高中數學立體幾何大題專項突破 1.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC/AD，BE/FA，G、H分別為FA、FD的中點(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？2.如圖，在三棱錐PABC中，PAPBAB2，BC3，ABC90，平面PAB平面ABC，D，E分別為AB，AC中點（）求證：DE面PBC；（）求證：ABPE；（）求三棱錐BPEC的體積3. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證：(1)直線EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.4.如圖，P、Q、R分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AA1，BB1，DD1上的三點，試作出過P，Q，R三點的截面圖5.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12.求證：(1)E、F、G、H四點共面；(2)EG與HF的交點在直線AC上6.如圖(1)，在RtABC中，C90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖(2)(1)求證：DE平面A1CB.(2)求證：A1FBE.(3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C平面DEQ？說明理由7.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側面積S.8.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，ACBDE，AD2，AB2，BC6.求證：平面PBD平面PAC.9.在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分別是AB、CD、A1B1、C1D1的中點求證：平面A1EFD1平面BCF1E1.10.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是AB，AA1的中點求證：（1）E，C，D1，F四點共面；（2）CE，D1F，DA三線共點11. 如圖所示，平面平面，點A，C，點B，D，點E、F分別在線段AB、CD上，且AEEBCFFD.求證：EF，EF.12.如圖，平面四邊形ABCD的四個頂點A、B、C、D均在平行四邊形ABCD所確定的平面外且在平面的同一側，AA、BB、CC、DD互相平行求證：四邊形ABCD是平行四邊形13.如圖所示，已知長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點，F為線段BD1的中點，(1)求證：EF平面ABCD；(2)設M為線段C1C的中點，當的比值為多少時，DF平面D1MB？并說明理由14.在四面體ABCD中，ABCD，BCAD2，BDAC5，求四面體ABCD的體積15.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，點E是PD的中點(1)求證：ACPB；(2)求證：PB平面AEC；(3)求二面角EACB的大小16.如圖，已知平面l，點A，點B，點C，且Al，Bl，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面的交線與l有什么關系？證明你的結論17.如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，E，F分別是AB、PD的中點（）求證：AF平面PCE；（）求證：平面PCE平面PCD；（）求二面角FECD的大小18.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱B1C1、B1B的中點求證：CF平面EAB.19.如圖，已知AB平面BCD，BCCD，你能發現哪些平面互相垂直，為什么？20.如圖，A，B，C，D四點都在平面a，b外，它們在a內的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個頂點，在b內的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，求證：ABCD是平行四邊形21.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ平面PAO?22.如圖所示，在正方體A1B1C1D1ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交求證：EFBD123.把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比是1：4，母線長10cm求：圓錐的母線長24.在四棱柱PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABC90，ABPBPCBC2CD2，平面PBC平面ABCD（1）求證：AB平面PBC；（2）求三棱錐CADP的體積；（3）在棱PB上是否存在點M使CM平面PAD？若存在，求的值若不存在，請說明理由 答案解析1.【答案】(1)證明由已知FGGA，FHHD，可得GH/AD.又BC/AD，GH/BC，四邊形BCHG為平行四邊形(2)由BE/AF，G為FA的中點知，BE/FG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BG/CH，EFCH，EF與CH共面又DFH，C、D、F、E四點共面【解析】2.【答案】解：（I）ABC中，D、E分別為AB、AC中點，DEBCDE面PBC且BC面PBC，DE面PBC；（II）連結PDPAPB，D為AB中點，PDABDEBC，BCAB，DEAB，又PD、DE是平面PDE內的相交直線，AB平面PDEPE平面PDE，ABPE；（III）PDAB，平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCABPD平面ABC，可得PD是三棱錐PBEC的高又PD，SBECSABC.三棱錐BPEC的體積VVPBECSBECPD.【解析】3.【答案】證明(1)如圖，連接SB，E、G分別是BC、SC的中點，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直線EG平面BDD1B1.(2)連接SD，F、G分別是DC、SC的中點，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.【解析】4.【答案】作法：（1）連接PQ，并延長之交A1B1的延長線于T；（2）連接PR，并延長之交A1D1的延長線于S；（3）連接ST交C1D1、B1C1分別于M，N，則線段MN為平面PQR與面A1B1C1D1的交線（4）連接RM，QN，則線段RM，QN分別是平面PQR與面DCC1D1，面BCC1B1的交線得到的五邊形PQNMR即為所求的截面圖（如圖）【解析】5.【答案】證明(1)BGGCDHHC，GHBD.E，F分別為AB，AD的中點，EFBD，EFGH，E，F，G，H四點共面(2)G，H不是BC，CD的中點，EFGH，且EFGH，故EFHG為梯形EG與FH必相交，設交點為M，EG平面ABC，FH平面ACD，M平面ABC，且M平面ACD，MAC，即GE與HF的交點在直線AC上【解析】6.【答案】(1)證明因為D，E分別為AC，AB的中點，所以DEBC.