試論作圖題的重要性在平面幾何習題集中有一類習題，謂之平面幾何作圖習題，簡稱作圖題，作圖題的特點是利用沒有刻度的尺子和學生規（即無特殊配置的圓規）將所求圖形精確畫出，這一作圖的過程在數學界簡稱為尺規作圖。有關尺規作圖的習題與其它類型的習題相比，其占有量不算多，而在完成作業的過程中的繁雜手續卻一點也不少：在畫出圖形之前要進行分析，分析的情形有的是開門見山，有的則是在假設圖形已經作出的前提下才來進行的。在圖形畫出之后要進行證明，也只有進行了完整有效的證明，才能確定畫出的圖形是否正確。在這些工作全部結束之后，比較復雜一點的題目還要進行討論，看看在什么條件下有這種作出的可能，且是否存在多解的現象等等。從上述作業流程可以看出，掌控此類尺規作圖題的難度比較大，而折磨人的大難度往往會破壞學生在解題過程中應該享受的樂趣，也許由于作圖題杵在了這一令人尷尬和不甚其煩的情勢中，至令其芳容仿如披上一層漫妙的輕紗，有此高傲隔膜擋駕，當然更難于被人們親近和愛憐，進而使得從事此域之研究的人也相應減少，甚或因此情的延漫而少有著書立說之新人，即算偶有資料觸及此一樊籬，也如蜻蜓點水，似乎深究之即為畫蛇添足。應該說此中除有不寧的心緒造成了一定的負作用之外，還必有有口難言之隱情，而我等則不能不自責于在此一題型方向沒有投入多大工夫的事實，若究其原因，則大多理由指向此類題型在高考試卷中出現的概率極低，有時出則出之，考則考之，而在試卷整體得分的配比上則無足輕重（此本是出題者不得已之安排而不應該多有非議） ，但這情形著實也為將寶貴的時間挪作別用的安排者所棄之而不惜，有時教則教之，學則學之，畫則畫之，而確實沒有用多少心思思之想之，或者說僅僅只是為了完成授業解惑的大綱的需要而在應付式地走走過場。這現象是一種不和諧的教與學，且勢態有如面開卷席來勢頗兇，其危害頗大，這是我們教育界不能容忍之大敵。似此等思想意識使然的危機，不能不引起老師們和同學們的廣泛注意，事實上有很多有學之士也都在為作圖題型被冷落的境遇而憂慮，且一籌莫展地在此一傷痛之中深深無奈。我們若想從思想上去除此弊病和陋習帶來的煩惱，轉而從現實中認識到作圖題型的大作用，那么從現在起我們就要在輿論上開其先河正其視聽，以達最后之受益的目的。是不是作圖題在對學生知識量的獲取果真無足輕重呢？對此我們的態度非然，因為作圖題型作業的完成，其間的思考分析，動手操作，全面表述，畫法證明及畫法討論等，這演練中涉汲的是集數學知識之大成，這努力中按下的是融會貫通各學科知識的快捷鍵。我們深切地感悟到如此唯實唯根的課堂，對學生學業水平的提高，嚴謹作風的形成，科學思維的訓練，慎密心思的培養，實有其獨到而無可替代的作用，顯然此題型是一種不可等閑視之的綜合題型，是一種不可不平等待之的有益題型。因此我們在對待此一問題上，要加大其吶喊的力度，要增加其宣傳的效果。并殷切地希望這一寶貴的作圖題型能正常地合理合法地加盟我們學生的學習內容。因此我要借此平臺來作一動員。或許這有點愚癡的舉措更能求取大家的理解和認可，但愿由此衷情的滲入而達到在此題型上人人能用心待之的目的。開篇千頭萬緒而其實還真不知從何處說起，首先還是就作圖題的準備題型來作一綜合的敘述，并希望從以下有點挖空心思或曰別出心裁的羅列之中，在人們瀏覽其內容成系列性推出的同時，能夠從其中進一步認識到此題型的品質和內涵的不一般，繼而能夠認識到其地位的重要性。同時也希望能從另外一個側面，譬如：學業的復習和梳理，知識的溫故而知新，興趣的培養和引導，技能的獲取和提速，等方面來為我們學生學業的進步起到一點點協助的作用。