第 1 頁（共 32 頁）2017 年黑龍江省大慶市中考數學試卷一、選擇題：（每小題 3 分，共 30 分）1 （3 分）若 a 的相反數是3，則 a 的值為（ ）A1 B2 C3 D42 （3 分）數字 150000 用科學記數法表示為（）A1.510 4B0.1510 6 C1510 4 D1.5 1053 （3 分）下列說法中，正確的是（）A若 ab ，則 a2b 2 B若 a|b |，則 abC若 |a|=|b|，則 a=b D若|a|b |，則 ab4 （3 分）對于函數 y=2x1，下列說法正確的是（）A它的圖象過點（1，0） By 值隨著 x 值增大而減小C它的圖象經過第二象限 D當 x1 時，y 05 （3 分）在ABC 中， A，B ，C 的度數之比為 2：3：4，則B 的度數為（）A120 B80 C60 D406 （3 分）將一枚質地均勻的硬幣先后拋擲兩次，則至少出現一次正面向上的概率為（）A B C D14 12 34 237 （3 分）由若干個相同的正方體組成的幾何體，如圖（1）所示，其左視圖如圖（2）所示，則這個幾何體的俯視圖為（）A B C D8 （3 分）如圖，ABD 是以 BD 為斜邊的等腰直角三角形， BCD 中，第 2 頁（共 32 頁）DBC=90，BCD=60，DC 中點為 E，AD 與 BE 的延長線交于點 F，則AFB的度數為（）A30 B15 C45 D259 （3 分）若實數 3 是不等式 2xa20 的一個解，則 a 可取的最小正整數為（）A2 B3 C4 D510 （3 分）如圖，AD BC，ADAB，點 A，B 在 y 軸上，CD 與 x 軸交于點E（ 2，0 ） ，且 AD=DE，BC=2CE，則 BD 與 x 軸交點 F 的橫坐標為（）A B C D23 34 45 56二、填空題（本大題共 8 小題，每小題 3 分，共 24 分）11 （3 分）計算：2sin60=12 （3 分）分解因式：x 34x=13 （3 分）已知一組數據：3，5，x ，7，9 的平均數為 6，則 x=14 （3 分）ABC 中， C 為直角，AB=2 ，則這個三角形的外接圓半徑為第 3 頁（共 32 頁）15 （3 分）若點 M（3，a 2） ，N （b ，a）關于原點對稱，則 a+b=16 （3 分）如圖，點 M，N 在半圓的直徑 AB 上，點 P，Q 在 上，四邊形MNPQ 為正方形若半圓的半徑為 ，則正方形的邊長為517 （3 分）圓錐的底面半徑為 1，它的側面展開圖的圓心角為 180，則這個圓錐的側面積為18 （3 分）如圖，已知一條東西走向的河流，在河流對岸有一點 A，小明在岸邊點 B 處測得點 A 在點 B 的北偏東 30方向上，小明沿河岸向東走 80m 后到達點 C，測得點 A 在點 C 的北偏西 60方向上，則點 A 到河岸 BC 的距離為三、解答題（本大題共 10 小題，共 66 分）19 （4 分）計算：（1） 2017+tan45+ +|3|32720 （4 分）解方程： + =1+2121 （5 分）已知非零實數 a，b 滿足 a+b=3， + = ，求代數式 a2b+ab2 的值113222 （6 分）某快遞公司的每位“快遞小哥”日收入與每日的派送量成一次函數關系，如圖所示（1）求每位“快遞小哥” 的日收入 y（元）與日派送量 x（件）之間的函數關系式；（2）已知某“快遞小哥” 的日收入不少于 110 元，則他至少要派送多少件？第 4 頁（共 32 頁）23 （7 分）某校為了解學生平均每天課外閱讀的時間，隨機調查了該校部分學生一周內平均每天課外閱讀的時間（以分鐘為單位，并取整數） ，將有關數據統計整理并繪制成尚未完成的頻率分布表和頻數分布直方圖請你根據圖表中所提供的信息，解答下列問題頻率分布表組別 分組 頻數 頻率1 1525 7 0.142 2535 a 0.243 3545 20 0.404 4555 6 b5 5565 5 0.10注：這里的 1525 表示大于等于 15 同時小于 25（1）求被調查的學生人數；（2）直接寫出頻率分布表中的 a 和 b 的值，并補全頻數分布直方圖；（3）若該校共有學生 500 名，則平均每天課外閱讀的時間不少于 35 分鐘的學生大約有多少名？