廣東金融學院實驗報告課程名稱：金融工程實驗編號及實驗名稱期權定價模型及數值方法綜合實驗系 別應用數學系姓 名黃清霞學號101613110班 別1016131實驗地點實驗日期2013-06-01實驗時數指導教師張學奇其他成員黃冬璇、馬燕純成 績一、實驗目的及要求1.實驗目的（1）通過期權定價模型與數值方法綜合實驗，使學生加深對BSM期權模型的理解；（2）熟練掌握運用Matlab計算歐式期權價格實際應用方法；（3）熟練掌握運用Matlab軟件計算美式期權價格的有限差分法、蒙特卡羅模擬法。（4）培養學生運用軟件工具解決期權定價問題的應用和動手能力。2.實驗要求實驗以個人形式進行，要求每位實驗人員按照實驗指導書，在實驗前做好實驗原理復習工作，實驗軟件的熟悉工作。實驗報告要包括：實驗原理、實驗工具、實驗程序與實驗結論。實驗內容要詳實和規范，實驗過程要完整和可驗證，實驗結果要準確。二、實驗環境及相關情況實驗設備：實驗中心和個人計算機實驗軟件：Matlab軟件。實驗資料：期權定價模型及數值方法綜合實驗指導書。三、實驗內容、步驟及結果（一）基于Matlab的無收益資產的歐式期權定價實驗A.實驗原理1.參量與符號（1）:標的資產的價格；（2）：行權價格；（3）：到期期限；（4）：標的資產價格波動率；（5）：連續復利的無風險利率；2.無收益資產歐式期權定價公式無收益歐式看漲期權的定價公式 無收益資產歐式看跌期權的定價公式 其中 ，B.實驗算例算例：股票的價格為100，股票的波動率標準差為0.25，無風險利率為5.47%，期權的執行價格為100，存續期為0.25年，試計算該股票歐式期權的價格。C.實驗過程在Matlab中計算歐式期權價格的函數為blsprice。調用方式為Call,Put= blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)輸入參數Price %標的資產價格Strike %執行價格Rate %無風險利率Time %距離到期日的時間，即期權的存續期Volatility %標的資產的標準差 Yield %標的資產紅利率輸出參數Call %歐式看漲期權價格Put %歐式看跌期權價格MATLAB中的計算過程和結果如下：（請將運算過程和結果粘貼下面） Call,Put= blsprice(100,100,0.0547,0.25,0.25,0)Put = 4.3001Call = 5.6583所以此算例中歐式看漲期權價格為5.6583，歐式看跌期權價格為4.3001。（二）基于Matlab的期權定價二叉樹方法實驗A.實驗原理1.二叉樹模型結構對于多時段二叉樹模型，在時刻，證券價格有中可能，他們可用符號表示為，其中。應用多時段二叉樹模型來表示證券價格變化的樹型結構如下圖所示。2.二叉樹模型中參數的確定；3.無收益歐式期權二叉樹模型定價公式（1）對于無收益歐式看漲期權，節點的期權價值為；，最后一列節點的期權價值為 （2）對于無收益歐式看跌期權，節點的期權價值為；，最后一列節點的期權價值為 B.實驗算例算例：考慮一個不分紅利5個月歐式看漲期權：股票價格為50，執行價格為50，無風險利率為10%，波動率為40。試構造二叉樹模型，確定期權的價格并與求解公式所得解進行比較。C.實驗過程在Matlab中可以直接利用二叉樹定價函數確定期權價格，函數名稱為binprice。調用方式為AssetPrice,OptionValue=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)輸入參數Price %標的資產價格Strike %執行價格Rate %無風險利率Time %距離到期日的時間，即期權的存續期Increment %時間增量Volatility %標的資產的標準差 Flag %確定期權種類，看漲期權為1，看跌期權為0DividendRate %紅利發放率（可選項）Dividend %標的資產價外紅利金額（可選項）ExDiv %標的資產除息日期（可選項）輸出參數Price %二叉樹每個節點價格Option %期權在每個節點的現金流MATLAB中的計算過程和結果如下：（請將運算過程和結果粘貼下面）1.