 1 x 26， 整除 將明文轉換成密文 ， 如 8 82 13 17， 即 h 變成 q； 如 5 5 12 3， 即 e 變成 c. (1)按上述規定 ， 將明文 成的密文是什么 ？ (2)按上述規定 ， 若將某明文譯成的英文是 那么原來的明文是什么 ？ 17 (14 分 )已知 m 0， a， b R， 用分析法證明 ： (a m )2 m . 18 (16 分 )(2015徐州模擬 )如圖的程序可產生一系列隨機數 ， 其工作原理如下 ： 從集合 個數作為自變量 x 輸入 ； 從函數 f(x)與 g(x)中隨機選擇一個作為 H(x)進行計算 ； 輸出函數值 1,2,3,4,5， f(x) 3x 1， g(x) (1)求 y 4 的概率 ； (2)將程序運行一次 ， 求輸出的結果是奇數的概率 6 19.(16 分 )一企業生產的某產品在不做電視廣告的前提下 ， 每天銷售量為 b 件 經市場調查后得到如下規律 ： 若對產品進行電視廣告的宣傳 ， 每天的銷售量 S(件 )與電視廣告每天的播放量n(次 )的關系可用如圖所示的流程圖來體現 (1)試寫出該產品每天的銷售量 S(件 )關于電視廣告每天的播放量 n(次 )的函數關系式 ； (2)要使該產品每天的銷售量比不做電視廣告時的銷售量至少增加 90%， 則每天電視廣告的播放量至少需多少次 ？ 20 (16 分 )在遞增數列 ， 2， 不等式 (n 1)對任意 n N*都成立 (1)求 (2)判斷數列 否為等比數列 ， 并說明理由 7 答案 解析 1 21 解析 n 1)， 11， 1， 則 43， 32 64， 85. 猜想得 21. 2 x R|0 x x 2 解析 依題意及框圖可得， 2 x 2，1 2x 3 或 |x| 2，1 x 1 3， 解得 0 x x 2. 3 1 解析 i 1 a1 i1 i1 i (12 12i) (12) (12)i，由題意知 12 0， a 1. 4 1 解析 由圖，經過四次交換后，每個小動物又回到了原來的位置， 故此變換的規律是周期為 4， 2 009 4 502 1， 第 2 009次互換座位后，小兔的座位對應的是編號 1. 5. 5 12 解析 根據 “ 黃金橢圓 ” 的性質是 F B A B ，可以得到 “ 黃金雙曲線 ” 也滿足這個性質， 設 “ 黃金雙曲線 ” 方程為 1， 則 B(0， b)， F( c,0)， A(a,0)， 在 “ 黃金雙曲線 ” 中， F B A B ， F B A B 0， 8 又 F B (c， b)， A B ( a， b)， 在等號兩邊同除以 e 5 12 . 6 解析 a b c 1x x y 1y z 1z 6， a， b， . 7 52 ， 5 解析 z 7 4i 7 i3 4i3 4i3 4i 25 25 1 (1 )i， 所以 |z| 1 12， 由 6， 56 知 12 1 2， 所以 52 |z| 5. 8 2n 1 解析 當 i 1時， d， M 1S 1 當 i 2時， d， M 1S 11 當 i 3時， d， M 1S 111 因此，由流程圖可知，數列 等差數列，首項為 差為 d. 當 k 5時， S 11111( 1111111111d 11 5511， 11，即 a1(5d) 11. 當 k 10時， S 11 1 1111 11 110021， 21，即 a1(10d) 21. 由 得 1， d 2， 2n 1. 9 80 解析 由已知條件知 |x| |y| x， y)的個數為 4n， |x| |y| 20的不同整數解 (x， y)的個數為 4 20 80. 10 13 3n 1 解析 易得第 4個圖形中有 13根火柴棒，通過觀察可得，每增加一個正方形，需增加三根火柴棒，所以第 3(n 1) 3n 1根 析 11 i 1 i1 i1 i 1 11 i1 i1 i1 i1 M 12， 12 ， N 12， 12 ，而 N 的中點， P 12， 0 ，故點 2. 12 2 或 2 2 解析 由 a b，得 解得 x 1， 所以當 x 1時，輸出 a 當 x 1時，輸出 b 當 x 1時，由 a 8， 解得 x 8 2 2. 當 x 1時，由 b 8，得 x 2， 所以輸入的數為 2或 2 2. 13 2 015 解析 由題意可知： 每行的行號數和這一行的數字的個數相同， 奇數行的數字從左向右依次減小， 偶數行的數字從左向右依次增大， 第 63行的數字從左向右依次減小， 10 可求出第 63行最左邊的一個數是 63 63 12 2 016， 從左至右的第 2個數應是 2 016 1 2 015. 14 3 解析 輸入 序執行如下： 0 1，2，n 1， 3，2，n 2，13 5，3，n 3，15 束循環，故輸出的 . 15 解 由題意得 z (m 1) (48m 3)i. 因為 z 對應的點位于第一象限， 所以 m 1 0， 48m 3 0， 即 m 1 0，48m 3 0， 解得 m 5 12 或 m 5 12 ，12 m 12 m 32， 所以 m| 5 12 m 32 16 解 (1)g 7 7 12 4 d； o 15 15 12 8 h； 11 d 4 42 13 15 o； 則明文 (2)逆變換公式為 x 2x 1 x N， 1 x 13，2x 26 x N， 14 x 26. 則有 s 19 2 19 26 12 l； h 8 2 8 1 15 o； x 24 2 24 26 22 v； c 3 2 3 1 5 e. 故密文 17 證明 m 0， 1 m 0， 要證原不等式成立， 只需證 (a (1 m)( 即證 m(2 0，即證 (a b)2 0， 而 (a b)2 0顯然成立，故原不等式得證 18 解 (1) D 1,2,3,4,5， f(x) 3x 1， g(x) 第一步：從集合 個數作為自變量 有 5種方法， 第二步：從函數 f(x)與 g(x)中隨機選擇一個作為 H(x)進行計算，共有 2種方法， 該運算共有 f(1)， f(2)， f(3)， f(4)， f(5)， g(1)， g(2)， g(3)， g(4)， g(5)， 10種方法， 而滿足 y 4的有 f(1)， g(2)兩種情況， 由古典概型概率公式得 y 4的概率 P 210 15. (2)輸出結果是奇數有以下幾種情況： f(2)， f(4)， g(1)， g(3)， g(5)共 5種， 由古典概型概率公式得輸出的結果是奇數的概率 P 510 12. 19 解 (1)設電視廣告播放量為每天 產品的銷售量為 i n， i N*) 由題意得， b， i 0，1 1 i n， i N*， 于是當 i b ( b(2 12n)(n N*) 12 所以，該產品每天銷售量 S(件 )與電視廣告每天播放量 n(次 )的函數關系式為 S b(2 12n)， n N*. (2)由題意，有 b (2 12n) 2n 10 n 4(n N*) 所以，要使該產品每天的銷售量比不做電視廣告時的銷售量至少增加 90%，則每天電視廣告