24 （7 分）如圖，以 BC 為底邊的等腰ABC，點 D，E ，G 分別在 BC，AB，AC上，且 EGBC，DEAC，延長 GE 至點 F，使得 BE=BF第 5 頁（共 32 頁）（1）求證：四邊形 BDEF 為平行四邊形；（2）當C=45，BD=2 時，求 D，F 兩點間的距離25 （7 分）如圖，反比例函數 y= 的圖象與一次函數 y=x+b 的圖象交于 A，B 兩點，點 A 和點 B 的橫坐標分別為 1 和2，這兩點的縱坐標之和為 1（1）求反比例函數的表達式與一次函數的表達式；（2）當點 C 的坐標為（0， 1）時，求ABC 的面積26 （8 分）已知二次函數的表達式為 y=x2+mx+n（1）若這個二次函數的圖象與 x 軸交于點 A（1， 0） ，點 B（3，0） ，求實數m，n 的值；（2）若ABC 是有一個內角為 30的直角三角形，C 為直角，sinA ，cosB 是方程 x2+mx+n=0 的兩個根，求實數 m，n 的值27 （9 分）如圖，四邊形 ABCD 內接于圓 O，BAD=90，AC 為直徑，過點 A作圓 O 的切線交 CB 的延長線于點 E，過 AC 的三等分點 F（靠近點 C）作 CE 的平行線交 AB 于點 G，連結 CG（1）求證：AB=CD ；（2）求證：CD 2=BEBC；第 6 頁（共 32 頁）（3）當 CG= ，BE= 時，求 CD 的長39228 （9 分）如圖，直角ABC 中，A 為直角，AB=6，AC=8點 P，Q，R 分別在 AB，BC，CA 邊上同時開始作勻速運動，2 秒后三個點同時停止運動，點 P 由點 A 出發以每秒 3 個單位的速度向點 B 運動，點 Q 由點 B 出發以每秒 5 個單位的速度向點 C 運動，點 R 由點 C 出發以每秒 4 個單位的速度向點 A 運動，在運動過程中：（1）求證：APR ，BPQ，CQR 的面積相等；（2）求PQR 面積的最小值；（3）用 t（秒） （0t 2）表示運動時間，是否存在 t，使PQR=90？若存在，請直接寫出 t 的值；若不存在，請說明理由第 7 頁（共 32 頁）2017 年黑龍江省大慶市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（每小題 3 分，共 30 分）1 （3 分） （2017大慶）若 a 的相反數是 3，則 a 的值為（）A1 B2 C3 D4【考點】14：相反數【分析】根據一個數的相反數就是在這個數前面添上“”號，求解即可【解答】解：a 的相反數是3，則 a 的值為 3，故選：C【點評】本題考查了相反數的意義，一個數的相反數就是在這個數前面添上“”號：一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0 的相反數是 0不要把相反數的意義與倒數的意義混淆2 （3 分） （2017大慶）數字 150000 用科學記數法表示為（）A1.510 4B0.1510 6 C1510 4 D1.5 105【考點】1I：科學記數法表示較大的數【分析】科學記數法的表示形式為 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 為整數確定 n 的值時，要看把原數變成 a 時，小數點移動了多少位， n 的絕對值與小數點移動的位數相同當原數絕對值1 時，n 是正數；當原數的絕對值1 時，n 是負數【解答】解：數字 150000 用科學記數法表示為 1.5105故選：D【點評】此題考查科學記數法的表示方法科學記數法的表示形式為 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 為整數，表示時關鍵要正確確定 a 的值以及 n 的值3 （3 分） （2017大慶）下列說法中，正確的是（）第 8 頁（共 32 頁）A若 ab ，則 a2b 2 B若 a|b |，則 abC若 |a|=|b|，則 a=b D若|a|b |，則 ab【考點】1E：有理數的乘方； 15：絕對值【分析】根據有理數的乘方和絕對值的性質對各選項分析判斷即可得解【解答】解：A、若 a=2，b=2，ab，但 a2=b2，故本選項錯誤；B、若 a|b|，則 ab，故本選項正確；C、若 |a|=|b|，則 a=b 或 a=b，故本選項錯誤；D、若 a=2， b=1，|a|b|，但 ab ，故本選項錯誤故選 B【點評】本題考查了有理數的乘方，絕對值的性質，理解有理數乘方的意義是解題的關鍵4 （3 分） （2017大慶）對于函數 y=2x1，下列說法正確的是（）A它的圖象過點（1，0） By 值隨著 x 值增大而減小C它的圖象經過第二象限 D當 x1 時，y 0【考點】F5：一次函數的性質【分析】根據一次函數的性質進行計算即可【解答】解：A、把 x=1 代入解析式得到 y=1，即函數圖象經過（1，1） ，不經過點（1，0） ，故本選項錯誤；B、函數 y=2x1 中，k=20，則該函數圖象 y 值隨著 x 值增大而增大，故本選項錯誤；C、函數 y=2x1 中，k=20，b=10，則該函數圖象經過第一、三、四象限，故本選項錯誤；D、當 