第2講橢圓 雙曲線 拋物線 考情分析 總綱目錄 1 圓錐曲線的定義 1 橢圓 pf1 pf2 2a 2a f1f2 2 雙曲線 pf1 pf2 2a 2a f1f2 3 拋物線 pf pm 點(diǎn)f不在直線l上 pm l于m 第1課時(shí)圓錐曲線的定義 方程與性質(zhì)考點(diǎn)一圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 2 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 其中a b 0 2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 其中a 0 b 0 3 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 2py y2 2px 其中p 0 典型例題 1 2017河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè) 三 橢圓 1的左焦點(diǎn)為f 直線x a與橢圓相交于點(diǎn)m n 當(dāng) fmn的周長最大時(shí) fmn的面積是 a b c d 2 2017課標(biāo)全國 5 5分 已知f是雙曲線c x2 1的右焦點(diǎn) p是c上一點(diǎn) 且pf與x軸垂直 點(diǎn)a的坐標(biāo)是 1 3 則 apf的面積為 a b c d 解析 1 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為e 由橢圓的定義知 fmn的周長為l mn mf nf mn 2 me 2 ne 因?yàn)?me ne mn 所以 mn me ne 0 當(dāng)直線mn過點(diǎn)e時(shí)取等號(hào) 所以l 4 mn me ne 4 即直線x a過橢圓的右焦點(diǎn)e時(shí) fmn的周長最大 此時(shí)s fmn mn ef 2 故選c 2 易知f 2 0 不妨取p點(diǎn)在x軸上方 如圖 3 已知f是拋物線c y2 8x的焦點(diǎn) m是c上一點(diǎn) fm的延長線交y軸于點(diǎn)n 若m為fn的中點(diǎn) 則 fn 答案 1 c 2 d 3 6 pf x軸 p 2 3 pf 3 又a 1 3 ap 1 ap pf s apf 3 1 故選d 3 如圖 過m n分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線 垂足分別為m1 n1 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為f1 則 nn1 of1 2 ff1 4 因?yàn)閙為fn的中點(diǎn) 所以 mm1 3 由拋物線的定義知 fm mm1 3 從而 fn 2 fm 6 方法歸納求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是 先定型 后計(jì)算 1 定型 就是指定類型 也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置 從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程 2 計(jì)算 即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2 b2或p 另外 當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時(shí) 拋物線常設(shè)為y2 2ax或x2 2ay a 0 橢圓常設(shè)為mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 雙曲線常設(shè)為mx2 ny2 1 mn 0 跟蹤集訓(xùn)1 2017遼寧沈陽質(zhì)量檢測(cè) 二 已知雙曲線c 1 a 0 b 0 的左 右焦點(diǎn)分別為f1 f2 點(diǎn)m與雙曲線c的焦點(diǎn)不重合 點(diǎn)m關(guān)于f1 f2的對(duì)稱點(diǎn)分別為a b 線段mn的中點(diǎn)在雙曲線的右支上 若 an bn 12 則a a 3b 4c 5d 6 答案a如圖 設(shè)mn的中點(diǎn)為p f1為ma的中點(diǎn) f2為mb的中點(diǎn) an 2 pf1 bn 2 pf2 又 an bn 12 pf1 pf2 6 2a a 3 故選a 2 2017課標(biāo)全國 12 5分 過拋物線c y2 4x的焦點(diǎn)f 且斜率為的直線交c于點(diǎn)m m在x軸的上方 l為c的準(zhǔn)線 點(diǎn)n在l上且mn l 則m到直線nf的距離為 a b 2c 2d 3 答案c因?yàn)橹本€mf的斜率為 所以直線mf的傾斜角為60 則 fmn 60 由拋物線的定義得 mf mn 所以 mnf為等邊三角形 過f作fh mn 垂足為h 易知f 1 0 l的方程為x 1 所以 of 1 nh 2 所以 mf 2 即 