2015年山西省呂梁市孝義市八年級（下）第一次月考數學試卷 一、選擇題（共 10 小題，每小題 3分，滿分 30分） 1 的倒數是（ ） A B C D 2如圖中字母 A 所代表的正方 形的面積為（ ） A 4 B 8 C 16 D 64 3下列根式中屬最簡二次根式的是（ ） A B C D 4下列計算錯誤的是（ ） A B C 3 =3D 5下列二次根式中與 是同類二次根式的是（ ） A B C D 6若 是整數，則正整數 n 的最小值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 7小明想知道學校旗桿的高度，他發現旗桿上的繩子垂到地面還多 1 米，當他把繩子的下端拉開 5 米后，發現下端剛好接觸地面，則旗桿的高是（ ） A 8 米 B 10 米 C 12 米 D 14 米 8已知 a b，則化簡二次根式 的正確結果是（ ） A B C D 9如圖所示：數軸上點 A 所表示的數為 a，則 a 的值是（ ） A +1 B +1 C 1 D 10已知 ，則 的值為（ ） A B 8 C D 6 二、填空題（共 6小題，每小題 3分，滿分 18分） 11如果最簡二次根式 與 是同類二次根式，那么 a= 12如果等式 成立，那么 x 的取值范圍是 13已知 a、 b 為兩個連續的整數，且 ，則 a+b= 14如圖所示，在高為 3m，斜坡長為 5m 的樓梯表面鋪地毯，至少需要地毯 米 15已知，如圖長方形 ， 此長方形折疊，使點 B 與點 痕為 面積為 16觀察下列各式： ； =3； ， 請用含 n（ n1）的式子寫出你猜想的規律： 三、解答題（共 8小題，滿分 72分） 17計算： （ 1） 3 （ 2）（ ）（ ） （ 3）（ ） 2+ （ 4） 18先化簡，再求值：（ a 1+ ） （ ），其中 a= 1 19已知實數 x， y 滿足 10x+ +25=0，則（ x+y） 2015的值是多少？ 20如圖，在 ， D， ， ， ，求 值 21已知 x=2 ， y=2+ ，求下列代數式的值： （ 1） xy+ （ 2） 22已知 a， b 為等腰三角形的兩條邊長，且 a， b 滿足 b= + +4，求此三角形的周長 23如圖，一架 長的梯子 靠在豎直的墻 ，這時梯子底部 B 到墻底端的距離為 ，考慮爬梯子的穩定性，現要將梯子頂部 A 沿墻下移 到 梯子底部 B 將外移多少米？ 24 觀察下列等式： ； ； ； 回答下列問題： （ 1）利用你觀察到的規律，化簡： （ 2）計算： 2015年山西省呂梁市孝義市八年級（下）第一次月考數學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 10 小題，每小題 3分，滿分 30分） 1 的倒數是（ ） A B C D 【考點】 實數的性質 【分析】 由于若兩個數的乘積是 1，我們就稱這兩個數互為 倒數，由此即可求解 【解答】 解： 的倒數是 故選 A 【點評】 本題主要考查了倒數的定義，比較簡單 2如圖中字母 A 所代表的正方形的面積為（ ） A 4 B 8 C 16 D 64 【考點】 勾股定理 【分析】 根據勾股定理的幾何意義解答 【解答】 解：根據勾股定理以及正方形的面積 公式知： 以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積， 所以 A=289 225=64 故選 D 【點評】 能夠運用勾股定理發現并證明結論：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積運用結論可以迅速解題，節省時間 3下列根式中屬最簡二次根式的是（ ） A B C D 【考點】 最簡二次根式 【分析】 根據最簡二次根式的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解 【解答】 解： A、 無法化簡，故本選項正確； B、 = ，故本選項錯誤； C、 =2 故本選項錯誤； D、 = ，故本選項錯誤 故選： A 【點評】 本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（ 1）被開方數不含分母；（ 2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式 4下列計算錯誤的是（ ） A B C 3 =3D 【考點】 二次根式的乘除法；二次根式的加減法 【分析】 分別利用二次根式乘除、加減運算法則化簡求出答案 【解答】 解： A、 =7 ，正確，不合題意； B、 = ，正確，不合題意； C、 3 =2 ，故此選項錯誤符合題意； D、 + =3 +5 =8 ，正確，不合題意 故選： C 【點評】 此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握運算法則是解題關鍵 5下列二次根式中與 是同類二次根式的是（ ） A