勾股定理（第1課時）教學設計一、教學目標（1）能運用勾股定理進行簡單的計算和推理；（2）經歷勾股定理的探索過程，從而體驗定理證明的完整過程；（3）能通過拼圖的方法驗證勾股定理，了解勾股定理的文化背景，從而體會數形結合思想.二、教學重難點：發現和驗證勾股定理二、教學過程設計圖11創設問題情境問題情境： 2002年在北京召開了第24屆國際數學家大會，它是最高水平的全球性數學學科學術會議，被譽為數學界的“奧運會”如圖1就是大會的會徽的圖案問題1：你見過這個圖案嗎？它由哪些我們學習的基本圖形組成？問題2：為什么把它作為這次大會的會徽呢？通過今天的學習，就能理解其中的含義.【設計意圖】本節課是本章的起始課，教師介紹章節圖片，利用介紹國際數學家大會的會徽這一問題情境設置懸念，引入課題2探究勾股定理圖2活動1：探究等腰直角三角形三邊的關系看似平淡無奇的現象有時卻蘊含著深刻的數學道理，相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家做客，發現朋友家用地磚鋪成的地面（如圖2）反映了直角三角形三邊的某種數量關系.問題：圖2中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關系？師生活動：學生獨立觀察圖形，分析、思考其中隱藏的規律，通過直接數等腰直角三角形的個數，或者用割補的方法將小正方形A、B中的等腰直角三角形補成一個大正方形得到結論：正方形A、B的面積之和等于大正方形C的面積.這時，教師引導學生直接由正方形的面積等于邊長的平方歸納出:等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.【設計意圖】探究等腰直角三角形的三邊之間的關系，從最特殊的直角三角形入手，重點滲透解決直角三角形三邊關系的方法. 活動2：探究網格中直角三角形的三邊之間的關系問題1：等腰三角形是一種特殊的直角三角形，在網格中的直角三角形中（如圖3），三個正方形A、B、C面積有何關系？（在圖3的方格紙中，每個小方格的面積均為1）問題2：正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關系？師生活動：學生獨立思考后小組討論，難點是求以斜邊為邊長的正方形面積，進而由師生共同總結得出可以通過割、補兩種方法求出其面積，如圖4，圖5所示. 教師在學生回答的基礎上歸納方法割補法.可以求得C的面積為13，教師引導學生直接由正方形的面積等于邊長的平方歸納出:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.圖3圖4圖5【設計意圖】網格中的直角三角形也是直角三角形一種特殊情況，為計算方便，通常將直角邊長設定為整數，通過研究進一步滲透探究一般直角三角形的三邊關系的方法.同時為正方形C的面積問題的解決為割補法做鋪墊，為解決無網格背景下直角三角形三邊關系打下基礎.問題3：通過對等腰直角三角形及網格中的直角三角形三邊關系的探究，你能對直角三角形三邊關系提出一個合理的猜想嗎？【猜想】直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2【設計意圖】通過對等腰直角三角形及網格背景下的直角三角形三邊關系的探究，學生對直角三角形三邊的數量關系已有初步的認識，適時讓學生提出猜想，進而在一般直角三角形中加以論證，使學生經歷 “觀察、實驗-猜想-論證” 定理的形成過程.問題4：以上這些直角三角形的邊長都是具體的數值，如果三邊的長是一般的數字，如圖6所示，直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，剛剛提出的猜想仍然正確嗎？ 圖6圖8圖7師生活動：通過問題2解決過程的鋪墊，學生通過獨立思考，部分同學可以用a,b表示c的面積，如圖7用“割”的方法可得：.如圖8用“補”的方法可得：；經過整理都可以得到：，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 【設計意圖】從網格驗證到脫離網格，對學生來說，意味著思維的完善和飛躍. 