x1 時，2x11，則 y1，故 y0 正確，故本選項正確故選：D【點評】本題考查了一次函數的性質，掌握一次函數的性質是解題的關鍵第 9 頁（共 32 頁）5 （3 分） （2017大慶）在ABC 中，A ，B， C 的度數之比為 2：3：4，則B 的度數為（）A120 B80 C60 D40【考點】K7：三角形內角和定理【分析】直接用一個未知數表示出A，B ，C 的度數，再利用三角形內角和定理得出答案【解答】解：A：B：C=2：3：4，設A=2x ， B=3x ，C=4x ，A+B+C=180 ，2x+3x+4x=180，解得：x=20，B 的度數為：60故選 C【點評】此題主要考查了三角形內角和定理，正確表示出各角度數是解題關鍵6 （3 分） （2017大慶）將一枚質地均勻的硬幣先后拋擲兩次，則至少出現一次正面向上的概率為（）A B C D14 12 34 23【考點】X6：列表法與樹狀圖法【分析】根據題意可以寫出所有的可能性，從而可以得到至少出現一次正面向上的概率【解答】解：由題意可得，出現的所有可能性是：（正，正） 、 （正，反） 、 （反，正） 、 （反，反） ，至少一次正面向上的概率為： ，34故選 C【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，解答本題的關鍵是明確題意，寫出所有第 10 頁（共 32 頁）的可能性7 （3 分） （2017大慶）由若干個相同的正方體組成的幾何體，如圖（1）所示，其左視圖如圖（2）所示，則這個幾何體的俯視圖為（）A B C D【考點】U3：由三視圖判斷幾何體【分析】根據題目中的幾何體，可以得到它的俯視圖，從而可以解答本題【解答】解：由圖可得，這個幾何體的俯視圖是：故選 A【點評】本題考查由三視圖判斷幾何體，解答本題的關鍵是明確題意，畫出幾何體的俯視圖8 （3 分） （2017大慶）如圖，ABD 是以 BD 為斜邊的等腰直角三角形，BCD 中，DBC=90，BCD=60，DC 中點為 E，AD 與 BE 的延長線交于點 F，則AFB 的度數為（ ）第 11 頁（共 32 頁）A30 B15 C45 D25【考點】KP：直角三角形斜邊上的中線； KW：等腰直角三角形【分析】根據直角三角形的性質得到 BE=CE，求得CBE=60，得到DBF=30 ，根據等腰直角三角形的性質得到ABD=45，求得ABF=75，根據三角形的內角和即可得到結論【解答】解：DBC=90 ，E 為 DC 中點，BE=CE= CD，12BCD=60，CBE=60 ，DBF=30，ABD 是等腰直角三角形，ABD=45 ，ABF=75，AFB=180 9075=15，故選 B第 12 頁（共 32 頁）【點評】本題考查了直角三角形的性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵9 （3 分） （2017大慶）若實數 3 是不等式 2xa20 的一個解，則 a 可取的最小正整數為（）A2 B3 C4 D5【考點】C7：一元一次不等式的整數解【分析】將 x=3 代入不等式得到關于 a 的不等式，解之求得 a 的范圍即可【解答】解：根據題意，x=3 是不等式的一個解，將 x=3 代入不等式，得：6 a20，解得：a4，則 a 可取的最小正整數為 5，故選：D【點評】本題主要考查不等式的整數解，熟練掌握不等式解得定義及解不等式的能力是解題的關鍵10 （3 分） （2017大慶）如圖，ADBC，ADAB，點 A，B 在 y 軸上，CD 與x 軸交于點 E（2，0） ，且 AD=DE，BC=2CE，則 BD 與 x 軸交點 F 的橫坐標為（）A B C D23 34 45 56【考點】KD：全等三角形的判定與性質；D5：坐標與圖形性質【分析】如圖，設 OF=a， AD=DE=x，CE=y，則 BC=2y，根據平行線分線段成比第 13 頁（共 32 頁）例可得 xy=a（ x+y） ，2xy=（2a） （x+y ） ，聯立得到 2a（x+y）=（2a ） （x+y）且x+y0，即 2a=（2a） ，解方程求得 a，從而求解【解答】解：如圖，設 OF=a，AD=DE=x ，CE=y，則 BC=2y，則 = = ，即 = ， +xy=a（x+y ） ，又 = ，即 = ，22+2xy=（2a ） （x+y ） ，2a（x+y）=（2a） （x+y）且 x+y0，2a=（2a） ，解得 a= 23故點 F 的橫坐標為 23故選：A【點評】考查了坐標與圖形性質，平行線分線段成比例，關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例的性質，注意方程思想的運用二、填空題（本大題共 