mf 4 所以m到直線nf的距離d fh mf sin60 4 2 故選c 考點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì) 高頻考點(diǎn) 命題點(diǎn) 1 求橢圓 雙曲線的離心率或離心率的范圍 2 由圓錐曲線的性質(zhì)求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 3 求雙曲線的漸近線方程 1 橢圓 雙曲線中 a b c之間的關(guān)系 1 在橢圓中 a2 b2 c2 離心率為e 2 在雙曲線中 c2 a2 b2 離心率為e 2 雙曲線 1 a 0 b 0 的漸近線方程為y x 典型例題 1 2017課標(biāo)全國 12 5分 設(shè)a b是橢圓c 1長軸的兩個(gè)端點(diǎn) 若c上存在點(diǎn)m滿足 amb 120 則m的取值范圍是 a 0 1 9 b 0 9 c 0 1 4 d 0 4 2 2017四川成都第二次診斷性檢測(cè) 設(shè)雙曲線c 1 a 0 b 0 的左 右焦點(diǎn)分別為f1 f2 以f1f2為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為p 若以of1 o為坐標(biāo)原點(diǎn) 為直徑的圓與pf2相切 則雙曲線c的離心率為 a b c d 答案 1 a 2 d 解析 1 當(dāng)03時(shí) 橢圓c的長軸在y軸上 如圖 2 a 0 b 0 m 0 圖 2 當(dāng)點(diǎn)m運(yùn)動(dòng)到短軸的端點(diǎn)時(shí) amb取最大值 此時(shí) amb 120 則 oa 3 即 3 即m 9 綜上 m 0 1 9 故選a 2 如圖 在圓o中 f1f2為直徑 p是圓o上一點(diǎn) 所以pf1 pf2 設(shè)以of1為 直徑的圓的圓心為m 且圓m與直線pf2相切于點(diǎn)q 則m mq pf2 所以pf1 mq 所以 即 可得 pf1 所以 pf2 2a 又 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 所以 4c2 即7e2 6e 9 0 解得e 或e 舍去 故選d 圓錐曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用 1 分析圓錐曲線中a b c e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵 2 確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍 其關(guān)鍵就是建立一個(gè)關(guān)于a b c的方程 組 或不等式 組 再根據(jù)a b c的關(guān)系消掉b得到a c的關(guān)系式 建立關(guān)于a b c的方程 組 或不等式 組 要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì) 方法歸納 跟蹤集訓(xùn)1 2016課標(biāo)全國 5 5分 直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn) 若橢圓中心到l的距離為其短軸長的 則該橢圓的離心率為 a b c d 答案b如圖 ob 為橢圓中心到l的距離 則 oa of af ob 即bc a 所以e 故選b 2 2017湖南長沙模擬 a是拋物線y2 2px p 0 上一點(diǎn) f是拋物線的焦點(diǎn) o為坐標(biāo)原點(diǎn) 當(dāng) af 4時(shí) ofa 120 則拋物線的準(zhǔn)線方程是 a x 1b y 1c x 2d y 2 答案a過a向準(zhǔn)線作垂線 設(shè)垂足為b 準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為d 連接bf 因?yàn)?ofa 120 所以 abf為等邊三角形 dbf 30 從而p df 2 因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x 1 選a 3 2017湖南五市十校聯(lián)考 已知f1 f2分別是雙曲線e 1 a 0 b 0 的左 右焦點(diǎn) 過點(diǎn)f1且與x軸垂直的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)m n 已知 mf2n是等腰直角三角形 則雙曲線的離心率是 a b 2c 1 d 2 答案c由已知得 2c 則c2 2ac a2 0 所以e2 2e 1 0 解得e 1 又e 1 所以e 1 故選c 考點(diǎn)三直線與圓錐曲線1 判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或求交點(diǎn)問題的兩種常用方法 1 代數(shù)法 即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個(gè)關(guān)于x y的方程組 消去y 或x 