一者、線段的相加和相減。此即為在直線、射線或線段上用尺規進行已知長度的線段的加取和減取的情形（此情形中包括這些線段的以整數系數為題的畫出） ，其畫出的過程是，先用圓規在相應的線型上，從其端點開始，依照已知條件的要求分別截點，最后的結果是取所截得的線段之總長或其中之一段。二者、線段的等分。根據平行線截割線段定理，我們可以對任意長度的已知線段作任意段數的等分。其畫出的過程是：首先從此線段的一個端點出發，作一條有一定夾角的射線，并在此射線上從其頂點開始，依次作出適當等長的若干截點，且將最后一個截點與線段的另一端點相連結（即形成一個臨時的輔助三角形） ，然后過所有畫出的截點，作此一連結線段的平行線，則平行線們與已知線段形成的交點即為已知線段的若干等分點（此情形中包括這些線段的以分數系數為題的畫出，其結果是取所畫得的等分段中的一份） ，此操作過程可用于生活實踐的方方面面，這種方式的學以致用很是重要。三者、線段的平行。根據同位角相等、內錯角相等、和同旁內角和互補三條定理，或根據線段平行的其它相關理論，我們可以有各種不同的方法對已知線段作出其平行線。其中無刻度的學生專用丁字尺畫平行線的方法就是根據上述原理而設計的。其操作過程是將丁字尺在畫圖板上作上下移動，于是我們可沿移動位置畫出系列水平線。而工程視圖的任意方向的剖面線的畫出，則是用可控三角板在定位的丁字尺上作左右移動而畫出。當然我們若利用一塊三角板的邊當成丁字尺，將另一塊三角板沿邊作上下移動也同樣可作此一畫出。四者、線段的相互垂直（即畫作直角） 。畫作線段相互垂直的方法有很多，我們在教學中常用的方法首推從最看好最簡單的中垂線的作法當中獲得。當然我們也可根據題目的不同，而從勾股定理中，特別是從勾 3、股 4、弦 5 的直角三角形中獲得，簡單地說，此法就是以勾 3 的兩個端點為圓心，且分別以股 4 和弦 5 之長為半徑畫弧，并將所畫得的兩弧的交點，與勾 3 的兩個端點連結，則在如此畫得的這個三角形中即有其直角存在。進一步，如果我們以直角三角形中兩直角邊的平方和等于第三邊的平方這一定理為依據，則隨時可以畫出 的長度，其具體畫出過程可從控制直角三角形a(2,34.)的各種可畫邊長入手。譬如在圓內的直角三角形中即由控制斜邊和直角邊可得 ， 等。譬如直接由控235a224(5)1a制兩直角邊可得 等。至此我想同學們已完全明了此213法之根底。五者、已知角的等分（或曰已知弧的等分） ，利用大家所熟知的等腰三角形底邊上的高又是其角平分線的特性，我們可利用中垂線的畫出對已知角或已知弧進行 等分。如果已知角是可畫已知角2n（即其角是一種能用尺規而精確畫出的角）的倍數角，則可以將其角作倍數次等分，此意即為可將其中小特殊角在大特殊角中一一畫出，此畫出的情形包括某 3 倍特殊角的三等分。但尺規作圖是不能將任意角三等分的（這情形已被數學家們從理論上進行了證明） 。我們不要將任意角的三等分與三倍特殊角的三等分混為一談，常指的能用尺規精確畫出的特殊角有 、 、 、 、 、 3o69o125o83on，更特殊的有這些特殊角的 等分角，更更特殊的還有(1,23.)n n這些被等分角的和差及倍角。值得引起注意的是：特殊角的這種綜合提法，從未在已問世的各種資料或期刊中露過面，故我認定這是一種新的歸納，此歸納的意義在于統一了所有特殊角存在的理義。有緣諸君可對此歸納的全面性進行認證。我相信這一舉措，能使學生對特殊角的理解會有一定幫助，且給今后有需要的解題和記憶帶來方便。