1 對(duì)于函數(shù)f x 如果對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x 都有f x 那么f x 就叫做奇函數(shù) 如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x 都有f x 那么f x 就叫做偶函數(shù) 函數(shù)f x 可以是奇函數(shù)也可以是偶函數(shù) 也可以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 還可以兩者都不是 但是必須注意的是 研究函數(shù)的奇偶性必須首先明確函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 f x f x f x 2 奇函數(shù)的圖象是關(guān)于成對(duì)稱圖形 偶函數(shù)的圖象是關(guān)于成對(duì)稱圖形 反之也成立 在定義域的公共部分內(nèi) 兩個(gè)奇函數(shù)之積 商 為函數(shù) 兩個(gè)偶函數(shù)之積 商 是函數(shù) 一奇一偶兩函數(shù)之積 商 為函數(shù) 注 取商時(shí)應(yīng)使分母不為0 奇 偶 函數(shù)有關(guān)定義的等價(jià)形式 f x f x f x f x 0 其中f x 0 原點(diǎn) 偶 奇 中心 y軸 軸 偶 1 設(shè)f x 是 上的奇函數(shù) f x 2 f x 當(dāng)0 x 1時(shí) f x x 則f 47 5 等于 a 0 5b 0 5c 1 5d 1 5解析 由f x 2 f x 則f x 4 f x 故f x 是以4為周期的函數(shù) 所以f 47 5 f 0 5 又f x 是奇函數(shù)且0 x 1時(shí) f x x 所以f 47 5 f 0 5 0 5 答案 b 2 函數(shù)y ax2 bx c是偶函數(shù)的充要條件是 解析 由偶函數(shù)的定義易求 答案 b 0解析 由奇偶函數(shù)的定義易判斷 答案 1 5 2 3 4 4 已知函數(shù)y f x 在r上是奇函數(shù) 且當(dāng)x 0時(shí) f x x2 2x 則x0 由題意f x x 2 2 x x2 2x 又f x 為奇函數(shù) 故f x f x x2 2x x 0 答案 f x x2 2x 1 奇函數(shù) 偶函數(shù)的代數(shù)特征我們可以靈活變通 即f x f x 0是f x 為奇函數(shù)的充要條件 f x f x 0是f x 為偶函數(shù)的充要條件 若奇函數(shù)的定義域含有數(shù)0 則必有f 0 0 2 定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f x 為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件 3 我們可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性 4 如果f x 是偶函數(shù) 那么f x f x 5 判斷函數(shù)的奇偶性 包括判斷一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù) 或者是偶函數(shù) 或者既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) 或者既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 在解題過程中要注意挖掘函數(shù)的周期性和奇偶性特征 為解決問題提供方便 6 奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù) 為了便于判斷函數(shù)的奇偶性 有時(shí)需要先將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn) 或應(yīng)用定義的等價(jià)形式 關(guān)鍵提示 判斷函數(shù)的奇偶性 需先求出定義域 在此前提下 根據(jù)奇函數(shù) 或偶函數(shù) 的定義進(jìn)行分析 即時(shí)鞏固詳解為教師用書獨(dú)有 ln 1 e2x lne2x x ln 1 e2x x f x 所以f x 是偶函數(shù) 方法2 f x f x ln 1 e2x 1 e 2x ln 1 e2x 2 2x 2ln 1 e2x 2x 2f x 所以f x f x 所以f x 是偶函數(shù) 點(diǎn)評(píng) 1 在函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下 對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù)f x 可以計(jì)算f x f x 的值 若f x f x 0 則f x 是奇函數(shù) 若f x f x 2f x 則f x 是偶函數(shù) 2 求解分段函數(shù)的解析式 需認(rèn)真研究自變量的變化 再結(jié)合奇函數(shù) 或偶函數(shù) 的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化 3 若奇函數(shù)f x 的定義域中包含0 一定有f 0 0 而反之不一定成立 解 1 因?yàn)閤2 1 0且1 x2 0 所以x 1 即f x 的定義域是 1 1 因?yàn)閒 1 0 f 1 0 所以f 1 f 1 f 1 f 1 故f x 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 2 由 x 2 0 得x 2 所以f x 的定義域 x x 2 關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱 故f x 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 案例2 2010 江蘇 設(shè)函數(shù)f x x ex ae x x r 是偶函數(shù) 則實(shí)數(shù)a的值為 關(guān)鍵提示 本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用 突出考查了考生對(duì)函數(shù)奇偶性的理解及代數(shù)推理論證能力 解析 設(shè)g x x h x ex ae x 因?yàn)楹瘮?shù)g x x是奇函數(shù) 則由題意知 函數(shù)h x ex ae x為奇函數(shù) 又函數(shù)f x 的定義域?yàn)閞 所以h 0 0 解得a 1 答案 1 1 求a和b的值 2 若對(duì)任意的t r 不等式f t2 2t f 2t2 k 0恒成立 求k的取值范圍 關(guān)鍵提示 1 由f 0 0可求出b 用特殊值法對(duì)f x f x 進(jìn)行賦值求a 2 利用單調(diào)性和奇偶性脫去 f 的符號(hào) 由上式易知f x 在 上為減函數(shù) 又因?yàn)閒 x 為奇函數(shù) 所以由f t2 2t f 2t2 k 2t2 k 即對(duì)任意的t r 恒有3t2 2t k 0 即時(shí)鞏固3 設(shè)定義在 2