4.8解三角形應用舉例考綱展示能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.考點1距離的測量 測量距離的基本類型及方案類型A，B兩點間不可通或不可視A，B兩點間可視，但有一點不可達A，B兩點都不可達圖形方法先測角C，ACb，BCa，再用余弦定理求AB以點A不可達為例，先測角B，C，BCa，再用正弦定理求AB測得CDa，BCD，BDC，ACD，ADC，ACB，在ACD中用正弦定理求AC；在BCD中用正弦定理求BC；在ABC中用余弦定理求AB續表類型A，B兩點間不可通或不可視A，B兩點間可視，但有一點不可達A，B兩點都不可達結論ABABAC；BC；AB(1)教材習題改編海上有A，B，C三個小島，A，B相距5海里，從A島望C和B成45視角，從B島望C和A成75視角，則B，C兩島間的距離是_海里答案：5解析：易知ACB60，由，得，得BC5.(2)教材習題改編已知A，B兩地間的距離為10 m，B，C兩地間的距離為20 m，現測得ABC120，則A，C兩地間的距離是_答案：10 m解析：AC2AB2BC22ABBCcos ABC10220221020cos 120700，所以AC10(m)考情聚焦研究測量距離問題是高考中的常考內容，題型既有客觀題，也有解答題，難度一般適中，屬中檔題解題時要選取合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正余弦定理求解主要有以下幾個命題角度：角度一兩點可視但有一點不可到達典題1某同學騎電動車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點A處測得電視塔S在電動車的北偏東30方向上，15 min后到點B處，測得電視塔S在電動車的北偏東75方向上，則點B與電視塔的距離是_km.答案3解析由題意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知，BS3.角度二兩點不可到達的距離典題22017遼寧沈陽一模如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點和D點仰角分別為75，30，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60，AC0.1 km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離(計算結果精確到0.01 km，1.414，2.449)解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1，又BCD180606060，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.在ABC中，即AB，又sin 15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45，所以AB，因此，BD0.33(km)故B，D的距離約為0.33 km.角度三兩點不相通的距離典題3如圖所示，要測量一水塘兩側A，B兩點間的距離，其方法先選定適當的位置C，用經緯儀測出角，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離即AB.若測得CA400 m，CB600 m，ACB60，試計算AB的長為_答案200 m解析在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m，即A，B兩點間的距離為200 m.點石成金求距離問題的注意事項(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理(3)解法：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正余弦定理求解考點2測量高度問題 測量高度的基本類型及方案類型點B與點C，D共線點B與點C，D不共線圖形方法先測得CDa，ACB和ADB，再用正弦定理求出AC或AD，最后解直角三角形求出AB先測得BCD，BDC，CDa，在BCD中先用正弦定理求出BC，在ABC中ACB可測，CAB90BCDACB，再用正弦定理求AB結論ABAB1.實際問題中角的概念理解錯誤為測量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的建筑物的頂部測得塔頂A的仰角為30，測得塔基B的俯角為45，那么塔AB的高度是_答案：20m解析：由題意畫出示意圖，如圖所示，易知AD m，BDCD20 m，故AB2020(m)2實際問題中把求解目標納入三角形某路邊一棵樹的樹干被臺風吹斷后，折斷部分與地面成45角，樹干傾斜并與地面成75角，樹干底部與樹尖著地處相距20 m，則折斷點與樹干底部的距離是_m.答案：解析：由題意畫出示意圖，如圖所示，設樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A，則ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理，知，AO(m)典題4某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂的最大仰角為30，求塔高解如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進，CD40，此時DBF45，過點B作BECD于E，則AEB30，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，所以BD20(m)因為BDE1801353015，所以在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(m)在RtABE中，AEB30，所以ABBEtan 30(3)(m)故所求的塔高為(3)m.點石成金求解高度問題的三個關注點(1)在處理有關高度問題時，理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關鍵(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題.要測量電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為_m.答案：40解析：設電視塔AB高為x m，則在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，由ADB30，得BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以電視塔高為40 m.考點3測量角度問題 1.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線_的角叫仰角，在水平線_的角叫俯角(如圖)答案：上方下方2方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)3方向角相對于某一正方向的水平角(1)北偏東，即由指北方向順時針旋轉到達目標方向(如圖)；(2)北偏西，即由指北方向逆時針旋轉到達目標方向；(3)南偏西等其他方向角類似4坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(如圖，角為坡角)；(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比 典題52017浙江適應性考試如圖所示，為了解某海域海底構造，在海平面內一條直線上的A，B，C三點進行測量，已知AB50 m，BC120 m，于A處測得水深AD80 m，于B處測得水深BE200 m，于C處測得水深CF110 m，求DEF的余弦值解作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.點石成金測量角度問題的基本思路測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解提醒方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.在一次海上聯合作戰演習中，紅方一艘偵察艇發現在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進，若紅方偵察艇以每小時14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍方的小艇若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角的正弦值解：如圖，設紅方偵察艇經過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.根據余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根據正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角的正弦值為. 真題演練集訓 12014浙江卷如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角的大小(仰角為直線AP與平面ABC所成角)若AB15 m，AC25 m，BCM30，則tan 的最大值是()A. B. C. D.答案：D解析：如圖，過點P作POBC于點O，連接AO，則PAO.設COx m，則OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m所以cos BCA.所以AO(m)所以tan .當，即x時，tan 取得最大值為.22015湖北卷如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m. 答案：100解析：由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)32014新課標全國卷如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點從A點測得M點的仰角MAN60，C點的仰角CAB45以及MAC75；從C點測得MCA60，已知山高BC100 m，則山高MN_m.答案：150解析：在三角形ABC中，AC100，在三角形MAC中，解得MA100，在三角形MNA中，sin 60，故MN150，即山高MN為150 m.42014四川卷如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_ m(用四舍五入法將結果精確到個位參考數據：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)答案：60解析：根據圖中給出的數據構造適當的三角形求解根據已知的圖形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，所以BC20.6060 (m) 課外拓展閱讀 有關解三角形的應用題的解題方法1解決關于解三角形的應用問題的步驟2解三角形的應用題的兩種情形及解題方法 (1)實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形，這時需作出(或找出)這些三角形，先解能直接解的三角形，然后逐步求出其他三角形的解，有時需設出未知量，利用幾個三角形中邊角所滿足的關系列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解3解決關于解三角形的應用問題應注意的事項 (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名詞，并能準確地找出這些角； (2)要注意將平面幾何中的性質、定理與正弦、余弦定理結合起來使用，這樣可以優化解題過程； (3)注意題目中的隱含條件以及解的實際意義典例如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運行的速度為130 m/min，山路AC長為1260 m，經測量，cos A，cos C.(1)求索道AB的長；(2)問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？解(1)在ABC中，因為cos A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的長為1 040 m.(2)設乙出發t分鐘后，甲、乙