六者、圓周的等分。利用尺規可對圓周進行二等分、三等分、四等分、五等分、六等分、八等分、十等分、十二等分、十五等分、十六等分及這些等分的 倍等分 但不能進行七等分、九等分、2n十一等分（以上兩省略號的使用不規范，只能說明其后還有很多能等分或者不能等分的情形） 。有趣的是利用尺規還可以進行少量已知更大奇數的等分。譬如在 年，印度年輕的大數學家高斯，180曾證明了如果 是素數中的費馬數，就可以用尺規將其圓周 進行K K等分，根據這個定理，高斯本人曾用五十多個步驟，作出了一個正宗的圓內接正十七邊形，一舉解決了這個兩千多年來懸而未決的大難題，這真是一個了不起的壯舉，你只要看看那些步驟，并去推敲一下那個作圖過程中顯露的天機，你就知道作為一個數學家是多么地不容易。除了高斯的十七等分圓周光耀環宇外，在所有尺規等分圓周的活動之中，五等分圓周也是很是趣味橫生，黃金分割點就是取自此一畫法之中，而此畫法又包含在基礎方程 之中，210X這個一元二次方程來自一個頂角為 的等腰三角形，或說這化身是36o該等腰三角形與自身底角平分線形成的相似三角形的邊長之比。對此情形的存在，如果我們反其序而用之，則可求得一個頂角為 的36o等腰三角形。此言下之意即為，可以用上述方程中之有用根，即以為底邊，以 1 為腰我們能作出一個等腰三角形，則此1(5)/2X等腰三角形的頂角即為 ，有此 角的存在而知正五邊形、正十36oo邊形、正二十邊形等的尺規作圖可以得到解決。其證明過程是在此三角形的底角中分出一角與其頂角相等，則在此中必有兩三角形相似的情形存在，于是我們可求得腰上的一部份與底邊相等，進而知此三角形的內角和由五個 相等的角構成。作為趣味的延續(5180)ox和增加，你能不能僅用一個圓規求得圓內接正四邊形的四個頂點呢？進行此一操作也許能讓你更多的品味到尺規作圖的魅力，請通過自己的努力試畫之。七者、作角的相等。利用兩塊常用的三角板作兩角邊的平移可得角的相等。平移是尺規精確作圖的最基本手法之一，其具體的操作方法是兩塊三角板在對位之后，一者不動（此即將不動三角板當成了丁字尺） ，一者動（此即可沿三角板的邊逐一畫出移動線） ，然后換另一條角邊在對位之后進行同一情形的操作，如此為之，我們則可對任意方向的線段進行平移（此結果即為相等的角由此方法而形成） 。此法的理論依據就是兩直線平行與第三線相交，則同位角相等。還有一種同樣簡便且適用的方法是：利用圓規在已知角的兩邊分別截得同一長度的點，以此長度為半徑在欲畫角的一條射線上畫弧，并以此弧在射線上的交點為圓心，以兩截點之距離為半徑畫弧，將兩弧之交點與射線頂點相連結，則所畫之角即為所求。八者、兩已知非等長線段之積轉化成線段的自乘（此即為比例中項在尺規作圖中的運用） ，此情形是高次方線段降階畫出的必由之路徑，且其過程中常常出現與二項式平方公式及平方差公式聯合使用的情形，在這些公式的相互轉化之中，非等長線段之積必須要轉化成線段的自乘才能進行后續之論證，但不必著急，我們知此公的身影常常在射影定理、圓冪定理及其它特定的相似形里出現，在解題時如遇到高次方線段必須化簡畫出，則可視情請出此公來助我們一臂之力。這是此類尺規作圖的一個攻無不克的法寶。九者、三角形的五心。我們對三角形的內心，外心、旁心、垂心、重心的畫法和證明都要很好地掌握，其特性也要分別進行了解。這五心在日常生活和工作中非常重要，我們常常要用到它們的一此有趣的特性。