8 小題，每小題 3 分，共 24 分）11 （3 分） （2017大慶）計算：2sin60= 3【考點】T5：特殊角的三角函數值第 14 頁（共 32 頁）【分析】根據特殊角的三角函數值計算【解答】解：2sin60=2 = 32 3【點評】本題考查特殊角三角函數值的計算，特殊角三角函數值計算在中考中經常出現，題型以選擇題、填空題為主【相關鏈接】特殊角三角函數值：sin30= ，cos30= ，tan30= ，cot30= ；12 32 33 3sin45= ，cos45= ，tan45=1 ，cot45=1 ；22 22sin60= ，cos60= ，tan60= ，cot60= 32 12 3 3312 （3 分） （2017大慶）分解因式：x 34x=x（x+2） （x2）【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用【分析】應先提取公因式 x，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解【解答】解：x 34x，=x（x 24） ，=x（x+ 2） （x 2） 故答案為：x（x+2） （x2） 【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次因式分解，分解因式一定要徹底，直到不能再分解為止13 （3 分） （2017大慶）已知一組數據：3，5，x，7，9 的平均數為 6，則 x=6【考點】W1 ：算術平均數【分析】根據算術平均數的定義列式計算即可得解【解答】解：由題意知， （3+5+x +7+9）5=6，第 15 頁（共 32 頁）解得：x=6故答案為 6【點評】本題考查的是算術平均數的求法熟記公式是解決本題的關鍵14 （3 分） （2017大慶）ABC 中，C 為直角，AB=2，則這個三角形的外接圓半徑為1【考點】MA：三角形的外接圓與外心【分析】這個直角三角形的外接圓直徑是斜邊長，把斜邊長除以 2 可求這個三角形的外接圓半徑【解答】解：ABC 中，C 為直角，AB=2 ，這個三角形的外接圓半徑為 22=1故答案為：1【點評】本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，重點在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓15 （3 分） （2017大慶）若點 M（3，a2） ，N（b，a ）關于原點對稱，則 a+b=2 【考點】R6：關于原點對稱的點的坐標【分析】根據關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數，可得答案【解答】解：由題意，得b=3，a2+a=0，解得 a=1，a+b=3+1=2，故答案為：2【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：關于 x 軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于 y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數第 16 頁（共 32 頁）16 （3 分） （2017大慶）如圖，點 M，N 在半圓的直徑 AB 上，點 P，Q 在上，四邊形 MNPQ 為正方形若半圓的半徑為 ，則正方形的邊長為2 5【考點】LE：正方形的性質； KQ：勾股定理；M1：圓的認識【分析】連接 OP，設正方形的邊長為 a，則 ON= ，PN=a，再由勾股定理求出2a 的值即可【解答】解：連接 OP，設正方形的邊長為 a，則 ON= ，PN=a，2在 RtOPN 中，ON2+PN2=OP2，即（ ） 2+a2=（ ） 2，解得 a=22 5故答案為：2【點評】本題考查的是正方形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵17 （3 分） （2017大慶）圓錐的底面半徑為 1，它的側面展開圖的圓心角為180，則這個圓錐的側面積為2【考點】MP：圓錐的計算【分析】設圓錐的母線長為 R，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到第 17 頁（共 32 頁）21= ，解得 R=2，然后利用扇形的面積公式計算圓錐的側面積180180【解答】解：設圓錐的母線長為 R，根據題意得 21= ，解得 R=2，180180所以圓錐的側面積= 212=212故答案為 