二叉樹定價函數確定期權價格 AssetPrice,OptionValue=binprice(50,50,0.1,5/12,1/12,0.4,1)AssetPrice = 50.0000 56.1200 62.9892 70.6991 79.3528 89.0656 0 44.5474 50.0000 56.1200 62.9892 70.6991 0 0 39.6894 44.5474 50.0000 56.1200 0 0 0 35.3611 39.6894 44.5474 0 0 0 0 31.5049 35.3611 0 0 0 0 0 28.0692OptionValue = 6.3595 9.8734 14.8597 21.5256 29.7677 39.0656 0 2.8493 4.9066 8.2481 13.4041 20.6991 0 0 0.7794 1.5491 3.0791 6.1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02.求解公式確定期權價格q = 0.4927p = 0.5073a = 1.0084d = 0.8909u = 1.1224BinTree = 50.0000 56.1200 62.9892 70.6991 79.3528 89.0656 0 44.5474 50.0000 56.1200 62.9892 70.6991 0 0 39.6894 44.5474 50.0000 56.1200 0 0 0 35.3611 39.6894 44.5474 0 0 0 0 31.5049 35.3611 0 0 0 0 0 28.0692BinPrice = 6.3595 9.8734 14.8597 21.5256 29.7677 39.0656 0 2.8493 4.9066 8.2481 13.4041 20.6991 0 0 0.7794 1.5491 3.0791 6.1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0所以可見二叉樹定價函數確定期權價格與求解公式確定期權價格所得解是一樣的。（三）基于Matlab的期權定價的顯性有限差分法實驗A.實驗原理1.BSM期權價格微分方程 2.看跌期權定價的顯性差分法（1）BSM微分方程中偏導數的差分近似；（2）差分方程 其中 （3）邊界條件T時刻看跌期權的價值為 下邊界上期權價值為 上邊界上期權價值為 （4）期權的價值對于差分方程和邊界條件 ；解出每個的期權值，然后再與每個格點的期權內在價值進行比較，判斷是否提前執行，從而得到時刻每個格點的期權價格。依此類推，可以計算出，當等于初始資產價格時，該格點對應的就是所求的期權價值。B.實驗算例算例：已知股票價格為50，美式看跌期權執行價格為50，到期日為5個月，無風險利率為10%，波動率標準差為0.4。試用有限差分法確定期權的價格。C.實驗過程1.用顯性差分法求解美式看跌期權s0=50;k=50;r=0.1;sigma=0.4;T=5/12;dt=T/10;ds=5; Smax=100; M=round(Smax/ds); % 對Smax/ds取整運算N=round(T/dt);ds=Smax/M; % 重新確定股票價格步長dt=T/N; % 重新確定時間步長S=0:ds:SmaxS=S%veti=1:N;vetj=1:M+1;a=1/(1+r*dt)*(-1/2*r*vetj*dt+1/2*sigma2*vetj.2*dt);b=1/(1+r*dt)*(1-sigma2*vetj.2*dt);c=1/(1+r*dt)*(1/2*r*vetj*dt+1/2*sigma2*vetj.2*dt);%L=zeros(M-1,M+1);for j=1:M-1 L(j,j)=a(j);L(j,j+1)=b(j);L(j,j+2)=c(j);endf=zeros(M+1,N+1);f(:,N+1)=max(k-S,0); f(1, :) =kf(M+1,:) =0% 遞推求解期權價格for i=N:-1:1 F=L*f(:,i+1); f(2:M,i)=max(F,k-S(2:M),2)endMATLAB中的計算過程和結果如下：（請將運算過程和結果粘貼下面）程序：function aa_3s0=50; % 股價k=50; % 執行價r=0.1; % 無風險利率T=5/12; % 