4 3空間直角坐標系 一 二 一 空間直角坐標系 問題思考 如圖1 在數軸上 一個實數就能確定一個點的位置 如圖2 在平面直角坐標系中 需要一對有序實數才能確定一個點的位置 一 二 1 為了確定空間中任意一點的位置 需要幾個實數 提示 三個 2 平面直角坐標系由兩條互相垂直的數軸組成 那么空間直角坐標系該由幾條數軸組成 其相對位置關系如何 提示 三條交于一點 且兩兩互相垂直的數軸 3 x軸 y軸 z軸上的點的坐標有何特點 xoy平面 yoz平面 xoz平面上的點的坐標有何特點 提示 x軸上的點 x 0 0 y軸上的點 0 y 0 z軸上的點 0 0 z xoy平面上的點 x y 0 yoz平面上的點 0 y z xoz平面上的點 x 0 z 一 二 4 填空 空間直角坐標系 一 二 5 填空 坐標如圖所示 設點m為空間直角坐標系中的一個定點 過點m分別作垂直于x軸 y軸和z軸的平面 依次交x軸 y軸和z軸于點p q和r 設點p q和r在x軸 y軸和z軸上的坐標分別是x y和z 那么點m就和有序實數組 x y z 是一一對應的關系 有序實數組 x y z 叫做點m在此空間直角坐標系中的坐標 記作m x y z 其中x叫做點m的橫坐標 y叫做點m的縱坐標 z叫做點m的豎坐標 一 二 6 對于空間兩點p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 則線段p1p2的中點p的坐標是什么 一 二 二 空間兩點間的距離公式 問題思考 1 在平面直角坐標系中 若o 0 0 p x y 則 op 為多少 若p1 x1 y1 p2 x2 y2 則 p1p2 為多少 2 在空間直角坐標系中 坐標軸上的點a x 0 0 b 0 y 0 c 0 0 z 與坐標原點o的距離分別是什么 提示 oa x ob y oc z 3 在空間直角坐標系中 坐標平面上的點a x y 0 b 0 y z c x 0 z 與坐標原點o的距離分別是什么 一 二 4 設點p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 在xoy平面上的射影分別為m n 則m n的坐標分別是什么 點m n之間的距離如何 5 設點p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 若直線p1p2垂直于xoy平面 則點p1 p2之間的距離如何 若直線p1p2平行于xoy平面 則點p1 p2之間的距離如何 一 二 6 在空間中 設點p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 如何求點p1 p2之間的距離 p1p2 一 二 8 做一做 在空間直角坐標系中 點a 1 0 1 和點b 2 1 1 間的距離為 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內畫 錯誤的畫 1 空間直角坐標系中x軸上點的橫坐標x 0 豎坐標z 0 2 空間直角坐標系中xoz平面上點的坐標滿足z 0 3 關于坐標平面yoz對稱的點的坐標其縱 豎坐標不變 橫坐標相反 4 將空間兩點間公式中的兩點的坐標位置互換 結果保持不變 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 求空間點的坐標 例1 如圖 在長方體abcd a1b1c1d1中 ab 4 ad 3 aa1 5 n為棱cc1的中點 分別以da dc dd1所在的直線為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標系 1 求點a b c d a1 b1 c1 d1的坐標 2 求點n的坐標 思路分析 將各個點在坐標軸上的射影求出 即可寫出空間各點的坐標 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 1 顯然d 0 0 0 因為點a在x軸的正半軸上 且 ad 3 所以a 3 0 0 同理 可得c 0 4 0 d1 0 0 5 因為點b在坐標平面xoy內 bc cd ba ad 所以b 3 4 0 同理 可得a1 3 0 5 c1 0 4 5 與b的坐標相比 點b1的坐標中只有豎坐標不同 bb1 aa1 5 則b1 3 4 5 2 由 1 知c 0 4 0 c1 0 4 5 則c1c的中點n為 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟確定空間直角坐標系中任一點p的坐標的步驟是 1 過p作pc z軸于點c 2 過p作pm 平面xoy于點m 過m作ma x軸于點a 過m作mb y軸于點b 3 設p x y z 則 x oa y ob z oc 當點a b c分別在x y z軸的正半軸上時 則x y z的符號為正 當點a b c分別在x y z軸的負半軸上時 則x y z的符號為負 當點a b c與原點重合時 則x y z的值均為0 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練在正方體abcd a1b1c1d1中 e f分別是bb1 d1b1的中點 