2【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長18 （3 分） （2017大慶）如圖，已知一條東西走向的河流，在河流對岸有一點A，小明在岸邊點 B 處測得點 A 在點 B 的北偏東 30方向上，小明沿河岸向東走80m 后到達點 C，測得點 A 在點 C 的北偏西 60方向上，則點 A 到河岸 BC 的距離為20 米3【考點】TB：解直角三角形的應用方向角問題；KU：勾股定理的應用【分析】方法 1、作 AD BC 于點 D，設出 AD=x 米，在 RtACD 中，得出 CD=x，在 RtABD 中，得出 BD= x，最后用 CD+BD=80 建立方程即可得出結論；333方法 2、先判斷出ABC 是直角三角形，利用含 30的直角三角形的性質得出AB，AC，再利用同一個直角三角形，兩直角邊的積的一半和斜邊乘以斜邊上的高的一半建立方程求解即可【解答】解：方法 1、過點 A 作 ADBC 于點 D第 18 頁（共 32 頁）根據題意，ABC=90 30=60，ACD=30 ，設 AD=x 米，在 RtACD 中， tanACD= ，CD= = = x，303在 RtABD 中，tanABC= ，BD= = = x，6033BC=CD+BD= x+ x=80333x=20 3答：該河段的寬度為 20 米3故答案是：20 米3方法 2、過點 A 作 ADBC 于點 D根據題意，ABC=90 30=60，ACD=30 ，BAC=180 ABCACB=90，在 RtABC 中，BC=80m，ACB=30，AB=40m，AC=40 m，3S ABC = ABAC= 4040 =800 ，12 12 3 3S ABC = BCAD= 80AD=40AD=800 ，12 12 3AD=20 米3答：該河段的寬度為 20 米3故答案是：20 米3第 19 頁（共 32 頁）【點評】此題考查了解直角三角形及勾股定理的應用，用到的知識點是方向角，關鍵是根據題意畫出圖形，作出輔助線，構造直角三角形， “化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高） ，原則上不破壞特殊角三、解答題（本大題共 10 小題，共 66 分）19 （4 分） （2017大慶）計算：（ 1） 2017+tan45+ +|3|327【考點】2C：實數的運算；T5：特殊角的三角函數值【分析】直接利用特殊角的三角函數值以及立方根的性質和絕對值的性質分別化簡求出答案【解答】解：原式=1+1+3+ 3=【點評】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵20 （4 分） （2017大慶）解方程： + =1+21【考點】B3：解分式方程【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，經檢驗即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x 2+x+2=x2+2x，解得：x=2，經檢驗 x=2 是分式方程的解【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗第 20 頁（共 32 頁）21 （5 分） （2017大慶）已知非零實數 a，b 滿足 a+b=3， + = ，求代數式1132a2b+ab2 的值【考點】59：因式分解的應用；6B：分式的加減法【分析】將 a+b=3 代入 + = = 求得 ab 的值，然后將其代入所求的代數式11+32進行求值【解答】解： + = = ，a+b=3 ，11+32ab=2，a 2b+ab2=ab（a +b）=2 3=6【點評】本題考查了因式分解的應用，分式的加減運算，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵22 （6 分） （2017大慶）某快遞公司的每位“ 快遞小哥 ”日收入與每日的派送量成一次函數關系，如圖所示（1）求每位“快遞小哥” 的日收入 y（元）與日派送量 x（件）之間的函數關系式；（2）已知某“快遞小哥” 的日收入不少于 110 元，則他至少要派送多少件？