存續期sigma=0.3; % 股票波動率Smax=100; % 確定股票價格最大價格ds=2; % 確定股價離散步長dt=5/1200; % 確定時間離散步長M=round(Smax/ds); % 計算股價離散步數，對Smax/ds取整運算ds=Smax/M; % 計算股價離散實際步長N=round(T/dt); % 計算時間離散步數dt=T/N; % 計算時間離散實際步長matval=zeros(M+1,N+1);vets=linspace(0,Smax,M+1); % 將區間0，Smax分成M1段veti=0:N;vetj=0:M;matval(:,N+1)=max(k-vets,0); % 建立偏微分方程終值條件 matval(1,:)=k*exp(-r*dt*(N-veti); % 建立偏微分方程邊界條件matval(M+1,:)=0; a=0.5*dt*(sigma2*vetj-r).*vetj; % 確定迭代矩陣L的元素b=1-dt*(sigma2*vetj.2+r);c=0.5*dt*(sigma2*vetj+r).*vetj;L=zeros(M-1,M+1)for i=2:M% 建立遞推關系L(i-1,i-1)=a(i) ; L(i-1,i)=b(i) ; L(i-1,i+1)=c(i) ;endfor i=N:-1:1matval(2:M,i)=L*matval(:,i+1);end% 插值 求期權價格jdown=floor(s0/ds);jup =ceil(s0/ds);if jdown =jup price=matval(jdown+1,1)+(s0-jdown*ds)*(matval(jup+1,1)-matval(jup+1,1)/dsendprice = 2.8288結果：所以此算例中用有限差分法確定美式看跌期權的價格為2.8。（四）基于Matlab的期權定價的蒙特卡洛模擬實驗A.實驗原理期權定價蒙特卡羅模擬的步驟：1.從初始時刻的標的資產價格開始，直到到期為止，為取一條在風險中性世界中跨越整個有效期的隨機路徑。（1）將變化路徑的有效期等分為個長度為的時間段，由公式或 計算時刻的值。（2）接著計算時的值，這樣通過個正態分布的隨機數就可以組件一條資產價格的蒙特卡洛模擬樣本路徑。2.計算出這條路徑下期權的回報以及估計期權價值的標準差。3.重復第一步和第二步，得到許多樣本結果，即風險中性世界中期權回報的大量可能取值。4.計算這些樣本回報的均值，得到風險中性世界中預期的期權回報值。5.用無風險利率貼現，得到這個期權的估計價值。B.實驗算例算例：假設股票價格服從幾何布朗運動，股票現價為50美元，歐式期權執行價格為52美元，股票價格的波動率為0.4，無風險利率為0.1，到期日是5個月后，在這期間，該標的股票不進行任何的分紅，試用蒙特卡洛模擬（分別模擬1000次和10000次）計算該期權的價格。C.實驗過程在Matlab中用蒙特卡洛模擬計算該期權價格的程序為：function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu)randn(seed,0); % 定義隨機數發生器種子是0，這樣可以保證每次模擬結果相同nuT=(r-0.5*sigma2)*T;sit=sigma*sqrt(T);discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1)-K);% 期權到期時現金流eucall,varprice,ci=normfit(discpayoff)MATLAB中的計算過程和結果如下：（請將運算過程和結果粘貼下面） blsmc(50,52,0.1,5/12,0.4,1000)eucall = 5.4445varprice = 9.1361ci = 4.8776 6.0115%eucall:歐式看漲期權的價格%varprice：模擬期權價格的方差%ci：95%概率保證的期權價格區間 blsmc(50,52,0.1,5/12,0.4,10000)ci = 4.9587 5.3089eucall = 5.1338varprice = 8.9335所以蒙特卡洛模擬分別模擬1000次和10000次計算出該期權的價格分別為5.4445和5.1338。四、實驗總結（請