譬如 1、從三角形的板材上取最大的圓料毛坯就要用到內心的性質，內心即為三角形三個角平分線的交點，此其實就是求一點到三邊的距離相等的情形。譬如 2、三棱柱物件要用圓環框框起來加以固定，恢復齒輪、閥輪、皮帶論等配件的原貌就要用到外心的性質，外心即為三角形三邊垂直平分線的交點。此其實就是求一點到三頂點的距離相等。譬如 3、火箭、垂發導彈的發射鋼架等的設計就要用到旁心的性質，旁心即為三角形一個角平分線和另外兩角的外角的平分線的交點，此其實就是求一點到三邊的距離（或其延長線的距離）相等的情形。譬如 4、以三角形的邊為直徑的四點共圓常與垂心的性質聯系在一起，這是直徑同側張等角（此處為張兩個直角）的情形，顯然在三條邊上都有此同一情形出現，垂心就是過三角形三頂點作邊的垂直線的情形。 譬如 5、假設漢字寫在一個個形狀不同，但面積相等的三角形內，如果這些三角形的重心處在不論方向的同一條直線上時，則整個書寫看起來就會美得爽心，公園內大小不同的三角形石塊的任意方向的垂直疊加而成型的寶塔也要用到重心來平衡等。重心即為三角形三條邊的中線的交點。在以上五心中都有一些有趣的性質可供我們作解題專用，它們的畫出和求證過程并不為難，只是垂心和重心的求證隱含了一些特別的講究，對此不能不小心噢，若馬虎了事則其理一定述說不清，呵呵！快試一試吧，你將樂在其中。十者、關于圓和多圓的各種切線和公切線的作法。此中之諸法在教科書中已有相應闡述的我們不再贅述。而本文要推薦的是我的關于兩圓公切線的作圖，在此一構思中，我們對兩圓公切線的作圖給出了一種優于傳統的作法，此作法可在中學生數理化 年1983第 期中找到，且可供同學們作欲推新之參考。10從一到十者的綜合，就是一個作圖題的準備題型的大觀園，從這些準備題型的組合、拆分和相互滲入中，我們可以設想存在著一個琳瑯滿目的作圖題的大千世界，而在這個大千世界的秘藉里有深藏不露的解題技巧專供有心人們去發現，只有多加練習的人，才有可能生出巧來，只有生了巧的人，才有可能獲得更多的智慧。只有多了智慧的人，才有可能進入其清新可人的良性循環之中。另外，在許多平面幾何習題的求解過程也要用到輔助線，其實輔助線的作出也屬于作圖題的一個范疇，只是輔助線的使用大多局限在垂直線、平行線、角平分線和拐點的連線等簡單的形式上，作出一個完整的輔助圖形來解題的情形還是不多的，否則那將進入圖形解題的另一研究領域 總之我們要根據例題所給條件的不同，機智地進行分析，具體問題具體對待，才能作出正確的畫圖。我們盼望著上述資源的開發和利用的迷人季節的來臨，我們深信在那個特定的知識的花園里，我們的學生的素質一定會得到空前的提高，我們的理由有以下四條：一、作圖題型有利于學生動手能力的提高。任何一道作圖作業的完成，在思考過了作出的程序之后，你得利用工具一步一步，且仔仔細細地將這個分析程序完成，這是理論與實踐相結合的第一步，這是學習心靈、手巧、眼快、思明的一個天賜過程。其它類型的習題根本就不可能作此特色提供，況且在圖形畫得漂亮與不漂亮之間，在位置安排得合理與不合理之間，在次序協合得科學與不科學之間，還有很多且很深奧的講究要操心，此實為培養工科人材絕不可缺少的一種題型，此實為工程人員掌控技術圖樣必不可少的磨礪路徑。我們深知作圖題與建筑圖、機械圖、管路圖、電路圖、甚至生化基因圖等工程圖的關系一脈相承，是基礎中之基礎，對此我們一定要加倍珍視之。二、作圖題型有利于學生畫與計算相結合的能力的提高。