循環小數計算 PIV4 0 云講義打造高效課堂 小學數學專屬講義 教師版 第 1 頁 共 8 頁 記軌跡 查報告盡在云端 循環小數的計算循環小數的計算 教學目標教學目標 循環小數與分數的互化 循環小數之間簡單的加 減運算 涉及循環小數與分數的主要利用運算定 律進行簡算的問題 知識點撥知識點撥 1 的 秘密 1 7 1 0 142857 7 2 0 285714 7 3 0 428571 7 6 0 857142 7 2 推導以下算式 1 0 1 9 124 0 12 9933 12341 0 123 999333 1234 0 1234 9999 12111 0 12 9090 123 1237 0 123 900300 12341231111 0 1234 90009000 3 123412611 0 1234 99004950 12341137 0 1234 99901110 以為例 推導 0 1234 123412611 0 1234 99004950 設 將等式兩邊都乘以 100 得 0 1234A 10012 34A 再將原等式兩邊都乘以 10000 得 100001234 34A 兩式相減得 所以 10000100123412AA 123412611 99004950 A 3 循環小數化分數結論 純循環小數純循環小數混循環小數混循環小數 分子分子循環節中的數字所組成的數 循環小數去掉小數點后的數字所組成的數與 不循環部分數字所組成的數的差 分母分母 n 個 9 其中 n 等于循環節 所含的數字個數 按循環位數添 9 不循環位數添 0 組成分 母 其中 9 在 0 的左側 0 9 a a 0 99 ab ab 1 0 0 9910990 abab ab 0 990 abca abc 循環小數計算 PIV4 0 云講義打造高效課堂 小學數學專屬講義 教師版 第 2 頁 共 8 頁 記軌跡 查報告盡在云端 例題精講例題精講 模塊一 循環小數的認識 例例 1 1 在小數在小數上加兩個循環點 能得到的最小的循環小數是上加兩個循環點 能得到的最小的循環小數是 注 公元注 公元 2007 年年l 80524102007 10 月月 24 日北京時間日北京時間 18 時時 05 分 我國第一顆月球探測衛星分 我國第一顆月球探測衛星 嫦娥一號嫦娥一號 由由 長征三號甲長征三號甲 運載火運載火 箭在西昌衛星發射中心升空 編寫此題是為了紀念這個值得中國人民驕傲的時刻 箭在西昌衛星發射中心升空 編寫此題是為了紀念這個值得中國人民驕傲的時刻 考點 循環小數的認識 難度 2 星 題型 填空 關鍵詞 第六屆 希望杯 1 試 解析 因為要得到最小的循環小數 首先找出小數部分最小的數為 0 再看 0 后面一位上的數字 有 05 02 00 07 00 最小 所以得到的最小循環小數為l 80524102007 答案 l 80524102007 鞏固 給下列不等式中的循環小數添加循環點 給下列不等式中的循環小數添加循環點 0 19980 19980 19980 1998 考點 循環小數的認識 難度 3 星 題型 計算 解析 根據循環小數的性質考慮 最小的循環小數應該是在小數點后第五位出現最小數字 1 的小數 因此一定是 次小的小數在小數點后第五位出現次小數字 8 因此一定是 其后0 1998 0 1998 添加的循環點必定使得小數點后第五位出現 9 因此需要考慮第六位上的數字 所以最大的小數 其循環節中在 9 后一定還是 9 所以最大的循環小數是 而次大數為 于是得到0 1998 0 1998 不等式 0 19980 19980 19980 1998 答案 0 19980 19980 19980 1998 例例 2 2 真分數真分數化為小數后 如果從小數點后第一位的數字開始連續若干個數字之和是化為小數后 如果從小數點后第一位的數字開始連續若干個數字之和是 1992 那么 那么 7 a 是多少是多少 a 考點 循環小數的認識 難度 3 星 題型 計算 解析 1 0 142857 7 2 7 0 285714 3 7 0 428571 4 7 0 571428 5 7 0 714285 因此 真分數化為小數后 從小數點第一位開始每連續六個數字之和都是 6 7 0 857142 7 a 1 4 2 8 5 7 27 又因為 1992 27 73 21 27 21 6 而 6 2 4 所以 0 857142 7 a 即 6a 答案 6a 鞏固 真分數真分數化成循環小數之后 從小數點后第化成循環小數之后 從小數點后第 1 位起若干位數字之和是位起若干位數字之和是 則 則是多少 是多少 7 a 9039a 考點 循環小數的認識 難度 3 星 題型 計算 解析 我們知道形如的真分數轉化成循環小數后 循環節都是由 1 2 4 5 7 8 這 6 個數字組 7 a 成 只是各個數字的位置不同而已 那么就應該由若干個完整的和一個9039142857 不完整組成 而 所以最142857 903912457833421 21276 后一個循環節中所缺的數字之和為 6 經檢驗只有最后兩位為 4 2 時才符合要求 顯然 這種 情況下完整的循環節為 因此這個分數應該為 所以 857142 6 7 6a 答案 6a 循環小數計算 PIV4 0 云講義打造高效課堂 小學數學專屬講義 教師版 第 3 頁 共 8 頁 記軌跡 查報告盡在云端 鞏固 真分數真分數化成循環小數之后 小數點后第化成循環小數之后 小數點后第 2009 位數字為位數字為 7 則 則是多少 是多少 7 a a 考點 循環小數的認識 難度 3 星 題型 計算 解析 我們知道形如的真分數轉化成循環小數后 循環節都是由 6 位數字組成 7 a 因此只需判斷當為幾時滿足循環節第 5 位數是 7 經逐一檢驗得 200963345 a3a 答案 3a 鞏固 2009 年學而思杯年學而思杯 4 年級第年級第 6 題 題 所得的小數 小數點后的第所得的小數 