利用割補法論證勾股定理，是對問題2的延續，在驗證一般性結論時，借助幾何畫板，巧妙的將網格消失，可以使學生進一步體會特殊到一般的辯證關系.活動4：感受數學文化問題：你還有其他證明勾股定理的方法嗎？通過小組合作完成課本拼圖法證明勾股定理圖9【資料介紹】看圖案，這個圖案是公元 3 世紀我國漢代的趙爽在注解周髀算經時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”趙爽根據此圖指出：四個全等的直角三角形（紅色）可以如圖圍成一個大正方形，中間的部分是一個小正方形 （黃色）我們剛才用割的方法來證明就是使用這個圖形【設計意圖】通過拼圖活動，調動學生思維的積極性，為學生提供從事數學活動的機會，建立初步的空間概念，發展學生形象思維；通過拼圖活動，使學生對定理的理解更加深刻，體會數學中數形結合思想.通過對趙爽弦圖的介紹，了解我國古代數學文化，了解我國古代數學家對勾股定理的發現及證明作出的貢獻，進一步體會我國古代數學人的智慧，增強名族自豪感.3應用鞏固新知識2480AB（1）求圖中字母所代表的正方形的面積. 225144A817A【設計意圖】學生應掌握三個正方形的面積關系，以及能將正方形的面積關系與直角三角形三邊之間的關系進行聯系.圖10（2）如圖10是一棵美麗的勾股樹（以一個直角三角形為基礎，以它的三邊為邊，向直角三角形外部分別作三個正方形，再分別以從兩直角邊所得的兩個正方形的邊作為斜邊得到兩個與原直角三角形大小不同但形狀相同的小直角三角形，并以所得的這兩個直角三角形為基礎，以這兩個直角三角形的直角邊為邊，向直角三角形外部再作四個正方形，所得的整個圖形形狀象樹，所以稱這個圖形是一棵勾股樹），其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A，B，C，D的邊長分別是3，5，2，3，求最大正方形E的面積【設計意圖】本題是在課本第64頁圖18.1-1的基礎上的 拓展，進一步體會以直角三角形三邊為邊長的正方形的面積關系；通過幾何畫板演示多層勾股數，感悟數學美.58厘米46厘米74厘米圖11（3）求出下列直角三角形中未知邊的長度.【設計意圖】在直角三角形中，已知其中兩邊，求第三邊，應用勾股定理求解，也可建立方程解決問題，滲透方程思想.（4）如圖11，小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機，小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？【設計意圖】74厘米實際生活的應用，感受數學來源于生活，服務于生活.4.小結、布置作業教師與學生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：（1）勾股定理的內容是什么？它什么作用？直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2勾股定理在求解有關邊長問題中是常用的方法. （2）在探究勾股定理的過程中，我們經歷了怎樣的探究過程？ 在探究勾股定理的過程中，我們經歷了“實驗、探究-猜想-歸納、論證”的過程，在今后的學習中還要繼續用這種方法探究其他的定理.布置作業： 1、整理課堂中所提到的勾股定理的證明方法；通過上網等查找有關勾股定理的有關史料、趣事及其他證明方法；【設計意圖】讓學生從不同角度談本節課學習的主要內容，在學習的過程中感受到中國文化及數學美，感悟數形結合的數學思想，引發學生更深層次的思考，促進學生數學思維品質的優化；作業的設置體現了信息技術與數學教學相結合的思路，進一步讓學生感受中國古數學文化的先進性，樹立良好的學習觀.五、目標檢測設計1.下列說法正確的是（ ）（A）若、是的三邊，則；（B）若、是的三邊，則；（C）若、是的三邊，則；（d）若、是的三邊，則.圖122.若一個直角三角形的三邊為6，8，則=_.3. 如圖12，學校要把宣傳標語掛到教學樓的頂部D處，已知樓頂D處離地面的距離為8米，已知云梯的高度為9米，為保證安全，梯子的底部與墻基的距離AB至少為3米，請問: 云梯的頂部能到達D處嗎