【考點】FH ：一次函數的應用；C9：一元一次不等式的應用【分析】 （1）觀察函數圖象，找出點的坐標，再利用待定系數法求出 y 與 x 之間的函數關系式；（2）由日收入不少于 110 元，可得出關于 x 的一元一次不等式，解之即可得出第 21 頁（共 32 頁）結論【解答】解：（1）設每位“快遞小哥”的日收入 y（元）與日派送量 x（件）之間的函數關系式為 y=kx+b，將（0，70 ） 、 （30，100 ）代入 y=kx+b，解得： ，=7030+=100 =1=70每位“快遞小哥 ”的日收入 y（元）與日派送量 x（件）之間的函數關系式為y=x+70（2）根據題意得：x+70110，解得：x40答：某“快遞小哥 ”的日收入不少于 110 元，則他至少要派送 40 件【點評】本題考查了一次函數的應用、待定系數法求一次函數解析式以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出y 與 x 之間的函數關系式；（2）根據日收入不少于 110 元，列出關于 x 的一元一次不等式23 （7 分） （2017大慶）某校為了解學生平均每天課外閱讀的時間，隨機調查了該校部分學生一周內平均每天課外閱讀的時間（以分鐘為單位，并取整數） ，將有關數據統計整理并繪制成尚未完成的頻率分布表和頻數分布直方圖請你根據圖表中所提供的信息，解答下列問題頻率分布表組別 分組 頻數 頻率1 1525 7 0.142 2535 a 0.243 3545 20 0.404 4555 6 b5 5565 5 0.10注：這里的 1525 表示大于等于 15 同時小于 25（1）求被調查的學生人數；（2）直接寫出頻率分布表中的 a 和 b 的值，并補全頻數分布直方圖；第 22 頁（共 32 頁）（3）若該校共有學生 500 名，則平均每天課外閱讀的時間不少于 35 分鐘的學生大約有多少名？【考點】V8：頻數（率）分布直方圖； V5：用樣本估計總體； V7：頻數（率）分布表【分析】 （1）根據第一組頻數是 7，頻率是 0.14 即可求得被調查的人數；（2）利用頻率公式即可求得 a 和 b 的值，再補全頻數分布直方圖；（3）利用總人數 500 乘以對應的頻率即可求解【解答】解：（1）被調查的人數是 70.14=50；（2）a=500.24=12，b= =0.12，650如圖所示：（3）平均每天課外閱讀的時間不少于 35 分鐘的學生大約有500（ 0.40+0.12+0.10）=310（人） 【點評】本題考查了頻率分布直方圖的知識，解題的關鍵是弄清頻數、頻率及樣本容量的關系24 （7 分） （2017大慶）如圖，以 BC 為底邊的等腰ABC ，點 D，E，G 分別第 23 頁（共 32 頁）在 BC， AB，AC 上，且 EGBC，DEAC，延長 GE 至點 F，使得 BE=BF（1）求證：四邊形 BDEF 為平行四邊形；（2）當C=45，BD=2 時，求 D，F 兩點間的距離【考點】L7：平行四邊形的判定與性質；KH：等腰三角形的性質【分析】 （1）由等腰三角形的性質得出ABC= C，證出AEG=ABC=C，四邊形 CDEG 是平行四邊形，得出DEG=C，證出F=DEG，得出 BFDE，即可得出結論；（2）證出BDE 、BEF 是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF=BE= BD= ，作 FMBD 于 M，連接 DF，則 BFM 是等腰直角三角形，由22 2勾股定理得出 FM=BM= BF=1，得出 DM=3，在 RtDFM 中，由勾股定理求出22DF 即可【解答】 （1）證明：ABC 是等腰三角形，ABC=C，EGBC，DEAC，AEG=ABC=C，四邊形 CDEG 是平行四邊形，DEG=C ，BE=BF，BFE=BEF=AEG=ABC，F= DEG，BFDE，四邊形 BDEF 為平行四邊形；第 24 頁（共 32 頁）（2）解：C=45，ABC=BFE=BEF=45，BDE、 BEF 是等腰直角三角形，BF=BE= BD= ，22 2作 FM BD 于 M，連接 DF，如圖所示：則BFM 是等腰直角三角形，FM=BM= BF=1，22DM=3，在 RtDFM 中，由勾股定理得： DF= = ，12+32 10即 D，F 兩點間的距離為 10【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質和勾股定理是解決問題的關鍵25 （7 分） （2017大慶）如圖，反比例函數 y= 的圖象與一次函數 y=x+b 的圖象交于 A，B 兩點，點 A 和點 B 的橫坐標分別為 1 和2，這兩點的縱坐標之和為1（1）求反比例函數的表達式與一次函數的表達式；（2）當點 C 的坐標為（0， 1）時，求ABC 的面積第 25 頁（共 32 頁）【考點】G8：反比例函數與一次函數的交點問題【分析】 （1）根據兩點縱坐標的和，可得 b 的值，根據自變量與函數的值得對關系，可得 A 點坐標，根據待定系數法，可得反比例函數的解析式；（2）根據自變量與函數值的對應關系，可得 B 