小數點后的第位數字是位數字是 67 2009 考點 循環小數的認識 難度 3 星 題型 計算 解析 個數一循環 3 是 6 0 857142857142 7 620096336 7 答案 7 例例 3 3 寫出下面等式右邊空白處的數 使等式能夠成立 寫出下面等式右邊空白處的數 使等式能夠成立 0 6 0 06 0 006 2002 考點 循環小數的認識 難度 3 星 題型 計算 關鍵詞 2003 年 第 1 屆小希望杯 4 年級 解析 0 6 0 06 0 006 2002 30030 6 62 93 答案 3003 例例 4 4 下面有四個算式 下面有四個算式 0 6 0 1330 733 0 625 5 8 5 14 3 2 35 142 8 16 1 2 3 4 14 3 7 1 5 2 5 其中正確的算式是 其中正確的算式是 A 和和 B 和和 C 和和 D 和和 考點 循環小數的認識 難度 3 星 題型 選擇 關鍵詞 2009 年 第十四屆 華杯賽 初賽 解析 對題中的四個算式依次進行檢驗 0 6 0 133 0 6 0 133133 0 733133 所以 不正確 0 625 是正確的 5 8 兩個分數相加應該先進行通分 而非分子 分母分別相加 本算式通過 即可判斷出其不正確 3 2 1 2 所以 不正確 3 3 7 1 4 5 24 7 21 5 72 5 2 14 5 那么其中正確的算式是 和 正確答案為 B 答案 B 例例 5 5 在混合循環小數在混合循環小數的某一位上再添上一個表示循環的圓點 使新產生的循環小數盡可能的某一位上再添上一個表示循環的圓點 使新產生的循環小數盡可能2 718281 大 請寫出新的循環小數 大 請寫出新的循環小數 考點 循環小數的認識 難度 3 星 題型 計算 關鍵詞 第一屆 華杯賽 初賽 循環小數計算 PIV4 0 云講義打造高效課堂 小學數學專屬講義 教師版 第 4 頁 共 8 頁 記軌跡 查報告盡在云端 解析 小數點后第 7 位應盡可能大 因此應將圈點點在 8 上 新的循環小數是 2 718281 答案 2 718281 例例 6 6 將將化成小數等于化成小數等于 0 5 是個有限小數 將 是個有限小數 將化成小數等于化成小數等于 0 090 簡記為 簡記為 是純循環 是純循環 1 2 1 11 0 09 小數 將小數 將化成小數等于化成小數等于 0 1666 簡記為 簡記為 是混循環小數 現在將 是混循環小數 現在將 2004 個分數個分數 1 6 0 16 1 2 化成小數 問 其中純循環小數有多少個 化成小數 問 其中純循環小數有多少個 1 3 1 4 1 2005 考點 循環小數的認識 難度 3 星 題型 計算 關鍵詞 2005 年 第 10 屆 華杯賽 總決賽 二試 解析 凡是分母的質因素僅含 2 和 5 的 化成小數后為有限小數 凡是分母的質因素不含 2 和 5 的 化成小數后為有限小數后為純循環小數 所以本題實際上是問從 2 到 2005 的 2004 個數中 不 含質因數 2 或 5 的共有多少個 這 2004 個數中 含質因數 2 的有 2004 2 1002 個 含質因數 5 的有 2005 5 401 個 既含 2 又含 5 的有 2000 10 200 個 所以可以化成純循環小數的有 2004 1002 401 200 801 個 答案 801 模塊二 循環小數計算 例例 7 7 計算 計算 結果寫成分數形式 結果寫成分數形式 0 30 030 003 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 關鍵詞 2009 年 希望杯 第七屆 五年級 一試 解析 原式 11189 330300300 答案 89 300 鞏固 計算 計算 0 3 0 結果寫成分數結果寫成分數 3 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 關鍵詞 2005 年 希望杯 第三屆 五年級 一試 解析 原式 3119 10330 答案 19 30 鞏固 請將算式請將算式的結果寫成最簡分數 的結果寫成最簡分數 0 10 010 001 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 關鍵詞 第三屆 華杯賽 初賽 解析 原式 11110010111137 990900900900300 答案 37 300 例例 8 8 計算計算 結果用最簡分數表示 結果用最簡分數表示 2 0042 008 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 關鍵詞 2004 年 第 9 屆 華杯賽 總決賽 一試 循環小數計算 PIV4 0 云講義打造高效課堂 小學數學專屬講義 教師版 第 5 頁 共 8 頁 記軌跡 查報告盡在云端 解析 原式 481804200636188249047065606 224 900999900999899100224775224775 答案 5606 4 224775 例例 9 9 將將的積寫成小數形式是的積寫成小數形式是 425 5 425 0 6350 63 999 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 關鍵詞 2007 年 第十二屆 華杯賽 初賽 解析 5 9994250 6342534146 5 425 0 6350 633 4180 9999999990 答案 3 4180 例例 10 10 計算 計算 0 010 120 230 340 780 89 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 解析 方法一 0 010 120 230 340 780 89 1121232343787898 909090909090 11121317181 