又因為DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)證明由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因為A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)解線段A1B上存在點Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQBC.又因為DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點Q，使得A1C平面DEQ.【解析】7.【答案】(1)64(2)4024【解析】由已知可得該幾何體是一個底面為矩形、高為4、頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐VABCD.(1)V(86)464.(2)該四棱錐有兩個側面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為h14，另兩個側面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為h25.因此S240248.【答案】證明PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又tanABD，tanBAC，ABD30，BAC60，AEB90，即BDAC.又PAACA，BD平面PAC.BD平面PBD，平面PBD平面PAC.【解析】9.【答案】證明E、E1分別是AB、A1B1的中點，A1E1BE且A1E1BE.四邊形A1EBE1為平行四邊形A1EBE1.A1E平面BCF1E1，BE1平面BCF1E1.A1E平面BCF1E1.同理A1D1平面BCF1E1，A1EA1D1A1，平面A1EFD1平面BCF1E1.【解析】10.【答案】證明：（1）連接EF，A1B，D1C，E，F分別是AB，AA1的中點，EFA1B，A1BD1C，EFD1C，由兩條平行線確定一個平面，得到E，C，D1，F四點共面（2）分別延長D1F，DA，交于點P，PDA，DA面ABCD，P面ABCDF是AA1的中點，FAD1D，A是DP的中點，連接CP，ABDC，CPAB=E，CE，D1F，DA三線共點于P【解析】11.【答案】證明當AB，CD在同一平面內時，由，平面ABDCAC，平面ABDCBD，ACBD，AEEBCFFD，EFBD，又EF，BD，EF.當AB與CD異面時，設平面ACDl，在l上取一點H，使DHAC.，平面ACDHAC，ACDH，四邊形ACDH是平行四邊形在AH上取一點G，使AGGHCFFD，又AEEBCFFD，GFHD，EGBH，又EGGFG，BHHDH，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.綜上，EF.，EF且EF，EF.【解析】12.【答案】證明AABBCCDD，BB平面AADD，AA平面AADD，BB平面AADD.四邊形ABCD是平行四邊形，BCAD.BC平面AADD，AD平面AADD，BC平面AADD.又BBBCB，BB平面BBCC，BC平面BBCC，平面AADD平面BBCC.平面AADD平面ABCDAD，平面BBCC平面ABCDBC，ADBC.同理ABDC，四邊形ABCD是平行四邊形【解析】13.【答案】(1)證明E為線段AD1的中點，F為線段BD1的中點，EFAB.EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD.(2)當時，DF平面D1MB.ABCD是正方形，ACBD.D1D平面ABC，D1DAC.AC平面BB1D1D，ACDF.F，M分別是BD1，CC1的中點，FMAC.DFFM.D1DAD，D1DBD.矩形D1DBB1為正方形F為BD1的中點，DFBD1.FMBD1F，DF平面D1MB.【解析】14.【答案】8【解析】以四面體的各棱為對角線還原為長方體，如圖設長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則VDABEDESABEV長方體，同理VCABFVDACGVDBCHV長方體，V四面體ABCDV長方體4V長方體V長方體而V長方體23424，V四面體ABCD8.15.【答案】(1)證明由PA平面ABCD可得PAAC.又ABAC，所以AC平面PAB，所以ACPB.(2)證明如圖，連接BD交AC于點O，連接EO，則EO是PDB的中位線，EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC.(3)解如圖，取AD的中點F，連接EF，FO，則EF是PAD的中位線，EFPA.又PA平面ABCD，EF平面ABCD.同理，FO是ADC的中位線，FOAB，FOAC.因此，EOF是二面角EACD的平面角又FOABPAEF，EOF45.而二面角EACB與二面角EACD互補，故所求二面角EACB的大小為135.【解析】16.【答案】平面ABC與的交線與l相交證明如下：AB與l不平行，且AB，l，AB與l一定相交設ABlP，則PAB，Pl.又AB平面ABC，l，P平面ABC，P.點P是平面ABC與的一個公共點，而點C也是平面ABC與的一個公共點，且P，C是不同的兩點，直線PC就是平面ABC與的交線，即平面ABCPC，而PClP，平面ABC與的交線與l相交【解析】17.【答案】解：（）證明：設G為PC的中點，連接FG，EG，F為PD的中點，E為AB的中點，FGCD，AECDFGAE，AFGEGE平面PEC，AF平面PCE；（）證明：PA=AD=2，AFPD又PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，ADCD，PAAD=A，CD平面PAD，AF平面PAD，AFCDPDCD=D，AF平面PCD，GE平面PCD，GE平面PEC，平面PCE平面PCD；（）取AD的中點M，連接FM，EM，MC，因為F是PD的中點；FMPA；FM平面ABCD；ECFM 在三角形EMC中，因為MC=；ME=；EC=；MC2=ME2+EC2；EMEC ；由得EC平面FME，ECFE，即FEM為二面角FECD的平面角，而tanFEM=；FEM=30故二面角FECD為30【解析】18.【答案】證明在平面B1BCC1中，E、F分別是B1C1、B1B的中點，BB1ECBF，B1BEBCF，BCFEBC90，CFBE，又AB平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，ABCF，又ABBEB，CF平面EAB.【解析】19.【答案】面ABC面BCD，面ABD面BCD，面ACD面ABC【解析】面ABC面BCD，面ABD面BCD，面ACD面ABC.由于AB平面BCD，AB面ABC，所以面ABC面BCD；由于AB面ABD，所以面ABD面BCD；由于BCCD，也易知ABCD，又ABBCB，所以CD面ABC，CD面ACD，所以面ACD面ABC.20.【答案】證明：A，B，C，D四點在b內的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，A，B，C，D四點共面又A，B，C，D四點在a內的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個頂點，平面ABB1A1平面CDD1C1AB，CD是平面ABCD與平面ABB1A1，平面CDD1C1的交線ABCD同理ADBC四邊形ABCD是平行四邊形【解析】21.【答案】當Q為CC1的中點時，平面D1BQ平面PAO.理由如下：Q為C