棱長為1 建立適當的空間直角坐標系 則e f的坐標分別為 探究一 探究二 探究三 思維辨析 求對稱點的坐標 例2 在空間直角坐標系中 點p 2 1 4 1 求點p關于x軸的對稱點的坐標 2 求點p關于xoy平面的對稱點的坐標 3 求點p關于點m 2 1 4 的對稱點的坐標 思路分析 求對稱點的坐標 可以過該點向對稱平面或對稱軸作垂線并延長 使得垂足為所作線段的中點 再根據有關性質即可寫出對稱點坐標 解 1 由于點p關于x軸對稱后 它在x軸的分量不變 在y軸 z軸的分量變為原來的相反數 所以對稱點為p1 2 1 4 2 由于點p關于xoy平面對稱后 它在x軸 y軸的分量不變 在z軸的分量變為原來的相反數 所以對稱點為p2 2 1 4 3 設對稱點為p3 x y z 則點m為線段pp3的中點 由中點坐標公式 可得x 2 2 2 6 y 2 1 1 3 z 2 4 4 12 所以p3 6 3 12 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 求對稱點的坐標可按以下規律寫出 關于誰對稱誰不變 其余的符號均相反 在空間直角坐標系中 任一點p a b c 的幾種特殊的對稱點的坐標如下 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 點p 3 2 1 關于平面xoz的對稱點是 關于z軸的對稱點是 關于m 1 2 1 的對稱點是 探究一 探究二 探究三 思維辨析 空間兩點間距離公式及應用 例3 如圖所示 pa ab ad兩兩互相垂直 abcd為矩形 m n分別為ab pc的中點 求證 mn ab 思路點撥 寫出點的坐標 代入距離公式即可 證明 如圖所示 以a為坐標原點 分別以ab ad ap所在直線為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 則a 0 0 0 設b a 0 0 d 0 b 0 c a b 0 p 0 0 c 因為m n分別是ab pc的中點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 求線段長度問題就是把點的坐標代入空間兩點間距離公式進行計算 其中確定點的坐標或合理設出點的坐標是關鍵 2 若所給題目中未建立坐標系 需先結合已知條件建立適當的坐標系 再利用空間兩點間的距離公式計算 其一般步驟為 探究一 探究二 探究三 思維辨析 建系時 不符合建系條件而致錯 典例 已知三棱柱abc a1b1c1中 側棱aa1 底面abc 所有的棱長都是1 建立適當的坐標系 并寫出各點的坐標 錯解 如圖所示 分別以ab ac aa1所在的直線為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 顯然a 0 0 0 三棱柱各棱長均為1 且b c a1均在坐標軸上 b 1 0 0 c 0 1 0 a1 0 0 1 b1 c1分別在xoz平面和yoz平面內 b1 1 0 1 c1 0 1 1 各點坐標為a 0 0 0 b 1 0 0 c 0 1 0 a1 0 0 1 b1 1 0 1 c1 0 1 1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 提示 以上解題過程中都有哪些錯誤 出錯的原因是什么 你如何改正 如何防范 把三棱柱底面的正三角形錯誤地認為了是直角三角形 正解 如圖所示 取ac的中點o和a1c1的中點o1 可得bo ac 分別以ob oc oo1所在直線為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 三棱柱各棱長均為1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 防范措施建立空間直角坐標系時 應選擇從一點出發的三條兩兩垂直的線作為坐標軸 如果圖中沒有滿足條件的直線 可以通過 輔助線 達到建系的目的 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練如圖所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 c1c cb ca 2 ac cb d e分別是棱ab b1c1的中點 f是ac的中點 則de ef的長度分別為 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解析 以點c為坐標原點 ca cb cc1所在直線分別為x軸 y軸 z軸 建立如圖所示的空間直角坐標系 c1c cb ca 2 c 0 0 0 a 2 0 0 b 0 2 0 c1 0 0 2 b1 0 2 2 由中點坐標公式可得 d 1 1 0 e 0 1 2 f 1 0 0 1 點p 3 0 4 q 0 0 3 在空間直角坐標系中的位置分別是在 a y軸上 x軸上b xoz平面上 y軸上c xoz平面上 z軸上d xoy平面上 yoz平面上答案 c2 在空間直角坐標系中 點m的坐標是 4 7 6 則點m關于y軸的對稱點坐標為 a 4 0 6 b 4 7 6 c 4 0 6 d 4 7 0 解