909090909090 216 2 4 90 方法二 0 010 120 230 340 780 89 0 0 1 0 2 0 3 0 7 0 8 0 010 020 030 040 080 09 2 1 0 01 1 2 3 4 8 9 1 2 127 90 2 10 32 4 答案 2 4 鞏固 計算計算 1 2 0 2910 1920 3750 526 0 3300 186 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 解析 1 原式 29119213755265 999990999990 291375521 191 999990 666330 1 999990 2 原式 3301861 999990 330 185 999990 5 81 答案 1 2 1 5 81 例例 11 11 0 540 36 19 1 2 1 24 27 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 解析 法一 原式 54536494899 90999011990 法二 將算式變為豎式 可判斷出結果應該是 化為分數即是 0 908 9089899 990990 0 544444 0 363636 0 908080 循環小數計算 PIV4 0 云講義打造高效課堂 小學數學專屬講義 教師版 第 6 頁 共 8 頁 記軌跡 查報告盡在云端 原式 22419111231920 11 99927999279 答案 899 990 20 9 鞏固 計算 計算 0 160 1428570 1250 1 19 1 2 1 24 27 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 關鍵詞 2007 年 香港圣公會 2006 年 第四屆 希望杯 六年級 1 試 解析 原式 16114285711 1001099999989 1111275 6789504 原式 22419111231920 11 99927999279 答案 275 504 20 9 鞏固 結果表示成循環小數結果表示成循環小數 11 0 15 0 2180 3 111 2 2340 9811 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 解析 原式 1512182311 909909111 37111112345679 0 012345679 99311181999999999 所以 2342232 2 23422 990990 98 0 98 99 2329824222 2 2340 98211 9909999090 2212 2 2340 98111110 090 020 113 901190 答案 0 012345679 0 113 例例 12 12 0 30 030 0032009 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 關鍵詞 年 中環杯 五年級 決賽2008 解析 所以括號中填 1 0 30 030 0030 3 3 200936027 答案 6027 例例 13 13 計算計算 結果表示為循環小數結果表示為循環小數 2009200911 99900999909901 考點 循環小數計算 難度 4 星 題型 計算 解析 由于 1 0 00001 99900 1 0 00001 99990 所以 11 0 000010 000010 00000000900991 9990099990 而 9009917 13 990191 9901 所以 200920091111 0 00000000900991 2009 999009999099019901 0 00000000000091 11 20090 00000000001001 20090 00000002011009 答案 0 00000002011009 例例 14 14 某學生將某學生將乘以一個數乘以一個數時 把時 把誤看成誤看成 1 23 使乘積比正確結果減少 使乘積比正確結果減少 0 3 則正確結果該則正確結果該1 23 a1 23 循環小數計算 PIV4 0 云講義打造高效課堂 小學數學專屬講義 教師版 第 7 頁 共 8 頁 記軌跡 查報告盡在云端 是多少是多少 考點 循環小數計算 難度 3 星 題型 計算 解析 由題意得 即 所以有 解得 1 231 230 3aa 0 0030 3a 33 90010 a 90a 所以 111 1 231 23 9090111 90 a 答案 111 例例 15 15 計算 計算 結果保留三位小數 結果保留三位小數 0 1 0 125 0 3 0 16 考點 循環小數計算 難度 2 星 題型 計算 解析 方法一 0 1 0 125 0 3 0 160 1111 0 1250 0 3333 0 1666 0 7359 0 736 方法二 0 1 0 125 0 3 0 16 11315 98990 111 188 53 0 7361 72 答案 0 736 例例 16 16 將循環小數將循環小數與與相乘 取近似值 要求保留一百位小數 那么該近似值的最后一相乘 取近似值 要求保留一百位小數 那么該近似值的最后一0 027 0 179672 位小數是多少位小數是多少 考點 循環小數計算 難度 3 星 題型 計算 解析 0 027 0 179672 2717967211796724856 0 004856 99999999937999999999999 循環節有 6 位 100 6 16 4 因此第 100 位小數是循環節中的第 4 位 8 第 10l 位是 5 這樣 四舍五入后第 100 位為 9 答案 9 例例 17 17 有有 8 個數 個數 是其中是其中 6 個 如果按從小到大的順序排列時 第個