得一元方程 此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù) 方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo) 2 幾何法 即畫出直線與圓錐曲線 根據(jù)圖形判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 弦長公式斜率為k的直線l與圓錐曲線c的兩交點(diǎn)為p x1 y1 q x2 y2 則 pq x1 x2 或 pq y1 y2 k 0 3 弦的中點(diǎn)圓錐曲線c f x y 0的弦為pq 若p x1 y1 q x2 y2 中點(diǎn)m x0 y0 則x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 典型例題 2016課標(biāo)全國 20 12分 在直角坐標(biāo)系xoy中 直線l y t t 0 交y軸于點(diǎn)m 交拋物線c y2 2px p 0 于點(diǎn)p m關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn)為n 連接on并延長交c于點(diǎn)h 1 求 2 除h以外 直線mh與c是否有其他公共點(diǎn) 說明理由 解析 1 由已知得m 0 t p 又n為m關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn) 故n on的方程為y x 代入y2 2px整理得px2 2t2x 0 解得x1 0 x2 因此h 所以n為oh的中點(diǎn) 即 2 2 直線mh與c除h以外沒有其他公共點(diǎn) 理由如下 直線mh的方程為y t x 即x y t 代入y2 2px得y2 4ty 4t2 0 解得y1 y2 2t 即直線mh與c只有一個(gè)公共點(diǎn) 所以除h以外直線mh與c沒有其他公共點(diǎn) 解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟 1 設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo) 2 聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組 消元得方程 注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零 3 應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式 4 結(jié)合已知條件 中點(diǎn)坐標(biāo)公式 斜率公式及弦長公式求解 方法歸納 跟蹤集訓(xùn)1 過點(diǎn)m 1 1 作斜率為 的直線與橢圓c 1 a b 0 相交于a b兩點(diǎn) 若m是線段ab的中點(diǎn) 則橢圓c的離心率等于 a b c d 答案b設(shè)a x1 y1 b x2 y2 則 1 1 兩式相減并整理得 把已知條件代入上式得 故橢圓的離心率e 2 2017課標(biāo)全國 20 12分 設(shè)a b為曲線c y 上兩點(diǎn) a與b的橫坐標(biāo)之和為4 1 求直線ab的斜率 2 設(shè)m為曲線c上一點(diǎn) c在m處的切線與直線ab平行 且am bm 求直線ab的方程 解析 1 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 則x1 x2 y1 y2 x1 x2 4 于是直線ab的斜率k 1 2 由y 得y 設(shè)m x3 y3 由題設(shè)知 1 解得x3 2 于是m 2 1 設(shè)直線ab的方程為y x m 故線段ab的中點(diǎn)為n 2 2 m mn m 1 將y x m代入y 得x2 4x 4m 0 當(dāng) 16 m 1 0 即m 1時(shí) x1 2 2 2 從而 ab x1 x2 4 由題設(shè)知 ab 2 mn 即4 2 m 1 解得m 7 所以直線ab的方程為y x 7 1 2017江西南昌第二次模擬 若雙曲線 1 a 0 b 0 的一條漸近線的傾斜角為30 則其離心率為 a 2b 2c d 隨堂檢測(cè) 答案c依題意可得雙曲線的漸近線方程為y x tan30 故 離心率e 選c 2 已知橢圓c 1 a b 0 的左 右焦點(diǎn)分別為f1 f2 離心率為 過f2的直線l交c于a b兩點(diǎn) 若 af1b的周長為4 則c的方程為 a 1b y2 1c 1d 1 答案a由e 得 由 af1b的周長為4 及橢圓定義 得4a 4 得a 代入 得c 1 所以b2 a2 c2 2 故c的方程為 1 3 已知雙曲線 x2 1的兩條漸近線分別與拋物線y2 2px p 0 的準(zhǔn)線交于a b兩點(diǎn) o為坐標(biāo)原點(diǎn) 若 oab的面積為1 則p的值為 4 2017山西太原模擬 已知拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為f 過焦點(diǎn)f的直線交該拋物線