點坐標，根據三角形的面積公式，可得答案【解答】解：（1）由題意，得1+b+（2 ）+b=1，解得 b=1，一次函數的解析式為 y=x+1，當 x=1 時，y=x+1=2，即 A（1 ，2） ，將 A 點坐標代入，得 =2，1即 k=2，反比例函數的解析式為 y= ；2（2）當 x=2 時，y= 1，即 B（ 2，1） BC=2，SABC = BC（y AyC）= 22（ 1）=3 12 12【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用縱坐標的和得出b 的值是解（1）題關鍵；利用三角形的面積公式是解（2）的關鍵第 26 頁（共 32 頁）26 （8 分） （2017大慶）已知二次函數的表達式為 y=x2+mx+n（1）若這個二次函數的圖象與 x 軸交于點 A（1， 0） ，點 B（3，0） ，求實數m，n 的值；（2）若ABC 是有一個內角為 30的直角三角形，C 為直角，sinA ，cosB 是方程 x2+mx+n=0 的兩個根，求實數 m，n 的值【考點】HA：拋物線與 x 軸的交點；T7：解直角三角形【分析】 （1）根據點 A、B 的坐標，利用待定系數法即可求出 m、n 的值；（2）分A=30或B=30兩種情況考慮：當A=30時，求出 sinA、cosB 的值，利用根與系數的關系即可求出 m、n 的值；當B=30時，求出 sinA、cosB 的值，利用根與系數的關系即可求出 m、n 的值【解答】解：（1）將 A（1，0） 、B （3，0）代入 y=x2+mx+n 中，解得： ，1+=09+3+=0 =4=3實數 m=4、 n=3（2）當A=30時，sinA=cosB= ，12m= + ，n= ，1212 1212m=1，n= ；14當B=30時，sinA=cosB= ，32m= + ，n= ，3232 32 32m= ，n= 334綜上所述：m=1、n= 或 m= 、n= 14 3 34【點評】本題考查了拋物線與 x 軸的交點、待定系數法求二次函數解析式、解直角三角形以及根與系數的關系，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出 m、n 的值；（ 2）分A=30或B=30兩種情況，求出 m、n 的第 27 頁（共 32 頁）值27 （9 分） （2017大慶）如圖，四邊形 ABCD 內接于圓 O，BAD=90，AC 為直徑，過點 A 作圓 O 的切線交 CB 的延長線于點 E，過 AC 的三等分點 F（靠近點 C）作 CE 的平行線交 AB 于點 G，連結 CG（1）求證：AB=CD ；（2）求證：CD 2=BEBC；（3）當 CG= ，BE= 時，求 CD 的長392【考點】MR：圓的綜合題【分析】 （1）根據三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形 ABCD 是矩形，可得結論；（2）證明ABECBA，列比例式可得結論；（3）根據 F 是 AC 的三等分點得：AG=2BG，設 BG=x，則 AG=2x，代入（2）的結論解出 x 的值，可得 CD 的長【解答】證明：（1）AC 為O 的直徑，ABC=ADC=90，BAD=90 ，四邊形 ABCD 是矩形，AB=CD；第 28 頁（共 32 頁）（2）AE 為 O 的切線，AE AC，EAB+BAC=90 ，BAC+ACB=90，EAB=ACB ，ABC=90 ，ABECBA ， ，=AB 2=BEBC，由（1）知：AB=CD ，CD 2=BEBC；（3）F 是 AC 的三等分點，AF=2FC，FGBE，AFGACB ， =2，=設 BG=x，則 AG=2x，AB=3x ，在 RtBCG 中，CG= ，3BC 2=（ ） 2x2，3BC= ，32由（2）得：AB 2=BEBC，（3x） 2= ，9232第 29 頁（共 32 頁）4x4+x23=0，（x 2+1） （4x 23）=0，x= ，32x0，x= ，32CD=AB=3x= 332【點評】本題是圓和四邊形的綜合題，難度適中，考查了矩形的性質和判定、平行相似的判定、三角形相似的性質、圓周角定理、切線的性質、勾股定理等知識，注意第 2 和 3 問都應用了上一問的結論，與方程相結合，熟練掌握一元高次方程的解法28 （9 分） （2017大慶）如圖，直角ABC 中， A 為直角，AB=6，AC=8點P，Q ， R 分別在 AB，BC ，CA 邊上同時開始作勻速運動，2 秒后三個點同時停止運動，點 P 由點 A 出發以每秒 3 個單位的速度向點 B 運動，點 Q 由點 B 出發以每秒 5 個單位的速度向點 C 運動，點 R 由點 C 出