B C D 【考點】 同類二次根式 【分析】 分別化簡后找到被開方數是 2 的二次根式即可 【解答】 解： A、化簡得： 2 ，故與 不是同類二次根式； B、化簡得： 3 ，故與 是同類二次根式； C、化簡得： ，故與 不是同類二次根式； D、化簡得： ，故與 不是同類二次根式； 故選 B 【點評】 此題主要考查了同類二次根式的定義，即化成最簡二 次根式后，被開方數相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式 6若 是整數，則正整數 n 的最小值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點】 二次根式的定義 【分析】 先把 75 分解，然后根據二次根式的性質解答 【解答】 解： 75=253， 是整數的正整數 n 的最小值是 3 故選： B 【點評】 本題考查了二次根式的定義，把 75 分解成平方數與另一 個因數相乘的形式是解題的關鍵 7小明想知道學校旗桿的高度，他發現旗桿上的繩子垂到地面還多 1 米，當他把繩子的下端拉開 5 米后，發現下端剛好接觸地面，則旗桿的高是（ ） A 8 米 B 10 米 C 12 米 D 14 米 【考點】 勾股定理的應用 【專題】 計算題 【分析】 根據題意設旗桿的高 x 米，則繩子 長為（ x+1）米，再利用勾股定理即可求得 長，即旗桿的高 【解答】 解：畫出示意圖如下所示： 設旗桿的高 繩子 長為（ x+1） m， 在 ， 2=（ x+1） 2， 解得： x=12， 2m， 即旗桿的高是 12m 故選 C 【點評】 此題考查了勾股定理在實際問題中的應用，能夠正確理解題意繼而構造直角三角形是解決本題的關鍵，難度一般 8已知 a b，則化簡二次根式 的正確結果是（ ） A B C D 【考點】 二次根式的性質與化簡 【專題】 計算題 【分析】 由于二次根式的被開方數是非負數，那么 ，通過觀察可知 須異號，而a b，易確定 取值范圍，也就易求二次根式的值 【解答】 解： 有意義， ， ， 又 a b， a 0， b0， = a 故選 A 【點評】 本題考查了二次根式的化簡與性質二次根式的被開方數必須是非負數，從而必須保證開方出來的數也需要是非負數 9如圖所示：數軸上點 A 所表示的數為 a，則 a 的值是（ ） A +1 B +1 C 1 D 【考點】 勾股定理；實數與數軸 【分析】 先根據勾股定理求出三角形的斜邊長，再根據兩點間的距離公式即可求出 A 點的坐標 【解答】 解：圖中的直角三角形的兩直角邊為 1 和 2， 斜邊長為： = ， 1 到 A 的距離是 ，那么點 A 所表示的數為： 1 故選 C 【點評】 本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，解答此題時要注意，確定點 A 的符號后，點 A 所表示的數是距離原點的距離 10已知 ，則 的值為（ ） A B 8 C D 6 【考點】 完全平方公式 【分析】 首先求出（ a+ ） 2=+2=10，進而得出（ a ） 2=6，即可得出答案 【解答】 解： ， （ a+ ） 2=+2=10， =8， 2=（ a ） 2=6， = 故選： C 【點評】 此題主要考查了完全平方公式的應用，根據已知得出 的值是解題關鍵二、填空題（共 6小題，每小題 3分，滿分 18分） 11如果最簡二次根式 與 是同類二次根式，那么 a= 1 【考點】 同類二次根式 【分析】 根據同類二次根式的定義建立關于 a 的方程，求出 a 的值 【 解答】 解： 最簡二次根式 與 是同類二次根式， 1+a=4a 2， 解得 a=1 故答案為 1 【點評】 本題考查了同類二次根式，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式稱為同類二次根式 12如果等式 成立，那么 x 的取值范圍是 x 2 【考點】 二次根式的乘除法 【分析】 直 接利用二次根式的性質得出關于 x 的不等式組，進而求出出答案 【解答】 解： 等式 成立， ， 解得： x 2 故答案為： x 2 【點評】 此題主要考查了二次根式的性質，正確解不等式組是解題關鍵 13已知 a、 b 為兩個連續的整數，且 ，則 a+b= 11 【考點】 估算無理數的大小 【分 析】 根據無理數的性質，得出接近無理數的整數，即可得出 a， b 的值，即可得出答案【解答】 解： ， a、 b 為兩個連續的整數， ， a=5， b=6， a+b=11 故答案為： 11 【點評】 此題主要考查了無理數的大小，得出比較無理數的方法是解決問 題的關鍵 14如圖所示，在高為 3m，斜坡長為 5m 的樓梯表面鋪地毯，至少需要地毯 7 米 【考點】 勾股定理的應用；生活中的平移現象 【分析】 當地毯鋪滿樓梯時其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據勾股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可 