一道作圖作業題的完成，在動手之前，大多要進行運算推理，有道是切脈準則不會出錯，要義清則能對癥下藥，由于在此題型下的運算推理都是有模有樣的，這是形象思維和邏輯思維相結合下的一種切脈方式，這其中量物而衡的要義比純粹的計算高出了一個結構的層次，其學習的效果必然好上加好。而在此情形之下獲取的知識量也必然是事半而功倍，就我多年的教學和工程實踐的經驗感悟而言，我覺得如果我們的學生能在這樣一個特定的畫出與計算相結合的環境中歷練，今后在上崗工作中表現出的各種能力都肯定會比較強。三、作圖題型有利于學生分析和解決問題的能力的提高。我曾在一本國外的期刊上看到一個有意思的作圖題：怎樣在以 為圓心，O以 為半徑的扇形 里，用尺規畫出一個正方形 ，使 、rOEFABCD落在扇形的 上，并使 、 分別落在兩弧角邊上呢？這道題初BCD看很簡單，我不以為意，摘錄下來交給我的學生當作業，不想學生們在咬筆頭思之之后，不得其果，遂來問我，我一時無語，推說將在課堂上進行講解，幸好思得一法，于是我洋洋得意地挑逗學生說：如果能想得到的話，其實作法非常簡單。又說：誰能解得此題，誰就是我們班上最聰明的人。此言一出高潮疊起，一個個都成了鉆牛角尖的英雄。我贊美鉆牛角尖，只要鉆得科學，鉆得合理，有什么可以斥責的呢？且我們已有多方面的信息確定，大凡在學生時期鉆過牛角尖的人都是有出息有作為的人，不信嗎？您去了解了解。這中間的道理其實就一句話，迷在其中必有所獲，至少思之想之腦子更靈光。經過一段時日的推敲，我們的學生有了這道題的標準答案：簡言之就是以其弦 為邊向外側作正方形 ，連結 、 交EFEFGHOH于 、 。過 、 分別作軸線的平行線交 于 ，交 于 ，EFAB CED則 即為所求。其求證過程是利用兩組三角形的相似，且由其比CD值方程的聯立可證得 的畫出符合要求。此處證明從略的原因是ACD要留給有緣人自作練習。由于圖形的表述已很是清楚，其畫出的練習當然也就又留給有緣人了。我們在此文中做此題目之目的，不是為了做題而做題，但通過對此題的敘述，你知道學生理解了什么，提高了什么。四、作圖習題有利于學生啟迪性思維的提高。說來也真正叫人奇怪，自從進行了上次那個誰是最聰明的人的斗智斗勇的求解活動之后，我們的學生仿佛變成了另外一個人，他們在一個短短的時日里似乎成熟了很多，有好幾個受到啟發的學生認定：在半徑分別為和 的同心圓環上作正方形 ，使頂點 、 分別落在 的圓RrABCDABRO周上， 、 分別落在 的圓周上的這道習題一定與前述例題有相CDrO似之處。乍一看題還真感覺有其聯系，再說如果 就等于 的話，Dr則前敘例題即為圓環中的一部分，難怪同學會作此一聯想。我贊許同學們能作此聯想，這就是啟迪性思維起的作用。說句心里話，我雖然不是什么有出息有作為的人，但我就是在鉆此牛角尖的過程中獲得過一些靈感，再說在此題中的這種啟迪性思維下產生的這種正向能還有另外一種令人入迷的作用，且此作用就浸潤在此例題之破解的字里行間：假設正方形 已經作出，設大圓上的邊心距為 ，ABCD1K小圓上的邊心距為 ，正方形的邊長為 2a，則由圖中的直角三角形2K可得：(1)221Ra(2)2rK將（1）和（ 2）聯立并整理于是可得 ：(3)21Rr在（3）中有兩個未知量，雖然在邊心距的假設下知有 的12Ka情形存在，但將其代入（3）后還是兩個未知量的情形，這就要求我們必須再找一個新的方程，盡管你采用了很多方法：譬如面積法、直線方程法、三角函數法、實踐公式法等等，但無論你怎么努力都會進入一個怪圈（有很多題目都有此相同形式的怪圈） ，此題中怪就怪在你得到的只能是（3） ，也許此時的你會將（3）變形進行觀察，而這樣你則會進入相似三角形或等高相連的直角三角形的另一怪圈。