【解答】 解：由勾股定理得： 樓梯的水平寬度 = =4， 地毯鋪滿樓梯是其長度的和應該是樓 梯的水平寬度與垂直高度的和， 地毯的長度至少是 3+4=7（ m） 故答案為： 7 【點評】 本題考查了勾股定理的應用，與實際生活相聯系，加深了學生學習數學的積極性15已知，如圖長方形 ， 此長方形折疊，使點 B 與點 痕為 面積為 6 【考點】 翻折變換（折疊問題） 【專題】 計算題 【分析】 首先翻折方法得到 E，在 設出未知數，分別表示出線段 長度，然后在 利用勾股定理求出 長度，進而求出 長度，就可以利用面積公式求得 面積了 【解答】 解： 長方形折疊，使點 B 與點 D 重合， E， 設 AE= E=（ 9 x） 在 ， 32+ 9 x） 2， 解得： x=4， 面積為： 34 =6（ 故答案為： 6 【點評】 此題主要考查了圖形的翻折變換和學生的空間想象能力，解題過程中應注意折疊后哪些線段是重合的，相等的，如果想象不出哪些線段相等，可以動手折疊一下即可 16觀察下列各式： ； =3； ， 請用含 n（ n1）的式子寫出你猜想的規律： =（ n+1） 【考點】 二次根式的乘除法 【專題】 規律型 【分析】 從給出的三個式子中，我們可以發現計算出的等號后面的系數為等號前面的根號里的整數加分數的分子，根號里的還是原來的分數，依此可以找出規律 【解答】 解：從 三個式子中， 我們可以發現計算出的等號后面的系數為等號前面的根號里的整數加分數的分子， 根號里的還是原來的分數， 即 =（ n+1） 【點評】 做這類題的關鍵是仔細觀察各式從中找出規律 三、解答題（共 8小題，滿分 72分） 17計算： （ 1） 3 （ 2）（ ）（ ） （ 3）（ ） 2+ （ 4） 【考點】 二次根式的混合運算 【專題】 計算題 【分析】 （ 1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可； （ 2）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后去括號后合并即可； （ 3）根據負整數指數冪和二次根式的除法法則運算； （ 4）根據二次根式的乘除法則運算 【解答】 解：（ 1）原式 =3 2 + 3 = ； （ 2）原式 = +5 = + ； （ 3）原式 =6+ =6+2 =8； （ 4）原式 = = 【點評】 本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍 18先化簡，再求值：（ a 1+ ） （ ），其中 a= 1 【考點】 分式的化簡求值 【分析】 這道求分式值的題目，不應考慮把 a 的值直接代入，通常做法是先把分式通，把除法轉換為乘法化簡，然后再代入求值 【解答】 解：原式 =（ ） ， = ， = ， 當 a= 1 時， 原式 = = 【點評】 此題主要考查了分式的計算，解答此題的關鍵是把分式化到最簡，然后代值計算 19已知實數 x， y 滿足 10x+ +25=0，則（ x+y） 2015的值是多少？ 【考點】 配方法的應用；非負數的性質：偶次方；非負數的性質：算術 平方根 【分析】 先將原式變形為（ x 5） 2+ =0，依據非負數的性質可求得 x、 y 的值，將 x、y 的值代入計算即可 【解答】 解： 10x+ +25=0， （ x 5） 2+ =0 x 5=0， y+4=0 解得： x=5， y= 4 x+y=1 （ x+y） 2015=12015=1 【點評 】 本題主要考查的是配方法的應用、非負數的性質，求得 x、 y 的值是解題的關鍵 20如圖，在 ， D， ， ， ，求 值 【考點】 勾股定理 【分析】 首先在 ，根據 ， ，應用勾股定理，求出 長度是多少；然后在 ，根據 長度，應用勾股定理，求出 值是多少即可 【解答】 解： ， ， = ， 又 0， = ， 值是 【點評】 此題主要考查了勾股定理的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方 21已知 x=2 ， y=2+ ，求下列代數式的值： （ 1） xy+ （ 2） 【考點】 二次根式的化簡求值 【專題】 計算題 【分析】 （ 1）根據已知條件先計算出 x+y=4，再利用完全平方公式得到 xy+ x+y）2，然后利用整體代入的方法計算； （ 2）根據已知條件先計算出 x+y=4， x y= 2 ，再利用平方差公式得到 x+y）（ x y），然后利用整體代入的方法計算 【解答】 解：（ 1） x=2 ， y=2+ ， x+y=4， xy+ x+y） 2=42=16； （ 2） x=2 ， y=2+ ， x+y=4， x y= 2 ， x+y）（ x y） =4（ 2 ） = 8 【點評】 本題考查了二次根式的化簡求值：先根據二次根式的性質和運算法則進行化簡，然后把滿足條件的字母的值代入求值 2