只有在怪圈中煎熬過的人才知道，如要解題必須另劈溪徑。此即為入迷的收獲，此收獲是由親身體驗得來寶貴無比。至此同學們知的利用是關鍵之關鍵，如若將圖中直角三角形中的方程改12Ka寫為：(4)21R(5)2Kra將（4）（ 5） ，并將 代入其中， 于是我們就可以得到一12Ka個僅僅關于未知量 的方程：(6)22aRr將（6）變身的話，則是一個高次方程，顯然其解中之有用根的二倍即為正方形的邊長。由于解此方程要花費很多時間，還不知道解得的根能不能用尺規精確畫出，我們只好同有緣人一起來探索。如果解得的有用根不能用尺規畫出的話，那麻煩就來了，或者說我們遇到了前功盡棄的困難，此時你得而今邁步從頭越，而從頭越的道路也不一定平坦，說不定還得再次努力，而再次努力的結果也可能還同樣是勞而無功。不過也好，這算是讓我們初步見證什么叫數學領域的難度。由于此一過程給人們的啟發非比尋常，借此平臺，拋此題后感是希望能引起同學們的興趣，興致高則求解有望，有此回報則達到了我們寫文章的目的。在這里我要鄭重其事說的是：如果由分析而求得的方程是一個高次方程，則一定要利用好一元二次方程的求根公式降階畫出所希望的結果。為了求得畫法的正確，還可以從簡化方程本身繁雜的已知系數入手，從而達到簡化作圖的目的，對于（6）來說，如果直接將其兩邊同時平方，則麻煩就大了，不如采用平方差公式即將（6）的兩邊同時乘上 ，則其22()Rar過程就簡單了很多：2222()()()aRraRar（7）將（7）進行整理于是可得：222()()/RarRra（8）在（8）中利用直角三角形兩直角邊的平方和等于第三邊的平方的尺規作圖可將 用已知量 來取代，于是（8）可變簡為：2Rr2b2/aa（9）將（9）與（6）相加，于是可得：22/Raba（10）將（10）進行整理于是可得：2244aRba（11）將（11）兩邊同時平方于是可得：242416816aRba（12）將（12）進行整理于是可得： 422438()0aRb（13）在（13）中，由于 在等腰直角三角形中是可畫作的已知量，2()我們再次利用兩直角邊的平方和等于第三邊平方這一利器的尺規作圖又可將 用畫作已知量 來取代，于是（13）可變簡為：2()Rb2c424380ac（14）（14）是我們將方程之系數一步步變簡的最后過程，此過程是本習題尺規作圖的要領之一，由于此方程是一個四次方程，利用好一元二次方程的求根公式降階則是畫作的要領之二，如果要降階畫出所希望的結果則必須設 ，于是我們就得到如下方程：2aX24380Xcb（15）利用求根公式 于是可解得（15）的兩根：2(4)/xac2218)3Xcb（16）224()/2c（17）以上兩根也許都是有用根吧，這是要進行討論的。現我們僅就（16）的情形為例進行繼續探索。而（17）則只好又留給同學們作加強印象的練習。將（16）整理于是可得： 24241(88)/32Xcb（18）將（18）整理于是可得：2418Xcb（19）將（19）整理于是可得：222418()Xcbcb（20）在（20）中，由于可用尺規將 及 作出，則知22()cd2()cbe及 都是已知量，由（20）于是可得：2de22418Xcdeb（21）在（21）中，由于 及 都是已知量，由射影定理（以二者之差段2e為弦作任意圓，則過二者在圓外端點所作切線即為所求） 、圓冪定理（以二者之和為直徑作圓，則垂直二者連接點的半弦即為所求）等，而可用尺規將